Theorem metuex 14527

Description: Applying metUnif yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
metuex	|- ( A e. V -> (metUnif ` A ) e. _V )

Proof of Theorem metuex

Dummy variables d a x w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fg 14521	. . . 4 |- filGen = ( w e. _V , x e. ( fBas ` w ) |-> { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } )
2		vpwex 4263	. . . . 5 |- ~P w e. _V
3	2	rabex 4228	. . . 4 |- { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } e. _V
4		vex 2802	. . . . . . 7 |- d e. _V
5	4	dmex 4991	. . . . . 6 |- dom d e. _V
6	5	dmex 4991	. . . . 5 |- dom dom d e. _V
7	6, 6	xpex 4834	. . . 4 |- ( dom dom d X. dom dom d ) e. _V
8		reex 8141	. . . . . . 7 |- RR e. _V
9		rpssre 9868	. . . . . . 7 |- RR+ C_ RR
10	8, 9	ssexi 4222	. . . . . 6 |- RR+ e. _V
11	10	mptex 5869	. . . . 5 |- ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) e. _V
12	11	rnex 4992	. . . 4 |- ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) e. _V
13	1, 3, 7, 12	mpofvexi 6358	. . 3 |- ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V
14	13	ax-gen 1495	. 2 |- A. d ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V
15		df-metu 14522	. . 3 |- metUnif = ( d e. U. ran PsMet |-> ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) )
16	15	mptfvex 5722	. 2 |- ( ( A. d ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V /\ A e. V ) -> (metUnif ` A ) e. _V )
17	14, 16	mpan 424	1 |- ( A e. V -> (metUnif ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1393   e. wcel 2200   =/= wne 2400   {crab 2512   _Vcvv 2799   i^i cin 3196   (/)c0 3491   ~Pcpw 3649   U.cuni 3888   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   `'ccnv 4718   dom cdm 4719   ran crn 4720   "cima 4722   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8006   0cc0 8007   RR+crp 9857   [,)cico 10094  PsMetcpsmet 14507   fBascfbas 14511   filGencfg 14512  metUnifcmetu 14514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-rp 9858  df-fg 14521  df-metu 14522

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14530