Theorem exprecap 10558

Description: Integer exponentiation of a reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
exprecap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 / A ) ^ N ) = ( 1 / ( A ^ N ) ) )

Proof of Theorem exprecap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzap 10542	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. CC )
2		recclap 8634	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) e. CC )
3	2	3adant3 1017	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 1 / A ) e. CC )
4		recap0 8640	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) # 0 )
5	4	3adant3 1017	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 1 / A ) # 0 )
6		simp3 999	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7		expclzap 10542	. . 3 |- ( ( ( 1 / A ) e. CC /\ ( 1 / A ) # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 / A ) ^ N ) e. CC )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 / A ) ^ N ) e. CC )
9		expap0i 10549	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) # 0 )
10		simp1 997	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> A e. CC )
11		simp2 998	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> A # 0 )
12	10, 11	recidapd 8738	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A x. ( 1 / A ) ) = 1 )
13	12	oveq1d 5889	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^ N ) = ( 1 ^ N ) )
14		mulexpzap 10557	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( ( 1 / A ) e. CC /\ ( 1 / A ) # 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^ N ) = ( ( A ^ N ) x. ( ( 1 / A ) ^ N ) ) )
15	10, 11, 3, 5, 6, 14	syl221anc 1249	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^ N ) = ( ( A ^ N ) x. ( ( 1 / A ) ^ N ) ) )
16		1exp 10546	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 ^ N ) = 1 )
17	6, 16	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 1 ^ N ) = 1 )
18	13, 15, 17	3eqtr3d 2218	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( A ^ N ) x. ( ( 1 / A ) ^ N ) ) = 1 )
19	1, 8, 9, 18	mvllmulapd 8797	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 / A ) ^ N ) = ( 1 / ( A ^ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811   x. cmul 7815   # cap 8536   / cdiv 8627   ZZcz 9251   ^cexp 10516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-seqfrec 10443  df-exp 10517

This theorem is referenced by:  expmulzap  10563  expdivap  10568  sqrecapd  10654  exprecapd  10658  expcnvap0  11505  geo2lim  11519  sincos6thpi  14156