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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > oddpwdclemxy | Unicode version |
Description: Lemma for oddpwdc 11644. Another way of stating that decomposing a natural number into a power of two and an odd number is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.) |
Ref | Expression |
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oddpwdclemxy |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 2nn 8733 |
. . . . . 6
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2 | 1 | a1i 9 |
. . . . 5
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3 | simplll 503 |
. . . . . . . . 9
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4 | 3 | nnzd 9024 |
. . . . . . . 8
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5 | simplr 500 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 2, 5 | nnexpcld 10287 |
. . . . . . . . 9
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7 | 6 | nnzd 9024 |
. . . . . . . 8
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8 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 6, 3 | nnmulcld 8627 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 8, 9 | eqeltrd 2176 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | nnzd 9024 |
. . . . . . . 8
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12 | 6 | nncnd 8592 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 3 | nncnd 8592 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 12, 13 | mulcomd 7659 |
. . . . . . . . 9
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15 | 8, 14 | eqtr2d 2133 |
. . . . . . . 8
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16 | dvds0lem 11298 |
. . . . . . . 8
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17 | 4, 7, 11, 15, 16 | syl31anc 1187 |
. . . . . . 7
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18 | simpllr 504 |
. . . . . . . . 9
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19 | 8 | breq2d 3887 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 2 | nnzd 9024 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 6 | nnne0d 8623 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | dvdscmulr 11317 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 20, 4, 7, 21, 22 | syl112anc 1188 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 19, 23 | bitrd 187 |
. . . . . . . . 9
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25 | 18, 24 | mtbird 639 |
. . . . . . . 8
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26 | 2 | nncnd 8592 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26, 5 | expp1d 10266 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | breq1d 3885 |
. . . . . . . 8
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29 | 25, 28 | mtbird 639 |
. . . . . . 7
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30 | pw2dvdseu 11638 |
. . . . . . . . 9
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31 | 10, 30 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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32 | oveq2 5714 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | breq1d 3885 |
. . . . . . . . . 10
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34 | oveq1 5713 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 34 | oveq2d 5722 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35 | breq1d 3885 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | notbid 633 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 33, 37 | anbi12d 460 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | riota2 5684 |
. . . . . . . 8
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40 | 5, 31, 39 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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41 | 17, 29, 40 | mpbi2and 895 |
. . . . . 6
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42 | 41, 5 | eqeltrd 2176 |
. . . . 5
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43 | 2, 42 | nnexpcld 10287 |
. . . 4
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44 | 43 | nncnd 8592 |
. . 3
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45 | 43 | nnap0d 8624 |
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46 | 41 | eqcomd 2105 |
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47 | 46 | oveq2d 5722 |
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48 | 47 | oveq1d 5721 |
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49 | 8, 48 | eqtr2d 2133 |
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50 | 44, 13, 45, 49 | mvllmulapd 8459 |
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51 | 50, 46 | jca 302 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 ax-arch 7614 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-iord 4226 df-on 4228 df-ilim 4229 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-frec 6218 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-inn 8579 df-2 8637 df-n0 8830 df-z 8907 df-uz 9177 df-q 9262 df-rp 9292 df-fz 9632 df-fl 9884 df-mod 9937 df-seqfrec 10060 df-exp 10134 df-dvds 11289 |
This theorem is referenced by: oddpwdclemdc 11643 |
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