Theorem ltmul12a 9156

Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul12a	|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )

Proof of Theorem ltmul12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 535	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> A e. RR )
2		simpllr 536	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> B e. RR )
3		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> C e. RR )
4		simprl 531	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> 0 <_ C )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
6	5	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
7		ltle 8379	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
8	7	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < B ) -> A <_ B )
9	8	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A <_ B )
10	9	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> A <_ B )
11		lemul1a 9154	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
12	1, 2, 6, 10, 11	syl31anc 1277	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
13		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> C e. RR )
14		simplrr 538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> D e. RR )
15		simpllr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. RR )
16		0re 8292	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17		lelttr 8380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
18	16, 17	mp3an1 1361	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
20	19	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
21		ltmul2 9152	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( C < D <-> ( B x. C ) < ( B x. D ) ) )
22	13, 14, 15, 20, 21	syl112anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( C < D <-> ( B x. C ) < ( B x. D ) ) )
23	22	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ C < D ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
24	23	anasss 399	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ C < D ) ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
25	24	adantrrl 486	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
26		remulcl 8273	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
27	26	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( A x. C ) e. RR )
28		remulcl 8273	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B x. C ) e. RR )
29	28	ad2ant2lr 510	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( B x. C ) e. RR )
30		remulcl 8273	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B x. D ) e. RR )
31	30	ad2ant2l 508	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
32		lelttr 8380	. . . . 5 |- ( ( ( A x. C ) e. RR /\ ( B x. C ) e. RR /\ ( B x. D ) e. RR ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
34	33	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
35	12, 25, 34	mp2and 433	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )
36	35	an4s 592	1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6060   RRcr 8144   0cc0 8145   x. cmul 8150   < clt 8326   <_ cle 8327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876

This theorem is referenced by:  ltmul12ad  9237