Theorem cxprec 14193

Description: Complex exponentiation of a reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxprec	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( 1 / A ) ^c B ) = ( 1 / ( A ^c B ) ) )

Proof of Theorem cxprec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcncxpcl 14185	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) e. CC )
2		rpreccl 9675	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR+ )
3		rpcncxpcl 14185	. . 3 |- ( ( ( 1 / A ) e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( 1 / A ) ^c B ) e. CC )
4	2, 3	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( 1 / A ) ^c B ) e. CC )
5		cxpap0 14187	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) # 0 )
6		rpcn 9657	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> A e. CC )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> A e. CC )
8		rpap0 9665	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> A # 0 )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> A # 0 )
10	7, 9	recidapd 8735	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A x. ( 1 / A ) ) = 1 )
11	10	oveq1d 5886	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^c B ) = ( 1 ^c B ) )
12		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> A e. RR+ )
13	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( 1 / A ) e. RR+ )
14		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> B e. CC )
15		rpmulcxp 14192	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ ( 1 / A ) e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^c B ) = ( ( A ^c B ) x. ( ( 1 / A ) ^c B ) ) )
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^c B ) = ( ( A ^c B ) x. ( ( 1 / A ) ^c B ) ) )
17		1cxp 14183	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( 1 ^c B ) = 1 )
18	17	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( 1 ^c B ) = 1 )
19	11, 16, 18	3eqtr3d 2218	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( A ^c B ) x. ( ( 1 / A ) ^c B ) ) = 1 )
20	1, 4, 5, 19	mvllmulapd 8794	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( 1 / A ) ^c B ) = ( 1 / ( A ^c B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871   CCcc 7805   0cc0 7807   1c1 7808   x. cmul 7812   # cap 8533   / cdiv 8624   RR+crp 9648   ^c ccxp 14140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927  ax-pre-suploc 7928  ax-addf 7929  ax-mulf 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3980  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-isom 5223  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-of 6079  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-frec 6388  df-1o 6413  df-oadd 6417  df-er 6531  df-map 6646  df-pm 6647  df-en 6737  df-dom 6738  df-fin 6739  df-sup 6979  df-inf 6980  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-rp 9649  df-xneg 9767  df-xadd 9768  df-ioo 9887  df-ico 9889  df-icc 9890  df-fz 10004  df-fzo 10137  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-fac 10698  df-bc 10720  df-ihash 10748  df-shft 10816  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-clim 11279  df-sumdc 11354  df-ef 11648  df-e 11649  df-rest 12677  df-topgen 12696  df-psmet 13307  df-xmet 13308  df-met 13309  df-bl 13310  df-mopn 13311  df-top 13358  df-topon 13371  df-bases 13403  df-ntr 13458  df-cn 13550  df-cnp 13551  df-tx 13615  df-cncf 13920  df-limced 13987  df-dvap 13988  df-relog 14141  df-rpcxp 14142

This theorem is referenced by:  rpdivcxp  14194  cxplt3  14202  cxprecd  14213