Theorem mvllmulapd 9181

Description: Move LHS left multiplication to RHS. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvllmulapd.1	|- ( ph -> A e. CC )
mvllmulapd.2	|- ( ph -> B e. CC )
mvllmulapd.3	|- ( ph -> A # 0 )
mvllmulapd.4	|- ( ph -> ( A x. B ) = C )

Assertion

Ref	Expression
mvllmulapd	|- ( ph -> B = ( C / A ) )

Proof of Theorem mvllmulapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvllmulapd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
2		mvllmulapd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
3		mvllmulapd.3	. . 3 |- ( ph -> A # 0 )
4	1, 2, 3	divcanap4d 9135	. 2 |- ( ph -> ( ( B x. A ) / A ) = B )
5	2, 1	mulcomd 8354	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
6		mvllmulapd.4	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. B ) = C )
7	5, 6	eqtr3d 2273	. . 3 |- ( ph -> ( B x. A ) = C )
8	7	oveq1d 6103	. 2 |- ( ph -> ( ( B x. A ) / A ) = ( C / A ) )
9	4, 8	eqtr3d 2273	1 |- ( ph -> B = ( C / A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   CCcc 8184   0cc0 8186   x. cmul 8191   # cap 8918   / cdiv 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012

This theorem is used by:  exprecap  11039  efneg  12472  nnmaxpwlemxy  12974  sincos6thpi  16081  rpcxpneg  16152  cxprec  16155