Theorem islssmg 13671

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) Use islssm 13670 instead. (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	|- F = (Scalar ` W )
lssset.b	|- B = ( Base ` F )
lssset.v	|- V = ( Base ` W )
lssset.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssset.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssset.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islssmg	|- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   a, b, x, W   U, a, b, x, j

Allowed substitution hints:   B( j, a, b)   .+ ( x, j, a, b)   S( x, j, a, b)   .x. ( x, j, a, b)   F( x, j, a, b)   V( x, j, a, b)   W( j)   X( x, j, a, b)

Proof of Theorem islssmg

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssset.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
2		lssset.b	. . . 4 |- B = ( Base ` F )
3		lssset.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		lssset.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
5		lssset.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
6		lssset.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lsssetm 13669	. . 3 |- ( W e. X -> S = { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } )
8	7	eleq2d 2259	. 2 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } ) )
9		basfn 12569	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
10		elex 2763	. . . . . . 7 |- ( W e. X -> W e. _V )
11		funfvex 5551	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
12	11	funfni 5335	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
14	3, 13	eqeltrid 2276	. . . . 5 |- ( W e. X -> V e. _V )
15		elpw2g 4174	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( W e. X -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
17	16	anbi1d 465	. . 3 |- ( W e. X -> ( ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) ) )
18		eleq2 2253	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( j e. s <-> j e. U ) )
19	18	exbidv 1836	. . . . 5 |- ( s = U -> ( E. j j e. s <-> E. j j e. U ) )
20		eleq2 2253	. . . . . . . 8 |- ( s = U -> ( ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
21	20	raleqbi1dv 2694	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
22	21	raleqbi1dv 2694	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
23	22	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( s = U -> ( A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
24	19, 23	anbi12d 473	. . . 4 |- ( s = U -> ( ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) <-> ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
25	24	elrab 2908	. . 3 |- ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
26		3anass 984	. . 3 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
27	17, 25, 26	3bitr4g 223	. 2 |- ( W e. X -> ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
28	8, 27	bitrd 188	1 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   Fn wfn 5230   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   Basecbs 12511   +g cplusg 12586  Scalarcsca 12589   .scvsca 12590   LSubSpclss 13665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1re 7934  ax-addrcl 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-ov 5898  df-inn 8949  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-lssm 13666

This theorem is referenced by:  islssmd  13672  lssssg  13673  lssclg  13677  lss0cl  13682  islss4  13695  lsspropdg  13744