Theorem metuex 14540

Description: Applying metUnif yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
metuex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (metUnif‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem metuex

Dummy variables 𝑑 𝑎 𝑥 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fg 14534	. . . 4 ⊢ filGen = (𝑤 ∈ V, 𝑥 ∈ (fBas‘𝑤) ↦ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
2		vpwex 4264	. . . . 5 ⊢ 𝒫 𝑤 ∈ V
3	2	rabex 4229	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ∈ V
4		vex 2802	. . . . . . 7 ⊢ 𝑑 ∈ V
5	4	dmex 4994	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑑 ∈ V
6	5	dmex 4994	. . . . 5 ⊢ dom dom 𝑑 ∈ V
7	6, 6	xpex 4837	. . . 4 ⊢ (dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑) ∈ V
8		reex 8149	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
9		rpssre 9877	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
10	8, 9	ssexi 4222	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ∈ V
11	10	mptex 5872	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎))) ∈ V
12	11	rnex 4995	. . . 4 ⊢ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎))) ∈ V
13	1, 3, 7, 12	mpofvexi 6363	. . 3 ⊢ ((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V
14	13	ax-gen 1495	. 2 ⊢ ∀𝑑((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V
15		df-metu 14535	. . 3 ⊢ metUnif = (𝑑 ∈ ∪ ran PsMet ↦ ((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))))
16	15	mptfvex 5725	. 2 ⊢ ((∀𝑑((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (metUnif‘𝐴) ∈ V)
17	14, 16	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (metUnif‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1393   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  {crab 2512  Vcvv 2799   ∩ cin 3196  ∅c0 3491  𝒫 cpw 3649  ∪ cuni 3888   ↦ cmpt 4145   × cxp 4718  ^◡ccnv 4719  dom cdm 4720  ran crn 4721   “ cima 4723  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℝcr 8014  0cc0 8015  ℝ⁺crp 9866  [,)cico 10103  PsMetcpsmet 14520  fBascfbas 14524  filGencfg 14525  metUnifcmetu 14527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-rp 9867  df-fg 14534  df-metu 14535

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14543