Theorem metuex 14815

Description: Applying metUnif yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
metuex	|- ( A e. V -> (metUnif ` A ) e. _V )

Proof of Theorem metuex

Dummy variables d a x w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fg 14809	. . . 4 |- filGen = ( w e. _V , x e. ( fBas ` w ) |-> { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } )
2		vpwex 4297	. . . . 5 |- ~P w e. _V
3	2	rabex 4261	. . . 4 |- { y e. ~P w | ( x i^i ~P y ) =/= (/) } e. _V
4		vex 2818	. . . . . . 7 |- d e. _V
5	4	dmex 5029	. . . . . 6 |- dom d e. _V
6	5	dmex 5029	. . . . 5 |- dom dom d e. _V
7	6, 6	xpex 4871	. . . 4 |- ( dom dom d X. dom dom d ) e. _V
8		reex 8277	. . . . . . 7 |- RR e. _V
9		rpssre 10015	. . . . . . 7 |- RR+ C_ RR
10	8, 9	ssexi 4253	. . . . . 6 |- RR+ e. _V
11	10	mptex 5917	. . . . 5 |- ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) e. _V
12	11	rnex 5030	. . . 4 |- ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) e. _V
13	1, 3, 7, 12	mpofvexi 6415	. . 3 |- ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V
14	13	ax-gen 1498	. 2 |- A. d ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V
15		df-metu 14810	. . 3 |- metUnif = ( d e. U. ran PsMet |-> ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) )
16	15	mptfvex 5768	. 2 |- ( ( A. d ( ( dom dom d X. dom dom d ) filGen ran ( a e. RR+ |-> ( `' d " ( 0 [,) a ) ) ) ) e. _V /\ A e. V ) -> (metUnif ` A ) e. _V )
17	14, 16	mpan 424	1 |- ( A e. V -> (metUnif ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1396   e. wcel 2205   =/= wne 2414   {crab 2526   _Vcvv 2815   i^i cin 3213   (/)c0 3512   ~Pcpw 3674   U.cuni 3919   |-> cmpt 4176   X. cxp 4752   `'ccnv 4753   dom cdm 4754   ran crn 4755   "cima 4757   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   RR+crp 10004   [,)cico 10242  PsMetcpsmet 14795   fBascfbas 14799   filGencfg 14800  metUnifcmetu 14802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-rp 10005  df-fg 14809  df-metu 14810

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14818