ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facubnd Unicode version

Theorem facubnd 10431
Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
facubnd  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  <_ 
( N ^ N
) )

Proof of Theorem facubnd
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5387 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  ( ! `  m )  =  ( ! ` 
0 ) )
2 fac0 10414 . . . 4  |-  ( ! `
 0 )  =  1
31, 2syl6eq 2164 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  ( ! `  m )  =  1 )
4 id 19 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  m  =  0 )
54, 4oveq12d 5758 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
m ^ m )  =  ( 0 ^ 0 ) )
6 0exp0e1 10238 . . . 4  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
75, 6syl6eq 2164 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
m ^ m )  =  1 )
83, 7breq12d 3910 . 2  |-  ( m  =  0  ->  (
( ! `  m
)  <_  ( m ^ m )  <->  1  <_  1 ) )
9 fveq2 5387 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  ( ! `  m )  =  ( ! `  k ) )
10 id 19 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  m  =  k )
1110, 10oveq12d 5758 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
m ^ m )  =  ( k ^
k ) )
129, 11breq12d 3910 . 2  |-  ( m  =  k  ->  (
( ! `  m
)  <_  ( m ^ m )  <->  ( ! `  k )  <_  (
k ^ k ) ) )
13 fveq2 5387 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  m )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
14 id 19 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  m  =  ( k  +  1 ) )
1514, 14oveq12d 5758 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
m ^ m )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( k  +  1 ) ) )
1613, 15breq12d 3910 . 2  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  m
)  <_  ( m ^ m )  <->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( k  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) ) )
17 fveq2 5387 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  ( ! `  m )  =  ( ! `  N ) )
18 id 19 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  m  =  N )
1918, 18oveq12d 5758 . . 3  |-  ( m  =  N  ->  (
m ^ m )  =  ( N ^ N ) )
2017, 19breq12d 3910 . 2  |-  ( m  =  N  ->  (
( ! `  m
)  <_  ( m ^ m )  <->  ( ! `  N )  <_  ( N ^ N ) ) )
21 1le1 8297 . 2  |-  1  <_  1
22 faccl 10421 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
2322adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
2423nnred 8690 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  k
)  e.  RR )
25 nn0re 8937 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
2625adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
k  e.  RR )
27 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2826, 27reexpcld 10381 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( k ^ k
)  e.  RR )
29 nn0p1nn 8967 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
3029adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
3130nnred 8690 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR )
3231, 27reexpcld 10381 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ k
)  e.  RR )
33 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  k
)  <_  ( k ^ k ) )
34 nn0ge0 8953 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
3534adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
0  <_  k )
3626lep1d 8646 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
k  <_  ( k  +  1 ) )
37 leexp1a 10288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  k  /\  k  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k ^ k )  <_ 
( ( k  +  1 ) ^ k
) )
3826, 31, 27, 35, 36, 37syl32anc 1207 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( k ^ k
)  <_  ( (
k  +  1 ) ^ k ) )
3924, 28, 32, 33, 38letrd 7850 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  k
)  <_  ( (
k  +  1 ) ^ k ) )
4030nngt0d 8721 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
0  <  ( k  +  1 ) )
41 lemul1 8318 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 ) ^ k
)  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( ! `  k )  <_  ( ( k  +  1 ) ^ k
)  <->  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  <_  (
( ( k  +  1 ) ^ k
)  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
4224, 32, 31, 40, 41syl112anc 1203 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ( ! `  k )  <_  (
( k  +  1 ) ^ k )  <-> 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
( k  +  1 ) ^ k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
4339, 42mpbid 146 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
( k  +  1 ) ^ k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
44 facp1 10416 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
4544adantr 272 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
4630nncnd 8691 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
4746, 27expp1d 10365 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( k  +  1 ) ^ k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
4843, 45, 473brtr4d 3928 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ! `  k )  <_  ( k ^
k ) )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
k  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )
4948ex 114 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ! `  k )  <_  ( k ^
k )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( k  +  1 ) ^
( k  +  1 ) ) ) )
508, 12, 16, 20, 21, 49nn0ind 9116 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  <_ 
( N ^ N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    x. cmul 7589    < clt 7764    <_ cle 7765   NNcn 8677   NN0cn0 8928   ^cexp 10232   !cfa 10411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-fac 10412
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator