Theorem metuex 14111

Description: Applying metUnif yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
metuex	|- ( A e. V -> (metUnif ` A ) e. _V )

Proof of Theorem metuex

Dummy variables d a x w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fg 14105	. . . 4 |- filGen = ( w e. _V , x e. ( fBas ` w ) |-> { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } )
2		vpwex 4212	. . . . 5 |- ~P w e. _V
3	2	rabex 4177	. . . 4 |- { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } e. _V
4		vex 2766	. . . . . . 7 |- d e. _V
5	4	dmex 4932	. . . . . 6 |- dom d e. _V
6	5	dmex 4932	. . . . 5 |- dom dom d e. _V
7	6, 6	xpex 4778	. . . 4 |- ( dom dom d X. dom dom d ) e. _V
8		reex 8013	. . . . . . 7 |- RR e. _V
9		rpssre 9739	. . . . . . 7 |- RR+ C_ RR
10	8, 9	ssexi 4171	. . . . . 6 |- RR+ e. _V
11	10	mptex 5788	. . . . 5 |- ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) e. _V
12	11	rnex 4933	. . . 4 |- ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) e. _V
13	1, 3, 7, 12	mpofvexi 6264	. . 3 |- ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V
14	13	ax-gen 1463	. 2 |- A. d ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V
15		df-metu 14106	. . 3 |- metUnif = ( d e. U. ran PsMet |-> ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) )
16	15	mptfvex 5647	. 2 |- ( ( A. d ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V /\ A e. V ) -> (metUnif ` A ) e. _V )
17	14, 16	mpan 424	1 |- ( A e. V -> (metUnif ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1362   e. wcel 2167   =/= wne 2367   {crab 2479   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   (/)c0 3450   ~Pcpw 3605   U.cuni 3839   |-> cmpt 4094   X. cxp 4661   `'ccnv 4662   dom cdm 4663   ran crn 4664   "cima 4666   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   RR+crp 9728   [,)cico 9965  PsMetcpsmet 14091   fBascfbas 14095   filGencfg 14096  metUnifcmetu 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-rp 9729  df-fg 14105  df-metu 14106

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14114