Theorem metuex 14484

Description: Applying metUnif yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
metuex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (metUnif‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem metuex

Dummy variables 𝑑 𝑎 𝑥 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fg 14478	. . . 4 ⊢ filGen = (𝑤 ∈ V, 𝑥 ∈ (fBas‘𝑤) ↦ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
2		vpwex 4242	. . . . 5 ⊢ 𝒫 𝑤 ∈ V
3	2	rabex 4207	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑤 ∣ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ∈ V
4		vex 2782	. . . . . . 7 ⊢ 𝑑 ∈ V
5	4	dmex 4967	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑑 ∈ V
6	5	dmex 4967	. . . . 5 ⊢ dom dom 𝑑 ∈ V
7	6, 6	xpex 4811	. . . 4 ⊢ (dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑) ∈ V
8		reex 8101	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
9		rpssre 9828	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
10	8, 9	ssexi 4201	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ∈ V
11	10	mptex 5838	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎))) ∈ V
12	11	rnex 4968	. . . 4 ⊢ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎))) ∈ V
13	1, 3, 7, 12	mpofvexi 6322	. . 3 ⊢ ((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V
14	13	ax-gen 1475	. 2 ⊢ ∀𝑑((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V
15		df-metu 14479	. . 3 ⊢ metUnif = (𝑑 ∈ ∪ ran PsMet ↦ ((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))))
16	15	mptfvex 5693	. 2 ⊢ ((∀𝑑((dom dom 𝑑 × dom dom 𝑑)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝑑 “ (0[,)𝑎)))) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (metUnif‘𝐴) ∈ V)
17	14, 16	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (metUnif‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1373   ∈ wcel 2180   ≠ wne 2380  {crab 2492  Vcvv 2779   ∩ cin 3176  ∅c0 3471  𝒫 cpw 3629  ∪ cuni 3867   ↦ cmpt 4124   × cxp 4694  ^◡ccnv 4695  dom cdm 4696  ran crn 4697   “ cima 4699  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℝcr 7966  0cc0 7967  ℝ⁺crp 9817  [,)cico 10054  PsMetcpsmet 14464  fBascfbas 14468  filGencfg 14469  metUnifcmetu 14471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-rp 9818  df-fg 14478  df-metu 14479

This theorem is referenced by:  cnfldstr  14487