Theorem ltmul12a 9003

Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul12a	|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )

Proof of Theorem ltmul12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 533	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> A e. RR )
2		simpllr 534	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> B e. RR )
3		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> C e. RR )
4		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> 0 <_ C )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
6	5	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
7		ltle 8230	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
8	7	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < B ) -> A <_ B )
9	8	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A <_ B )
10	9	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> A <_ B )
11		lemul1a 9001	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
12	1, 2, 6, 10, 11	syl31anc 1274	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
13		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> C e. RR )
14		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> D e. RR )
15		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. RR )
16		0re 8142	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17		lelttr 8231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
18	16, 17	mp3an1 1358	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
20	19	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
21		ltmul2 8999	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( C < D <-> ( B x. C ) < ( B x. D ) ) )
22	13, 14, 15, 20, 21	syl112anc 1275	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( C < D <-> ( B x. C ) < ( B x. D ) ) )
23	22	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ C < D ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
24	23	anasss 399	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ C < D ) ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
25	24	adantrrl 486	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
26		remulcl 8123	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
27	26	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( A x. C ) e. RR )
28		remulcl 8123	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B x. C ) e. RR )
29	28	ad2ant2lr 510	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( B x. C ) e. RR )
30		remulcl 8123	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B x. D ) e. RR )
31	30	ad2ant2l 508	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
32		lelttr 8231	. . . . 5 |- ( ( ( A x. C ) e. RR /\ ( B x. C ) e. RR /\ ( B x. D ) e. RR ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
34	33	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
35	12, 25, 34	mp2and 433	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )
36	35	an4s 590	1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   RRcr 7994   0cc0 7995   x. cmul 8000   < clt 8177   <_ cle 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725

This theorem is referenced by:  ltmul12ad  9084