Theorem expnass 10660

Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
expnass	|- ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) )

Proof of Theorem expnass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 9025	. . 3 |- 3 e. CC
2		3nn0 9225	. . 3 |- 3 e. NN0
3		expmul 10599	. . 3 |- ( ( 3 e. CC /\ 3 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) = ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 ) )
4	1, 2, 2, 3	mp3an 1348	. 2 |- ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) = ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )
5		3re 9024	. . 3 |- 3 e. RR
6	2, 2	nn0mulcli 9245	. . . 4 |- ( 3 x. 3 ) e. NN0
7	6	nn0zi 9306	. . 3 |- ( 3 x. 3 ) e. ZZ
8	2, 2	nn0expcli 10580	. . . 4 |- ( 3 ^ 3 ) e. NN0
9	8	nn0zi 9306	. . 3 |- ( 3 ^ 3 ) e. ZZ
10		1lt3 9121	. . . 4 |- 1 < 3
11	1	sqvali 10634	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = ( 3 x. 3 )
12		2z 9312	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
13		3z 9313	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
14		2lt3 9120	. . . . . . 7 |- 2 < 3
15		ltexp2a 10606	. . . . . . 7 |- ( ( ( 3 e. RR /\ 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) /\ ( 1 < 3 /\ 2 < 3 ) ) -> ( 3 ^ 2 ) < ( 3 ^ 3 ) )
16	10, 14, 15	mpanr12 439	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 ^ 2 ) < ( 3 ^ 3 ) )
17	5, 12, 13, 16	mp3an 1348	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) < ( 3 ^ 3 )
18	11, 17	eqbrtrri 4041	. . . 4 |- ( 3 x. 3 ) < ( 3 ^ 3 )
19		ltexp2a 10606	. . . 4 |- ( ( ( 3 e. RR /\ ( 3 x. 3 ) e. ZZ /\ ( 3 ^ 3 ) e. ZZ ) /\ ( 1 < 3 /\ ( 3 x. 3 ) < ( 3 ^ 3 ) ) ) -> ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
20	10, 18, 19	mpanr12 439	. . 3 |- ( ( 3 e. RR /\ ( 3 x. 3 ) e. ZZ /\ ( 3 ^ 3 ) e. ZZ ) -> ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
21	5, 7, 9, 20	mp3an 1348	. 2 |- ( 3 ^ ( 3 x. 3 ) ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) )
22	4, 21	eqbrtrri 4041	1 |- ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 ) < ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) )

Syntax hints:   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   1c1 7843   x. cmul 7847   < clt 8023   2c2 9001   3c3 9002   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ^cexp 10553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-seqfrec 10479  df-exp 10554

This theorem is referenced by: (None)