Theorem metuex 14690

Description: Applying metUnif yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
metuex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (metUnif‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem metuex

Dummy variables 𝑑 𝑎 𝑥 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fg 14684	. . . 4 ⊢ filGen = (𝑤 ∈ V, 𝑥 ∈ (fBas‘𝑤) ↦ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
2		vpwex 4291	. . . . 5 ⊢ 𝒫 𝑤 ∈ V
3	2	rabex 4255	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ∈ V
4		vex 2815	. . . . . . 7 ⊢ 𝑑 ∈ V
5	4	dmex 5023	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑑 ∈ V
6	5	dmex 5023	. . . . 5 ⊢ dom dom 𝑑 ∈ V
7	6, 6	xpex 4865	. . . 4 ⊢ (dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑) ∈ V
8		reex 8257	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
9		rpssre 9993	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
10	8, 9	ssexi 4247	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ∈ V
11	10	mptex 5911	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎))) ∈ V
12	11	rnex 5024	. . . 4 ⊢ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎))) ∈ V
13	1, 3, 7, 12	mpofvexi 6401	. . 3 ⊢ ((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V
14	13	ax-gen 1498	. 2 ⊢ ∀𝑑((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V
15		df-metu 14685	. . 3 ⊢ metUnif = (𝑑 ∈ ∪ ran PsMet ↦ ((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))))
16	15	mptfvex 5762	. 2 ⊢ ((∀𝑑((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (metUnif‘𝐴) ∈ V)
17	14, 16	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (metUnif‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1396   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  {crab 2524  Vcvv 2812   ∩ cin 3209  ∅c0 3507  𝒫 cpw 3668  ∪ cuni 3913   ↦ cmpt 4170   × cxp 4746  ^◡ccnv 4747  dom cdm 4748  ran crn 4749   “ cima 4751  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℝcr 8122  0cc0 8123  ℝ⁺crp 9982  [,)cico 10219  PsMetcpsmet 14670  fBascfbas 14674  filGencfg 14675  metUnifcmetu 14677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-rp 9983  df-fg 14684  df-metu 14685

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14693