ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expnass Unicode version

Theorem expnass 10660
Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
expnass  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )

Proof of Theorem expnass
StepHypRef Expression
1 3cn 9025 . . 3  |-  3  e.  CC
2 3nn0 9225 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 expmul 10599 . . 3  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 3  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^
3 ) )
41, 2, 2, 3mp3an 1348 . 2  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )
5 3re 9024 . . 3  |-  3  e.  RR
62, 2nn0mulcli 9245 . . . 4  |-  ( 3  x.  3 )  e. 
NN0
76nn0zi 9306 . . 3  |-  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ
82, 2nn0expcli 10580 . . . 4  |-  ( 3 ^ 3 )  e. 
NN0
98nn0zi 9306 . . 3  |-  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ
10 1lt3 9121 . . . 4  |-  1  <  3
111sqvali 10634 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  =  ( 3  x.  3 )
12 2z 9312 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
13 3z 9313 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
14 2lt3 9120 . . . . . . 7  |-  2  <  3
15 ltexp2a 10606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  3  /\  2  <  3
) )  ->  (
3 ^ 2 )  <  ( 3 ^ 3 ) )
1610, 14, 15mpanr12 439 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
3 ^ 2 )  <  ( 3 ^ 3 ) )
175, 12, 13, 16mp3an 1348 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  < 
( 3 ^ 3 )
1811, 17eqbrtrri 4041 . . . 4  |-  ( 3  x.  3 )  < 
( 3 ^ 3 )
19 ltexp2a 10606 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  3  /\  ( 3  x.  3 )  < 
( 3 ^ 3 ) ) )  -> 
( 3 ^ (
3  x.  3 ) )  <  ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
2010, 18, 19mpanr12 439 . . 3  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ )  ->  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  <  (
3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
215, 7, 9, 20mp3an 1348 . 2  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )
224, 21eqbrtrri 4041 1  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   1c1 7843    x. cmul 7847    < clt 8023   2c2 9001   3c3 9002   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ^cexp 10553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-seqfrec 10479  df-exp 10554
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator