Theorem ltmul12a 8817

Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul12a	|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )

Proof of Theorem ltmul12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 533	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> A e. RR )
2		simpllr 534	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> B e. RR )
3		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> C e. RR )
4		simprl 529	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> 0 <_ C )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
6	5	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
7		ltle 8045	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
8	7	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < B ) -> A <_ B )
9	8	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A <_ B )
10	9	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> A <_ B )
11		lemul1a 8815	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
12	1, 2, 6, 10, 11	syl31anc 1241	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
13		simplrl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> C e. RR )
14		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> D e. RR )
15		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. RR )
16		0re 7957	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17		lelttr 8046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
18	16, 17	mp3an1 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
19	18	imp 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
20	19	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
21		ltmul2 8813	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( C < D <-> ( B x. C ) < ( B x. D ) ) )
22	13, 14, 15, 20, 21	syl112anc 1242	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( C < D <-> ( B x. C ) < ( B x. D ) ) )
23	22	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ C < D ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
24	23	anasss 399	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ C < D ) ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
25	24	adantrrl 486	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
26		remulcl 7939	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
27	26	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( A x. C ) e. RR )
28		remulcl 7939	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B x. C ) e. RR )
29	28	ad2ant2lr 510	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( B x. C ) e. RR )
30		remulcl 7939	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B x. D ) e. RR )
31	30	ad2ant2l 508	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
32		lelttr 8046	. . . . 5 |- ( ( ( A x. C ) e. RR /\ ( B x. C ) e. RR /\ ( B x. D ) e. RR ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
34	33	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
35	12, 25, 34	mp2and 433	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )
36	35	an4s 588	1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   RRcr 7810   0cc0 7811   x. cmul 7816   < clt 7992   <_ cle 7993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539

This theorem is referenced by:  ltmul12ad  8898