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Theorem lsspropdg 13584
Description: If two structures have the same components (properties), they have the same subspace structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsspropd.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lsspropd.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lsspropd.w  |-  ( ph  ->  B  C_  W )
lsspropd.p  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lsspropd.s1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
lsspropd.s2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
lsspropd.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
lsspropd.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
lsppropd.v1  |-  ( ph  ->  K  e.  X )
lsppropd.v2  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
lsspropdg  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  K )  =  ( LSubSp `  L
) )
Distinct variable groups:    x, y, B   
x, K, y    ph, x, y    x, W, y    x, L, y    x, P, y
Allowed substitution hints:    X( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem lsspropdg
Dummy variables  a  b  z  s  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  ->  ph )
2 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
z  e.  P )
3 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
s  C_  B )
4 simprrl 539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
a  e.  s )
53, 4sseldd 3168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
a  e.  B )
6 lsspropd.s1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
76ralrimivva 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
87ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x ( .s
`  K ) y )  e.  W )
9 ovrspc2v 5914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  a  e.  B
)  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  B  ( x
( .s `  K
) y )  e.  W )  ->  (
z ( .s `  K ) a )  e.  W )
102, 5, 8, 9syl21anc 1247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( z ( .s
`  K ) a )  e.  W )
11 lsspropd.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  C_  W )
1211ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  ->  B  C_  W )
13 simprrr 540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
b  e.  s )
143, 13sseldd 3168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
b  e.  B )
1512, 14sseldd 3168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
b  e.  W )
16 lsspropd.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
1716oveqrspc2v 5915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
z ( .s `  K ) a )  e.  W  /\  b  e.  W ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  =  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
181, 10, 15, 17syl12anc 1246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  =  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
19 lsspropd.s2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
2019oveqrspc2v 5915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  P  /\  a  e.  B ) )  -> 
( z ( .s
`  K ) a )  =  ( z ( .s `  L
) a ) )
211, 2, 5, 20syl12anc 1246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( z ( .s
`  K ) a )  =  ( z ( .s `  L
) a ) )
2221oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  L ) b )  =  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
2318, 22eqtrd 2220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  =  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b ) )
2423eleq1d 2256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  (
z  e.  P  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) ) )  -> 
( ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <-> 
( ( z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) )
2524anassrs 400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  z  e.  P )  /\  ( a  e.  s  /\  b  e.  s ) )  ->  (
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
26252ralbidva 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  C_  B )  /\  z  e.  P )  ->  ( A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
2726ralbidva 2483 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  C_  B )  ->  ( A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
2827anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  C_  B )  ->  (
( E. j  j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( E. j  j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) ) )
2928pm5.32da 452 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  ( E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( E. j  j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) ) ) )
30 3anass 983 . . . . 5  |-  ( ( s  C_  B  /\  E. j  j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  ( E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s ) ) )
31 3anass 983 . . . . 5  |-  ( ( s  C_  B  /\  E. j  j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  ( E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) ) )
3229, 30, 313bitr4g 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  E. j  j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) ) )
33 lsspropd.b1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
3433sseq2d 3197 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  C_  B  <->  s 
C_  ( Base `  K
) ) )
35 lsspropd.p1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  K )
) )
3635raleqdv 2689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s  <->  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K
) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s ) )
3734, 363anbi13d 1324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  E. j  j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  ( Base `  K
)  /\  E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s ) ) )
38 lsspropd.b2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3938sseq2d 3197 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  C_  B  <->  s 
C_  ( Base `  L
) ) )
40 lsspropd.p2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  (Scalar `  L )
) )
4140raleqdv 2689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s  <->  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L
) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
z ( .s `  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s ) )
4239, 413anbi13d 1324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  B  /\  E. j  j  e.  s  /\  A. z  e.  P  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  L ) a ) ( +g  `  L
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  ( Base `  L
)  /\  E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) ) )
4332, 37, 423bitr3d 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( s  C_  ( Base `  K )  /\  E. j  j  e.  s  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K ) ) A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( z ( .s
`  K ) a ) ( +g  `  K
) b )  e.  s )  <->  ( s  C_  ( Base `  L
)  /\  E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) ) )
44 lsppropd.v1 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  X )
45 eqid 2187 . . . . 5  |-  (Scalar `  K )  =  (Scalar `  K )
46 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  K )
)  =  ( Base `  (Scalar `  K )
)
47 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
48 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
49 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( .s
`  K )  =  ( .s `  K
)
50 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  K )  =  (
LSubSp `  K )
5145, 46, 47, 48, 49, 50islssmg 13511 . . . 4  |-  ( K  e.  X  ->  (
s  e.  ( LSubSp `  K )  <->  ( s  C_  ( Base `  K
)  /\  E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s ) ) )
5244, 51syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
LSubSp `  K )  <->  ( s  C_  ( Base `  K
)  /\  E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  K )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  K
) a ) ( +g  `  K ) b )  e.  s ) ) )
53 lsppropd.v2 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  Y )
54 eqid 2187 . . . . 5  |-  (Scalar `  L )  =  (Scalar `  L )
55 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  L )
)  =  ( Base `  (Scalar `  L )
)
56 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
57 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
58 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
59 eqid 2187 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  L )  =  (
LSubSp `  L )
6054, 55, 56, 57, 58, 59islssmg 13511 . . . 4  |-  ( L  e.  Y  ->  (
s  e.  ( LSubSp `  L )  <->  ( s  C_  ( Base `  L
)  /\  E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) ) )
6153, 60syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
LSubSp `  L )  <->  ( s  C_  ( Base `  L
)  /\  E. j 
j  e.  s  /\  A. z  e.  ( Base `  (Scalar `  L )
) A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( ( z ( .s `  L
) a ) ( +g  `  L ) b )  e.  s ) ) )
6243, 52, 613bitr4d 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( s  e.  (
LSubSp `  K )  <->  s  e.  ( LSubSp `  L )
) )
6362eqrdv 2185 1  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  K )  =  ( LSubSp `  L
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 979    = wceq 1363   E.wex 1502    e. wcel 2158   A.wral 2465    C_ wss 3141   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475   +g cplusg 12550  Scalarcsca 12553   .scvsca 12554   LSubSpclss 13505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-ov 5891  df-inn 8933  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-lssm 13506
This theorem is referenced by:  lsppropd  13585
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