Theorem metuex 14572

Description: Applying metUnif yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
metuex	|- ( A e. V -> (metUnif ` A ) e. _V )

Proof of Theorem metuex

Dummy variables d a x w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fg 14566	. . . 4 |- filGen = ( w e. _V , x e. ( fBas ` w ) |-> { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } )
2		vpwex 4269	. . . . 5 |- ~P w e. _V
3	2	rabex 4234	. . . 4 |- { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } e. _V
4		vex 2805	. . . . . . 7 |- d e. _V
5	4	dmex 4999	. . . . . 6 |- dom d e. _V
6	5	dmex 4999	. . . . 5 |- dom dom d e. _V
7	6, 6	xpex 4842	. . . 4 |- ( dom dom d X. dom dom d ) e. _V
8		reex 8166	. . . . . . 7 |- RR e. _V
9		rpssre 9899	. . . . . . 7 |- RR+ C_ RR
10	8, 9	ssexi 4227	. . . . . 6 |- RR+ e. _V
11	10	mptex 5880	. . . . 5 |- ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) e. _V
12	11	rnex 5000	. . . 4 |- ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) e. _V
13	1, 3, 7, 12	mpofvexi 6371	. . 3 |- ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V
14	13	ax-gen 1497	. 2 |- A. d ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V
15		df-metu 14567	. . 3 |- metUnif = ( d e. U. ran PsMet |-> ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) )
16	15	mptfvex 5732	. 2 |- ( ( A. d ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V /\ A e. V ) -> (metUnif ` A ) e. _V )
17	14, 16	mpan 424	1 |- ( A e. V -> (metUnif ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1395   e. wcel 2202   =/= wne 2402   {crab 2514   _Vcvv 2802   i^i cin 3199   (/)c0 3494   ~Pcpw 3652   U.cuni 3893   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   dom cdm 4725   ran crn 4726   "cima 4728   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   RRcr 8031   0cc0 8032   RR+crp 9888   [,)cico 10125  PsMetcpsmet 14552   fBascfbas 14556   filGencfg 14557  metUnifcmetu 14559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-rp 9889  df-fg 14566  df-metu 14567

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14575