Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemrate Unicode version

Theorem cvgratnnlemrate 11299
 Description: Lemma for cvgratnn 11300. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3
cvgratnn.4
cvgratnn.gt0
cvgratnn.6
cvgratnn.7
cvgratnnlemrate.m
cvgratnnlemrate.n
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemrate
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cvgratnnlemrate
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9361 . . . . . . 7
2 1zzd 9081 . . . . . . 7
3 cvgratnn.6 . . . . . . 7
41, 2, 3serf 10247 . . . . . 6
5 cvgratnnlemrate.m . . . . . . 7
6 cvgratnnlemrate.n . . . . . . 7
7 eluznn 9394 . . . . . . 7
85, 6, 7syl2anc 408 . . . . . 6
94, 8ffvelrnd 5556 . . . . 5
104, 5ffvelrnd 5556 . . . . 5
119, 10subcld 8073 . . . 4
1211abscld 10953 . . 3
13 fveq2 5421 . . . . . . 7
1413eleq1d 2208 . . . . . 6
153ralrimiva 2505 . . . . . 6
1614, 15, 5rspcdva 2794 . . . . 5
1716abscld 10953 . . . 4
185nnzd 9172 . . . . . . 7
1918peano2zd 9176 . . . . . 6
20 eluzelz 9335 . . . . . . 7
216, 20syl 14 . . . . . 6
2219, 21fzfigd 10204 . . . . 5
23 cvgratnn.3 . . . . . . 7
2423adantr 274 . . . . . 6
255nnred 8733 . . . . . . . . 9
2625adantr 274 . . . . . . . 8
27 peano2re 7898 . . . . . . . . 9
2826, 27syl 14 . . . . . . . 8
29 elfzelz 9806 . . . . . . . . . 10
3029adantl 275 . . . . . . . . 9
3130zred 9173 . . . . . . . 8
3226lep1d 8689 . . . . . . . 8
33 elfzle1 9807 . . . . . . . . 9
3433adantl 275 . . . . . . . 8
3526, 28, 31, 32, 34letrd 7886 . . . . . . 7
36 znn0sub 9119 . . . . . . . 8
3718, 29, 36syl2an 287 . . . . . . 7
3835, 37mpbid 146 . . . . . 6
3924, 38reexpcld 10441 . . . . 5
4022, 39fsumrecl 11170 . . . 4
4117, 40remulcld 7796 . . 3
42 cvgratnn.4 . . . . . . . . . . 11
43 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . . . . 13
4423, 43elrpd 9481 . . . . . . . . . . . 12
4544reclt1d 9497 . . . . . . . . . . 11
4642, 45mpbid 146 . . . . . . . . . 10
47 1re 7765 . . . . . . . . . . 11
4844rprecred 9495 . . . . . . . . . . 11
49 difrp 9480 . . . . . . . . . . 11
5047, 48, 49sylancr 410 . . . . . . . . . 10
5146, 50mpbid 146 . . . . . . . . 9
5251rpreccld 9494 . . . . . . . 8
5352, 44rpdivcld 9501 . . . . . . 7
54 fveq2 5421 . . . . . . . . . . 11
5554eleq1d 2208 . . . . . . . . . 10
56 1nn 8731 . . . . . . . . . . 11
5756a1i 9 . . . . . . . . . 10
5855, 15, 57rspcdva 2794 . . . . . . . . 9
5958abscld 10953 . . . . . . . 8
6058absge0d 10956 . . . . . . . 8
6159, 60ge0p1rpd 9514 . . . . . . 7
6253, 61rpmulcld 9500 . . . . . 6
6362rpred 9483 . . . . 5
6463, 5nndivred 8770 . . . 4
65 1red 7781 . . . . . . . 8
6665, 23resubcld 8143 . . . . . . 7
6723, 65posdifd 8294 . . . . . . . 8
6842, 67mpbid 146 . . . . . . 7
6966, 68elrpd 9481 . . . . . 6
7044, 69rpdivcld 9501 . . . . 5
7170rpred 9483 . . . 4
7264, 71remulcld 7796 . . 3
73 cvgratnn.7 . . . . . 6
7423, 42, 43, 3, 73, 5, 6cvgratnnlemseq 11295 . . . . 5
7574fveq2d 5425 . . . 4
7623, 42, 43, 3, 73, 5, 6cvgratnnlemabsle 11296 . . . 4
7775, 76eqbrtrd 3950 . . 3
7816absge0d 10956 . . . 4
7923, 42, 43, 3, 73, 5cvgratnnlemfm 11298 . . . 4
8044adantr 274 . . . . . . 7
8138nn0zd 9171 . . . . . . 7
8280, 81rpexpcld 10448 . . . . . 6
8382rpge0d 9487 . . . . 5
8422, 39, 83fsumge0 11228 . . . 4
8523, 42, 43, 3, 73, 5, 6cvgratnnlemsumlt 11297 . . . 4
8617, 64, 40, 71, 78, 79, 84, 85ltmul12ad 8699 . . 3
8712, 41, 72, 77, 86lelttrd 7887 . 2
8863recnd 7794 . . 3
8971recnd 7794 . . 3
905nncnd 8734 . . 3
915nnap0d 8766 . . 3 #
9288, 89, 90, 91div23apd 8588 . 2
9387, 92breqtrrd 3956 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1331   wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7618  cr 7619  cc0 7620  c1 7621   caddc 7623   cmul 7625   clt 7800   cle 7801   cmin 7933   cdiv 8432  cn 8720  cn0 8977  cz 9054  cuz 9326  crp 9441  cfz 9790   cseq 10218  cexp 10292  cabs 10769  csu 11122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123 This theorem is referenced by:  cvgratnn  11300
 Copyright terms: Public domain W3C validator