ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul12a Unicode version

Theorem ltmul12a 8788
Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul12a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)

Proof of Theorem ltmul12a
StepHypRef Expression
1 simplll 533 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  A  e.  RR )
2 simpllr 534 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  B  e.  RR )
3 simpll 527 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  C  e.  RR )
4 simprl 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  0  <_  C )
53, 4jca 306 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
65ad2ant2l 508 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
7 ltle 8019 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
87imp 124 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  B
)  ->  A  <_  B )
98adantrl 478 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  <_  B )
109ad2ant2r 509 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  A  <_  B
)
11 lemul1a 8786 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )
)
121, 2, 6, 10, 11syl31anc 1241 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )
)
13 simplrl 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  C  e.  RR )
14 simplrr 536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  D  e.  RR )
15 simpllr 534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  B  e.  RR )
16 0re 7932 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
17 lelttr 8020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
) )
1816, 17mp3an1 1324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  0  <  B ) )
1918imp 124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  <  B )
2019adantlr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  0  <  B )
21 ltmul2 8784 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( C  <  D  <->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D ) ) )
2213, 14, 15, 20, 21syl112anc 1242 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  ( C  <  D  <->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
) )
2322biimpa 296 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  C  < 
D )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )
2423anasss 399 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  C  <  D ) )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )
2524adantrrl 486 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
26 remulcl 7914 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR )
2726ad2ant2r 509 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( A  x.  C
)  e.  RR )
28 remulcl 7914 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C
)  e.  RR )
2928ad2ant2lr 510 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( B  x.  C
)  e.  RR )
30 remulcl 7914 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR )
3130ad2ant2l 508 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( B  x.  D
)  e.  RR )
32 lelttr 8020 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR  /\  ( B  x.  D
)  e.  RR )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D
) ) )
3327, 29, 31, 32syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  <_ 
( B  x.  C
)  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
) )
3433adantr 276 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D
) ) )
3512, 25, 34mp2and 433 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
3635an4s 588 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   RRcr 7785   0cc0 7786    x. cmul 7791    < clt 7966    <_ cle 7967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513
This theorem is referenced by:  ltmul12ad  8869
  Copyright terms: Public domain W3C validator