ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facubnd Unicode version

Theorem facubnd 10149
Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
facubnd  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  <_ 
( N ^ N
) )

Proof of Theorem facubnd
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5305 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  ( ! `  m )  =  ( ! ` 
0 ) )
2 fac0 10132 . . . 4  |-  ( ! `
 0 )  =  1
31, 2syl6eq 2136 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  ( ! `  m )  =  1 )
4 id 19 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  m  =  0 )
54, 4oveq12d 5670 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
m ^ m )  =  ( 0 ^ 0 ) )
6 0exp0e1 9956 . . . 4  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
75, 6syl6eq 2136 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
m ^ m )  =  1 )
83, 7breq12d 3858 . 2  |-  ( m  =  0  ->  (
( ! `  m
)  <_  ( m ^ m )  <->  1  <_  1 ) )
9 fveq2 5305 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  ( ! `  m )  =  ( ! `  k ) )
10 id 19 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  m  =  k )
1110, 10oveq12d 5670 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
m ^ m )  =  ( k ^
k ) )
129, 11breq12d 3858 . 2  |-  ( m  =  k  ->  (
( ! `  m
)  <_  ( m ^ m )  <->  ( ! `  k )  <_  (
k ^ k ) ) )
13 fveq2 5305 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  m )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
14 id 19 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  m  =  ( k  +  1 ) )
1514, 14oveq12d 5670 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
m ^ m )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( k  +  1 ) ) )
1613, 15breq12d 3858 . 2  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  m
)  <_  ( m ^ m )  <->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( k  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) ) )
17 fveq2 5305 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  ( ! `  m )  =  ( ! `  N ) )
18 id 19 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  m  =  N )
1918, 18oveq12d 5670 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
m ^ m )  =  ( N ^ N ) )
2017, 19breq12d 3858 . 2  |-  ( m  =  N  ->  (
( ! `  m
)  <_  ( m ^ m )  <->  ( ! `  N )  <_  ( N ^ N ) ) )
21 1le1 8047 . 2  |-  1  <_  1
22 faccl 10139 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
2322adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
2423nnred 8433 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  k
)  e.  RR )
25 nn0re 8680 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
2625adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
k  e.  RR )
27 simpl 107 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2826, 27reexpcld 10099 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( k ^ k
)  e.  RR )
29 nn0p1nn 8710 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
3029adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
3130nnred 8433 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR )
3231, 27reexpcld 10099 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ k
)  e.  RR )
33 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  k
)  <_  ( k ^ k ) )
34 nn0ge0 8696 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
3534adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
0  <_  k )
3626lep1d 8390 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
k  <_  ( k  +  1 ) )
37 leexp1a 10006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  k  /\  k  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k ^ k )  <_ 
( ( k  +  1 ) ^ k
) )
3826, 31, 27, 35, 36, 37syl32anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( k ^ k
)  <_  ( (
k  +  1 ) ^ k ) )
3924, 28, 32, 33, 38letrd 7605 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  k
)  <_  ( (
k  +  1 ) ^ k ) )
4030nngt0d 8464 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
0  <  ( k  +  1 ) )
41 lemul1 8068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 ) ^ k
)  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ! `  k )  <_  ( ( k  +  1 ) ^ k
)  <->  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  <_  (
( ( k  +  1 ) ^ k
)  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
4224, 32, 31, 40, 41syl112anc 1178 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ( ! `  k )  <_  (
( k  +  1 ) ^ k )  <-> 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
( k  +  1 ) ^ k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
4339, 42mpbid 145 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
( k  +  1 ) ^ k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
44 facp1 10134 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
4544adantr 270 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
4630nncnd 8434 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
4746, 27expp1d 10083 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( k  +  1 ) ^ k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
4843, 45, 473brtr4d 3875 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
k  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )
4948ex 113 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ! `  k )  <_  ( k ^
k )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( k  +  1 ) ^
( k  +  1 ) ) ) )
508, 12, 16, 20, 21, 49nn0ind 8858 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  <_ 
( N ^ N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   RRcr 7347   0cc0 7348   1c1 7349    + caddc 7351    x. cmul 7353    < clt 7520    <_ cle 7521   NNcn 8420   NN0cn0 8671   ^cexp 9950   !cfa 10129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-fac 10130
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator