Theorem metuex 14361

Description: Applying metUnif yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
metuex	|- ( A e. V -> (metUnif ` A ) e. _V )

Proof of Theorem metuex

Dummy variables d a x w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fg 14355	. . . 4 |- filGen = ( w e. _V , x e. ( fBas ` w ) |-> { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } )
2		vpwex 4227	. . . . 5 |- ~P w e. _V
3	2	rabex 4192	. . . 4 |- { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } e. _V
4		vex 2776	. . . . . . 7 |- d e. _V
5	4	dmex 4950	. . . . . 6 |- dom d e. _V
6	5	dmex 4950	. . . . 5 |- dom dom d e. _V
7	6, 6	xpex 4794	. . . 4 |- ( dom dom d X. dom dom d ) e. _V
8		reex 8066	. . . . . . 7 |- RR e. _V
9		rpssre 9793	. . . . . . 7 |- RR+ C_ RR
10	8, 9	ssexi 4186	. . . . . 6 |- RR+ e. _V
11	10	mptex 5817	. . . . 5 |- ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) e. _V
12	11	rnex 4951	. . . 4 |- ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) e. _V
13	1, 3, 7, 12	mpofvexi 6299	. . 3 |- ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V
14	13	ax-gen 1473	. 2 |- A. d ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V
15		df-metu 14356	. . 3 |- metUnif = ( d e. U. ran PsMet |-> ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) )
16	15	mptfvex 5672	. 2 |- ( ( A. d ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V /\ A e. V ) -> (metUnif ` A ) e. _V )
17	14, 16	mpan 424	1 |- ( A e. V -> (metUnif ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1371   e. wcel 2177   =/= wne 2377   {crab 2489   _Vcvv 2773   i^i cin 3166   (/)c0 3461   ~Pcpw 3617   U.cuni 3852   |-> cmpt 4109   X. cxp 4677   `'ccnv 4678   dom cdm 4679   ran crn 4680   "cima 4682   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   RRcr 7931   0cc0 7932   RR+crp 9782   [,)cico 10019  PsMetcpsmet 14341   fBascfbas 14345   filGencfg 14346  metUnifcmetu 14348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-rp 9783  df-fg 14355  df-metu 14356

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14364