Theorem metuex 14572

Description: Applying metUnif yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
metuex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (metUnif‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem metuex

Dummy variables 𝑑 𝑎 𝑥 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fg 14566	. . . 4 ⊢ filGen = (𝑤 ∈ V, 𝑥 ∈ (fBas‘𝑤) ↦ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
2		vpwex 4269	. . . . 5 ⊢ 𝒫 𝑤 ∈ V
3	2	rabex 4234	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ∈ V
4		vex 2805	. . . . . . 7 ⊢ 𝑑 ∈ V
5	4	dmex 4999	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑑 ∈ V
6	5	dmex 4999	. . . . 5 ⊢ dom dom 𝑑 ∈ V
7	6, 6	xpex 4842	. . . 4 ⊢ (dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑) ∈ V
8		reex 8166	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
9		rpssre 9899	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
10	8, 9	ssexi 4227	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ∈ V
11	10	mptex 5880	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎))) ∈ V
12	11	rnex 5000	. . . 4 ⊢ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎))) ∈ V
13	1, 3, 7, 12	mpofvexi 6371	. . 3 ⊢ ((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V
14	13	ax-gen 1497	. 2 ⊢ ∀𝑑((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V
15		df-metu 14567	. . 3 ⊢ metUnif = (𝑑 ∈ ∪ ran PsMet ↦ ((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))))
16	15	mptfvex 5732	. 2 ⊢ ((∀𝑑((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (metUnif‘𝐴) ∈ V)
17	14, 16	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (metUnif‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1395   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  {crab 2514  Vcvv 2802   ∩ cin 3199  ∅c0 3494  𝒫 cpw 3652  ∪ cuni 3893   ↦ cmpt 4150   × cxp 4723  ^◡ccnv 4724  dom cdm 4725  ran crn 4726   “ cima 4728  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032  ℝ⁺crp 9888  [,)cico 10125  PsMetcpsmet 14552  fBascfbas 14556  filGencfg 14557  metUnifcmetu 14559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-rp 9889  df-fg 14566  df-metu 14567

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14575