Theorem exprecap 11017

Description: Integer exponentiation of a reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
exprecap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 / A ) ^ N ) = ( 1 / ( A ^ N ) ) )

Proof of Theorem exprecap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclzap 11001	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) e. CC )
2		recclap 9009	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) e. CC )
3	2	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 1 / A ) e. CC )
4		recap0 9015	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) # 0 )
5	4	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 1 / A ) # 0 )
6		simp3 1030	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7		expclzap 11001	. . 3 |- ( ( ( 1 / A ) e. CC /\ ( 1 / A ) # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 / A ) ^ N ) e. CC )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 / A ) ^ N ) e. CC )
9		expap0i 11008	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ N ) # 0 )
10		simp1 1028	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> A e. CC )
11		simp2 1029	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> A # 0 )
12	10, 11	recidapd 9113	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( A x. ( 1 / A ) ) = 1 )
13	12	oveq1d 6100	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^ N ) = ( 1 ^ N ) )
14		mulexpzap 11016	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( ( 1 / A ) e. CC /\ ( 1 / A ) # 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^ N ) = ( ( A ^ N ) x. ( ( 1 / A ) ^ N ) ) )
15	10, 11, 3, 5, 6, 14	syl221anc 1289	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^ N ) = ( ( A ^ N ) x. ( ( 1 / A ) ^ N ) ) )
16		1exp 11005	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 ^ N ) = 1 )
17	6, 16	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 1 ^ N ) = 1 )
18	13, 15, 17	3eqtr3d 2279	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( A ^ N ) x. ( ( 1 / A ) ^ N ) ) = 1 )
19	1, 8, 9, 18	mvllmulapd 9172	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 1 / A ) ^ N ) = ( 1 / ( A ^ N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   x. cmul 8184   # cap 8909   / cdiv 9002   ZZcz 9644   ^cexp 10975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-exp 10976

This theorem is used by:  expmulzap  11022  expdivap  11027  sqrecapd  11115  exprecapd  11119  expcnvap0  12269  geo2lim  12283  sincos6thpi  15943