Theorem facubnd 10837

Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
facubnd	|- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) <_ ( N ^ N ) )

Proof of Theorem facubnd

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5558	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ! ` m ) = ( ! ` 0 ) )
2		fac0 10820	. . . 4 |- ( ! ` 0 ) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2245	. . 3 |- ( m = 0 -> ( ! ` m ) = 1 )
4		id 19	. . . . 5 |- ( m = 0 -> m = 0 )
5	4, 4	oveq12d 5940	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( m ^ m ) = ( 0 ^ 0 ) )
6		0exp0e1 10636	. . . 4 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
7	5, 6	eqtrdi 2245	. . 3 |- ( m = 0 -> ( m ^ m ) = 1 )
8	3, 7	breq12d 4046	. 2 |- ( m = 0 -> ( ( ! ` m ) <_ ( m ^ m ) <-> 1 <_ 1 ) )
9		fveq2 5558	. . 3 |- ( m = k -> ( ! ` m ) = ( ! ` k ) )
10		id 19	. . . 4 |- ( m = k -> m = k )
11	10, 10	oveq12d 5940	. . 3 |- ( m = k -> ( m ^ m ) = ( k ^ k ) )
12	9, 11	breq12d 4046	. 2 |- ( m = k -> ( ( ! ` m ) <_ ( m ^ m ) <-> ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) )
13		fveq2 5558	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ! ` m ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
14		id 19	. . . 4 |- ( m = ( k + 1 ) -> m = ( k + 1 ) )
15	14, 14	oveq12d 5940	. . 3 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( m ^ m ) = ( ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) )
16	13, 15	breq12d 4046	. 2 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` m ) <_ ( m ^ m ) <-> ( ! ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) )
17		fveq2 5558	. . 3 |- ( m = N -> ( ! ` m ) = ( ! ` N ) )
18		id 19	. . . 4 |- ( m = N -> m = N )
19	18, 18	oveq12d 5940	. . 3 |- ( m = N -> ( m ^ m ) = ( N ^ N ) )
20	17, 19	breq12d 4046	. 2 |- ( m = N -> ( ( ! ` m ) <_ ( m ^ m ) <-> ( ! ` N ) <_ ( N ^ N ) ) )
21		1le1 8599	. 2 |- 1 <_ 1
22		faccl 10827	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
24	23	nnred 9003	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` k ) e. RR )
25		nn0re 9258	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> k e. RR )
27		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> k e. NN0 )
28	26, 27	reexpcld 10782	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( k ^ k ) e. RR )
29		nn0p1nn 9288	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
30	29	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
31	30	nnred 9003	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
32	31, 27	reexpcld 10782	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ( k + 1 ) ^ k ) e. RR )
33		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) )
34		nn0ge0 9274	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ k )
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> 0 <_ k )
36	26	lep1d 8958	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
37		leexp1a 10686	. . . . . . 7 |- ( ( ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( 0 <_ k /\ k <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( k ^ k ) <_ ( ( k + 1 ) ^ k ) )
38	26, 31, 27, 35, 36, 37	syl32anc 1257	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( k ^ k ) <_ ( ( k + 1 ) ^ k ) )
39	24, 28, 32, 33, 38	letrd 8150	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` k ) <_ ( ( k + 1 ) ^ k ) )
40	30	nngt0d 9034	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> 0 < ( k + 1 ) )
41		lemul1 8620	. . . . . 6 |- ( ( ( ! ` k ) e. RR /\ ( ( k + 1 ) ^ k ) e. RR /\ ( ( k + 1 ) e. RR /\ 0 < ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ! ` k ) <_ ( ( k + 1 ) ^ k ) <-> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <_ ( ( ( k + 1 ) ^ k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
42	24, 32, 31, 40, 41	syl112anc 1253	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ( ! ` k ) <_ ( ( k + 1 ) ^ k ) <-> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <_ ( ( ( k + 1 ) ^ k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
43	39, 42	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <_ ( ( ( k + 1 ) ^ k ) x. ( k + 1 ) ) )
44		facp1 10822	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
45	44	adantr 276	. . . 4 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
46	30	nncnd 9004	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
47	46, 27	expp1d 10766	. . . 4 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( k + 1 ) ^ k ) x. ( k + 1 ) ) )
48	43, 45, 47	3brtr4d 4065	. . 3 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) )
49	48	ex 115	. 2 |- ( k e. NN0 -> ( ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) )
50	8, 12, 16, 20, 21, 49	nn0ind 9440	1 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) <_ ( N ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ^cexp 10630   !cfa 10817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818

This theorem is referenced by: (None)