Theorem islssmg 14235

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) Use islssm 14234 instead. (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	|- F = (Scalar ` W )
lssset.b	|- B = ( Base ` F )
lssset.v	|- V = ( Base ` W )
lssset.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssset.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssset.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islssmg	|- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   a, b, x, W   U, a, b, x, j

Allowed substitution hints:   B( j, a, b)   .+ ( x, j, a, b)   S( x, j, a, b)   .x. ( x, j, a, b)   F( x, j, a, b)   V( x, j, a, b)   W( j)   X( x, j, a, b)

Proof of Theorem islssmg

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssset.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
2		lssset.b	. . . 4 |- B = ( Base ` F )
3		lssset.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		lssset.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
5		lssset.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
6		lssset.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lsssetm 14233	. . 3 |- ( W e. X -> S = { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } )
8	7	eleq2d 2277	. 2 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } ) )
9		basfn 13005	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
10		elex 2788	. . . . . . 7 |- ( W e. X -> W e. _V )
11		funfvex 5616	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
12	11	funfni 5395	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
14	3, 13	eqeltrid 2294	. . . . 5 |- ( W e. X -> V e. _V )
15		elpw2g 4216	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( W e. X -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
17	16	anbi1d 465	. . 3 |- ( W e. X -> ( ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) ) )
18		eleq2 2271	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( j e. s <-> j e. U ) )
19	18	exbidv 1849	. . . . 5 |- ( s = U -> ( E. j j e. s <-> E. j j e. U ) )
20		eleq2 2271	. . . . . . . 8 |- ( s = U -> ( ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
21	20	raleqbi1dv 2717	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
22	21	raleqbi1dv 2717	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
23	22	ralbidv 2508	. . . . 5 |- ( s = U -> ( A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
24	19, 23	anbi12d 473	. . . 4 |- ( s = U -> ( ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) <-> ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
25	24	elrab 2936	. . 3 |- ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
26		3anass 985	. . 3 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
27	17, 25, 26	3bitr4g 223	. 2 |- ( W e. X -> ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
28	8, 27	bitrd 188	1 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   {crab 2490   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   Fn wfn 5285   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024  Scalarcsca 13027   .scvsca 13028   LSubSpclss 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-lssm 14230

This theorem is referenced by:  islssmd  14236  lssssg  14237  lssclg  14241  lss0cl  14246  islss4  14259  lsspropdg  14308