Theorem metuex 14187

Description: Applying metUnif yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
metuex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (metUnif‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem metuex

Dummy variables 𝑑 𝑎 𝑥 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fg 14181	. . . 4 ⊢ filGen = (𝑤 ∈ V, 𝑥 ∈ (fBas‘𝑤) ↦ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
2		vpwex 4213	. . . . 5 ⊢ 𝒫 𝑤 ∈ V
3	2	rabex 4178	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ∈ V
4		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑑 ∈ V
5	4	dmex 4933	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑑 ∈ V
6	5	dmex 4933	. . . . 5 ⊢ dom dom 𝑑 ∈ V
7	6, 6	xpex 4779	. . . 4 ⊢ (dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑) ∈ V
8		reex 8030	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
9		rpssre 9756	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
10	8, 9	ssexi 4172	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ∈ V
11	10	mptex 5791	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎))) ∈ V
12	11	rnex 4934	. . . 4 ⊢ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎))) ∈ V
13	1, 3, 7, 12	mpofvexi 6273	. . 3 ⊢ ((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V
14	13	ax-gen 1463	. 2 ⊢ ∀𝑑((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V
15		df-metu 14182	. . 3 ⊢ metUnif = (𝑑 ∈ ∪ ran PsMet ↦ ((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))))
16	15	mptfvex 5650	. 2 ⊢ ((∀𝑑((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (metUnif‘𝐴) ∈ V)
17	14, 16	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (metUnif‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1362   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  {crab 2479  Vcvv 2763   ∩ cin 3156  ∅c0 3451  𝒫 cpw 3606  ∪ cuni 3840   ↦ cmpt 4095   × cxp 4662  ^◡ccnv 4663  dom cdm 4664  ran crn 4665   “ cima 4667  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896  ℝ⁺crp 9745  [,)cico 9982  PsMetcpsmet 14167  fBascfbas 14171  filGencfg 14172  metUnifcmetu 14174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-rp 9746  df-fg 14181  df-metu 14182

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14190