Theorem expnass 9979

Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
expnass	|- ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) )

Proof of Theorem expnass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 8435	. . 3 |- 3 e. CC
2		3nn0 8627	. . 3 |- 3 e. NN0
3		expmul 9920	. . 3 |- ( ( 3 e. CC /\ 3 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) = ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 ) )
4	1, 2, 2, 3	mp3an 1271	. 2 |- ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) = ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )
5		3re 8434	. . 3 |- 3 e. RR
6	2, 2	nn0mulcli 8647	. . . 4 |- ( 3 x. 3 ) e. NN0
7	6	nn0zi 8708	. . 3 |- ( 3 x. 3 ) e. ZZ
8	2, 2	nn0expcli 9901	. . . 4 |- ( 3 ^ 3 ) e. NN0
9	8	nn0zi 8708	. . 3 |- ( 3 ^ 3 ) e. ZZ
10		1lt3 8524	. . . 4 |- 1 < 3
11	1	sqvali 9954	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = ( 3 x. 3 )
12		2z 8714	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
13		3z 8715	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
14		2lt3 8523	. . . . . . 7 |- 2 < 3
15		ltexp2a 9927	. . . . . . 7 |- ( ( ( 3 e. RR /\ 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) /\ ( 1 < 3 /\ 2 < 3 ) ) -> ( 3 ^ 2 ) < ( 3 ^ 3 ) )
16	10, 14, 15	mpanr12 430	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 ^ 2 ) < ( 3 ^ 3 ) )
17	5, 12, 13, 16	mp3an 1271	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) < ( 3 ^ 3 )
18	11, 17	eqbrtrri 3843	. . . 4 |- ( 3 x. 3 ) < ( 3 ^ 3 )
19		ltexp2a 9927	. . . 4 |- ( ( ( 3 e. RR /\ ( 3 x. 3 ) e. ZZ /\ ( 3 ^ 3 ) e. ZZ ) /\ ( 1 < 3 /\ ( 3 x. 3 ) < ( 3 ^ 3 ) ) ) -> ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
20	10, 18, 19	mpanr12 430	. . 3 |- ( ( 3 e. RR /\ ( 3 x. 3 ) e. ZZ /\ ( 3 ^ 3 ) e. ZZ ) -> ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
21	5, 7, 9, 20	mp3an 1271	. 2 |- ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) )
22	4, 21	eqbrtrri 3843	1 |- ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) )

Syntax hints:   /\ w3a 922   = wceq 1287   e. wcel 1436   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615   CCcc 7295   RRcr 7296   1c1 7298   x. cmul 7302   < clt 7469   2c2 8410   3c3 8411   NN0cn0 8609   ZZcz 8686   ^cexp 9874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-rp 9070  df-iseq 9784  df-iexp 9875

This theorem is referenced by: (None)