Theorem ltm1 8508

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ltm1	|- ( A e. RR -> ( A - 1 ) < A )

Proof of Theorem ltm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 7806	. . 3 |- 0 < 1
2		0re 7684	. . . 4 |- 0 e. RR
3		1re 7683	. . . 4 |- 1 e. RR
4		ltsub2 8134	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < 1 <-> ( A - 1 ) < ( A - 0 ) ) )
5	2, 3, 4	mp3an12 1286	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 0 < 1 <-> ( A - 1 ) < ( A - 0 ) ) )
6	1, 5	mpbii 147	. 2 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) < ( A - 0 ) )
7		recn 7671	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. CC )
8	7	subid1d 7979	. 2 |- ( A e. RR -> ( A - 0 ) = A )
9	6, 8	breqtrd 3917	1 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   RRcr 7540   0cc0 7541   1c1 7542   < clt 7718   - cmin 7850

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-ltxr 7723  df-sub 7852  df-neg 7853

This theorem is referenced by:  lem1  8509  ltm1d  8594  qbtwnxr  9922  bcpasc  10399  arisum2  11154