Theorem islssmg 13914

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) Use islssm 13913 instead. (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	|- F = (Scalar ` W )
lssset.b	|- B = ( Base ` F )
lssset.v	|- V = ( Base ` W )
lssset.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssset.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssset.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islssmg	|- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   a, b, x, W   U, a, b, x, j

Allowed substitution hints:   B( j, a, b)   .+ ( x, j, a, b)   S( x, j, a, b)   .x. ( x, j, a, b)   F( x, j, a, b)   V( x, j, a, b)   W( j)   X( x, j, a, b)

Proof of Theorem islssmg

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssset.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
2		lssset.b	. . . 4 |- B = ( Base ` F )
3		lssset.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		lssset.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
5		lssset.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
6		lssset.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lsssetm 13912	. . 3 |- ( W e. X -> S = { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } )
8	7	eleq2d 2266	. 2 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } ) )
9		basfn 12736	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
10		elex 2774	. . . . . . 7 |- ( W e. X -> W e. _V )
11		funfvex 5575	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
12	11	funfni 5358	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
14	3, 13	eqeltrid 2283	. . . . 5 |- ( W e. X -> V e. _V )
15		elpw2g 4189	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( W e. X -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
17	16	anbi1d 465	. . 3 |- ( W e. X -> ( ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) ) )
18		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( j e. s <-> j e. U ) )
19	18	exbidv 1839	. . . . 5 |- ( s = U -> ( E. j j e. s <-> E. j j e. U ) )
20		eleq2 2260	. . . . . . . 8 |- ( s = U -> ( ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
21	20	raleqbi1dv 2705	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
22	21	raleqbi1dv 2705	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
23	22	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( s = U -> ( A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
24	19, 23	anbi12d 473	. . . 4 |- ( s = U -> ( ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) <-> ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
25	24	elrab 2920	. . 3 |- ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
26		3anass 984	. . 3 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
27	17, 25, 26	3bitr4g 223	. 2 |- ( W e. X -> ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
28	8, 27	bitrd 188	1 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ~Pcpw 3605   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755  Scalarcsca 12758   .scvsca 12759   LSubSpclss 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-lssm 13909

This theorem is referenced by:  islssmd  13915  lssssg  13916  lssclg  13920  lss0cl  13925  islss4  13938  lsspropdg  13987