Theorem ltmul12ad 8960

Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	|- ( ph -> A e. RR )
divgt0d.2	|- ( ph -> B e. RR )
lemul1ad.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltmul12ad.3	|- ( ph -> D e. RR )
ltmul12ad.4	|- ( ph -> 0 <_ A )
ltmul12ad.5	|- ( ph -> A < B )
ltmul12ad.6	|- ( ph -> 0 <_ C )
ltmul12ad.7	|- ( ph -> C < D )

Assertion

Ref	Expression
ltmul12ad	|- ( ph -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )

Proof of Theorem ltmul12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		divgt0d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
4		ltmul12ad.4	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
5		ltmul12ad.5	. . 3 |- ( ph -> A < B )
6	4, 5	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ A /\ A < B ) )
7		lemul1ad.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
8		ltmul12ad.3	. . 3 |- ( ph -> D e. RR )
9	7, 8	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR /\ D e. RR ) )
10		ltmul12ad.6	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ C )
11		ltmul12ad.7	. . 3 |- ( ph -> C < D )
12	10, 11	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ C /\ C < D ) )
13		ltmul12a 8879	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )
14	3, 6, 9, 12, 13	syl22anc 1250	1 |- ( ph -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11673