Theorem cxprec 14146

Description: Complex exponentiation of a reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxprec	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( 1 / A ) ^c B ) = ( 1 / ( A ^c B ) ) )

Proof of Theorem cxprec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcncxpcl 14138	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) e. CC )
2		rpreccl 9674	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( 1 / A ) e. RR+ )
3		rpcncxpcl 14138	. . 3 |- ( ( ( 1 / A ) e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( 1 / A ) ^c B ) e. CC )
4	2, 3	sylan 283	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( 1 / A ) ^c B ) e. CC )
5		cxpap0 14140	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) # 0 )
6		rpcn 9656	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> A e. CC )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> A e. CC )
8		rpap0 9664	. . . . . 6 |- ( A e. RR+ -> A # 0 )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> A # 0 )
10	7, 9	recidapd 8734	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A x. ( 1 / A ) ) = 1 )
11	10	oveq1d 5885	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^c B ) = ( 1 ^c B ) )
12		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> A e. RR+ )
13	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( 1 / A ) e. RR+ )
14		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> B e. CC )
15		rpmulcxp 14145	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ ( 1 / A ) e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^c B ) = ( ( A ^c B ) x. ( ( 1 / A ) ^c B ) ) )
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( A x. ( 1 / A ) ) ^c B ) = ( ( A ^c B ) x. ( ( 1 / A ) ^c B ) ) )
17		1cxp 14136	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( 1 ^c B ) = 1 )
18	17	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( 1 ^c B ) = 1 )
19	11, 16, 18	3eqtr3d 2218	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( A ^c B ) x. ( ( 1 / A ) ^c B ) ) = 1 )
20	1, 4, 5, 19	mvllmulapd 8793	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( ( 1 / A ) ^c B ) = ( 1 / ( A ^c B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4001  (class class class)co 5870   CCcc 7804   0cc0 7806   1c1 7807   x. cmul 7811   # cap 8532   / cdiv 8623   RR+crp 9647   ^c ccxp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924  ax-arch 7925  ax-caucvg 7926  ax-pre-suploc 7927  ax-addf 7928  ax-mulf 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-disj 3979  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-iord 4364  df-on 4366  df-ilim 4367  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-isom 5222  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-of 6078  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-recs 6301  df-irdg 6366  df-frec 6387  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6530  df-map 6645  df-pm 6646  df-en 6736  df-dom 6737  df-fin 6738  df-sup 6978  df-inf 6979  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533  df-div 8624  df-inn 8914  df-2 8972  df-3 8973  df-4 8974  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523  df-q 9614  df-rp 9648  df-xneg 9766  df-xadd 9767  df-ioo 9886  df-ico 9888  df-icc 9889  df-fz 10003  df-fzo 10136  df-seqfrec 10439  df-exp 10513  df-fac 10697  df-bc 10719  df-ihash 10747  df-shft 10815  df-cj 10842  df-re 10843  df-im 10844  df-rsqrt 10998  df-abs 10999  df-clim 11278  df-sumdc 11353  df-ef 11647  df-e 11648  df-rest 12676  df-topgen 12695  df-psmet 13285  df-xmet 13286  df-met 13287  df-bl 13288  df-mopn 13289  df-top 13311  df-topon 13324  df-bases 13356  df-ntr 13411  df-cn 13503  df-cnp 13504  df-tx 13568  df-cncf 13873  df-limced 13940  df-dvap 13941  df-relog 14094  df-rpcxp 14095

This theorem is referenced by:  rpdivcxp  14147  cxplt3  14155  cxprecd  14166