Theorem lssvancl1 14325

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssvancl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvancl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lssvancl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lssvancl.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssvancl1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)
2		lssvancl.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lmodabl 14292	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
5		lssvancl.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lssvancl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
7		lssvancl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lssvancl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9	7, 8	lsselg 14319	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	2, 5, 6, 9	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		lssvancl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		lssvancl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	7, 12, 13	ablpncan2 13848	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
15	4, 10, 11, 14	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
16	15	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
17	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
18	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
20	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
21	13, 8	lssvsubcl 14324	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
22	17, 18, 19, 20, 21	syl22anc 1272	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
23	16, 22	eqeltrrd 2307	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
24	1, 23	mtand 669	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  -_gcsg 13530  Abelcabl 13817  LModclmod 14245  LSubSpclss 14310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-sbg 13533  df-cmn 13818  df-abl 13819  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-lmod 14247  df-lssm 14311

This theorem is referenced by:  lssvancl2  14326