Theorem expnass 10629

Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
expnass	|- ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) )

Proof of Theorem expnass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 8997	. . 3 |- 3 e. CC
2		3nn0 9197	. . 3 |- 3 e. NN0
3		expmul 10568	. . 3 |- ( ( 3 e. CC /\ 3 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) = ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 ) )
4	1, 2, 2, 3	mp3an 1337	. 2 |- ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) = ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )
5		3re 8996	. . 3 |- 3 e. RR
6	2, 2	nn0mulcli 9217	. . . 4 |- ( 3 x. 3 ) e. NN0
7	6	nn0zi 9278	. . 3 |- ( 3 x. 3 ) e. ZZ
8	2, 2	nn0expcli 10549	. . . 4 |- ( 3 ^ 3 ) e. NN0
9	8	nn0zi 9278	. . 3 |- ( 3 ^ 3 ) e. ZZ
10		1lt3 9093	. . . 4 |- 1 < 3
11	1	sqvali 10603	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = ( 3 x. 3 )
12		2z 9284	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
13		3z 9285	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
14		2lt3 9092	. . . . . . 7 |- 2 < 3
15		ltexp2a 10575	. . . . . . 7 |- ( ( ( 3 e. RR /\ 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) /\ ( 1 < 3 /\ 2 < 3 ) ) -> ( 3 ^ 2 ) < ( 3 ^ 3 ) )
16	10, 14, 15	mpanr12 439	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 ^ 2 ) < ( 3 ^ 3 ) )
17	5, 12, 13, 16	mp3an 1337	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) < ( 3 ^ 3 )
18	11, 17	eqbrtrri 4028	. . . 4 |- ( 3 x. 3 ) < ( 3 ^ 3 )
19		ltexp2a 10575	. . . 4 |- ( ( ( 3 e. RR /\ ( 3 x. 3 ) e. ZZ /\ ( 3 ^ 3 ) e. ZZ ) /\ ( 1 < 3 /\ ( 3 x. 3 ) < ( 3 ^ 3 ) ) ) -> ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
20	10, 18, 19	mpanr12 439	. . 3 |- ( ( 3 e. RR /\ ( 3 x. 3 ) e. ZZ /\ ( 3 ^ 3 ) e. ZZ ) -> ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
21	5, 7, 9, 20	mp3an 1337	. 2 |- ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) )
22	4, 21	eqbrtrri 4028	1 |- ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) )

Syntax hints:   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   CCcc 7812   RRcr 7813   1c1 7815   x. cmul 7819   < clt 7995   2c2 8973   3c3 8974   NN0cn0 9179   ZZcz 9256   ^cexp 10522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523

This theorem is referenced by: (None)