Theorem lsspropdg 13708

Description: If two structures have the same components (properties), they have the same subspace structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsspropd.b1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
lsspropd.b2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
lsspropd.w	|- ( ph -> B C_ W )
lsspropd.p	|- ( ( ph /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
lsspropd.s1	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) e. W )
lsspropd.s2	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
lsspropd.p1	|- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
lsspropd.p2	|- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
lsppropd.v1	|- ( ph -> K e. X )
lsppropd.v2	|- ( ph -> L e. Y )

Assertion

Ref	Expression
lsspropdg	|- ( ph -> ( LSubSp ` K ) = ( LSubSp ` L ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, W, y   x, L, y   x, P, y

Allowed substitution hints:   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem lsspropdg

Dummy variables a b z s j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ph )
2		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> z e. P )
3		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> s C_ B )
4		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> a e. s )
5	3, 4	sseldd 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> a e. B )
6		lsspropd.s1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) e. W )
7	6	ralrimivva 2572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. W )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. W )
9		ovrspc2v 5917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. P /\ a e. B ) /\ A. x e. P A. y e. B ( x ( .s ` K ) y ) e. W ) -> ( z ( .s ` K ) a ) e. W )
10	2, 5, 8, 9	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( z ( .s ` K ) a ) e. W )
11		lsspropd.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B C_ W )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> B C_ W )
13		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> b e. s )
14	3, 13	sseldd 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> b e. B )
15	12, 14	sseldd 3171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> b e. W )
16		lsspropd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
17	16	oveqrspc2v 5918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( z ( .s ` K ) a ) e. W /\ b e. W ) ) -> ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) = ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` L ) b ) )
18	1, 10, 15, 17	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) = ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` L ) b ) )
19		lsspropd.s2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
20	19	oveqrspc2v 5918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. P /\ a e. B ) ) -> ( z ( .s ` K ) a ) = ( z ( .s ` L ) a ) )
21	1, 2, 5, 20	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( z ( .s ` K ) a ) = ( z ( .s ` L ) a ) )
22	21	oveq1d 5906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` L ) b ) = ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) )
23	18, 22	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) = ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) )
24	23	eleq1d 2258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ ( z e. P /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) ) -> ( ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s <-> ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
25	24	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ z e. P ) /\ ( a e. s /\ b e. s ) ) -> ( ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s <-> ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
26	25	2ralbidva 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s C_ B ) /\ z e. P ) -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s <-> A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
27	26	ralbidva 2486	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s C_ B ) -> ( A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s <-> A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
28	27	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s C_ B ) -> ( ( E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) <-> ( E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
29	28	pm5.32da 452	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( s C_ B /\ ( E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) ) <-> ( s C_ B /\ ( E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) ) )
30		3anass 984	. . . . 5 |- ( ( s C_ B /\ E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) <-> ( s C_ B /\ ( E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) ) )
31		3anass 984	. . . . 5 |- ( ( s C_ B /\ E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) <-> ( s C_ B /\ ( E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
32	29, 30, 31	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s C_ B /\ E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) <-> ( s C_ B /\ E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
33		lsspropd.b1	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
34	33	sseq2d 3200	. . . . 5 |- ( ph -> ( s C_ B <-> s C_ ( Base ` K ) ) )
35		lsspropd.p1	. . . . . 6 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
36	35	raleqdv 2692	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s <-> A. z e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) )
37	34, 36	3anbi13d 1325	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s C_ B /\ E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) <-> ( s C_ ( Base ` K ) /\ E. j j e. s /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) ) )
38		lsspropd.b2	. . . . . 6 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
39	38	sseq2d 3200	. . . . 5 |- ( ph -> ( s C_ B <-> s C_ ( Base ` L ) ) )
40		lsspropd.p2	. . . . . 6 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
41	40	raleqdv 2692	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s <-> A. z e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) )
42	39, 41	3anbi13d 1325	. . . 4 |- ( ph -> ( ( s C_ B /\ E. j j e. s /\ A. z e. P A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) <-> ( s C_ ( Base ` L ) /\ E. j j e. s /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
43	32, 37, 42	3bitr3d 218	. . 3 |- ( ph -> ( ( s C_ ( Base ` K ) /\ E. j j e. s /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) <-> ( s C_ ( Base ` L ) /\ E. j j e. s /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
44		lsppropd.v1	. . . 4 |- ( ph -> K e. X )
45		eqid 2189	. . . . 5 |- (Scalar ` K ) = (Scalar ` K )
46		eqid 2189	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` K ) ) = ( Base ` (Scalar ` K ) )
47		eqid 2189	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
48		eqid 2189	. . . . 5 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
49		eqid 2189	. . . . 5 |- ( .s ` K ) = ( .s ` K )
50		eqid 2189	. . . . 5 |- ( LSubSp ` K ) = ( LSubSp ` K )
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	islssmg 13635	. . . 4 |- ( K e. X -> ( s e. ( LSubSp ` K ) <-> ( s C_ ( Base ` K ) /\ E. j j e. s /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) ) )
52	44, 51	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( LSubSp ` K ) <-> ( s C_ ( Base ` K ) /\ E. j j e. s /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` K ) a ) ( +g ` K ) b ) e. s ) ) )
53		lsppropd.v2	. . . 4 |- ( ph -> L e. Y )
54		eqid 2189	. . . . 5 |- (Scalar ` L ) = (Scalar ` L )
55		eqid 2189	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` L ) ) = ( Base ` (Scalar ` L ) )
56		eqid 2189	. . . . 5 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
57		eqid 2189	. . . . 5 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
58		eqid 2189	. . . . 5 |- ( .s ` L ) = ( .s ` L )
59		eqid 2189	. . . . 5 |- ( LSubSp ` L ) = ( LSubSp ` L )
60	54, 55, 56, 57, 58, 59	islssmg 13635	. . . 4 |- ( L e. Y -> ( s e. ( LSubSp ` L ) <-> ( s C_ ( Base ` L ) /\ E. j j e. s /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
61	53, 60	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( LSubSp ` L ) <-> ( s C_ ( Base ` L ) /\ E. j j e. s /\ A. z e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. a e. s A. b e. s ( ( z ( .s ` L ) a ) ( +g ` L ) b ) e. s ) ) )
62	43, 52, 61	3bitr4d 220	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( LSubSp ` K ) <-> s e. ( LSubSp ` L ) ) )
63	62	eqrdv 2187	1 |- ( ph -> ( LSubSp ` K ) = ( LSubSp ` L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   C_ wss 3144   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12480   +g cplusg 12555  Scalarcsca 12558   .scvsca 12559   LSubSpclss 13629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239  df-ov 5894  df-inn 8938  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-lssm 13630

This theorem is referenced by:  lsppropd  13709  lidlrsppropdg  13772