Theorem ltmul12a 8776

Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul12a	|- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )

Proof of Theorem ltmul12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 528	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> A e. RR )
2		simpllr 529	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> B e. RR )
3		simpll 524	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> C e. RR )
4		simprl 526	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> 0 <_ C )
5	3, 4	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
6	5	ad2ant2l 505	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
7		ltle 8007	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
8	7	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < B ) -> A <_ B )
9	8	adantrl 475	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A <_ B )
10	9	ad2ant2r 506	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> A <_ B )
11		lemul1a 8774	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
12	1, 2, 6, 10, 11	syl31anc 1236	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) <_ ( B x. C ) )
13		simplrl 530	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> C e. RR )
14		simplrr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> D e. RR )
15		simpllr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. RR )
16		0re 7920	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17		lelttr 8008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
18	16, 17	mp3an1 1319	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <_ A /\ A < B ) -> 0 < B ) )
19	18	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
20	19	adantlr 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
21		ltmul2 8772	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ D e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( C < D <-> ( B x. C ) < ( B x. D ) ) )
22	13, 14, 15, 20, 21	syl112anc 1237	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( C < D <-> ( B x. C ) < ( B x. D ) ) )
23	22	biimpa 294	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ C < D ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
24	23	anasss 397	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ C < D ) ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
25	24	adantrrl 483	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( B x. C ) < ( B x. D ) )
26		remulcl 7902	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A x. C ) e. RR )
27	26	ad2ant2r 506	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( A x. C ) e. RR )
28		remulcl 7902	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B x. C ) e. RR )
29	28	ad2ant2lr 507	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( B x. C ) e. RR )
30		remulcl 7902	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ D e. RR ) -> ( B x. D ) e. RR )
31	30	ad2ant2l 505	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( B x. D ) e. RR )
32		lelttr 8008	. . . . 5 |- ( ( ( A x. C ) e. RR /\ ( B x. C ) e. RR /\ ( B x. D ) e. RR ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
34	33	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( ( ( A x. C ) <_ ( B x. C ) /\ ( B x. C ) < ( B x. D ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) ) )
35	12, 25, 34	mp2and 431	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) /\ ( ( 0 <_ A /\ A < B ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )
36	35	an4s 583	1 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 <_ C /\ C < D ) ) ) -> ( A x. C ) < ( B x. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501

This theorem is referenced by:  ltmul12ad  8857