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Theorem pcfac 12257

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5480	. . . . . . . 8
2		fveq2 5480	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 5852	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 5859	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11297	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2179	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2671	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 229	. . . . . 6
9		fveq2 5480	. . . . . . . 8
10		fveq2 5480	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 5852	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 5859	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11297	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2179	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2671	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 229	. . . . . 6
17		fveq2 5480	. . . . . . . 8
18		fveq2 5480	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 5852	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 5859	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11297	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2179	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2671	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 229	. . . . . 6
25		fveq2 5480	. . . . . . . 8
26		fveq2 5480	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 5852	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 5859	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11297	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2179	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2671	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 229	. . . . . 6
33		1zzd 9209	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9466	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10356	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11316	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 726	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9120	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 9979	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9158	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9491	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2257	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 519	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12256	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1331	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11295	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10630	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 5847	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12214	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	syl5eq 2209	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 274	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2208	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2537	. . . . . 6
57		nn0z 9202	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9471	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9512	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9477	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3201	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 5843	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10632	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10637	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9201	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 8876	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9144	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9201	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 8876	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12210	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2198	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 9943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11295	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10356	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9305	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9305	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 11379	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 11767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 8861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8013	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 9989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 9951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 9965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 10685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11327	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11327	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9160	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8218	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2179	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	syl5ib 153	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2531	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 114	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9296	. . . . 5
183	182	imp 123	. . . 4 $/\$
184		oveq2 5844	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11293	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2176	. . . . 5
187	186	rspcv 2821	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1190	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1196	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698 DECID wdc 824 $/\$ w3a 967

wceq 1342

wcel 2135

wne 2334

wral 2442

wss 3111

cif 3515 class class class wbr 3976

cfv 5182 (class class class)co 5836

cfn 6697

cr 7743

cc0 7744

c1 7745

caddc 7747

cmul 7749

clt 7924

cle 7925

cmin 8060

cdiv 8559

cn 8848

c2 8899

cn0 9105

cz 9182

cuz 9457

cq 9548

cfz 9935

cfl 10193

cexp 10444

cfa 10627 ♯chash 10677

csu 11280

cdvds 11713

cprime 12018

cpc 12193

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1434 ax-7 1435 ax-gen 1436 ax-ie1 1480 ax-ie2 1481 ax-8 1491 ax-10 1492 ax-11 1493 ax-i12 1494 ax-bndl 1496 ax-4 1497 ax-17 1513 ax-i9 1517 ax-ial 1521 ax-i5r 1522 ax-13 2137 ax-14 2138 ax-ext 2146 ax-coll 4091 ax-sep 4094 ax-nul 4102 ax-pow 4147 ax-pr 4181 ax-un 4405 ax-setind 4508 ax-iinf 4559 ax-cnex 7835 ax-resscn 7836 ax-1cn 7837 ax-1re 7838 ax-icn 7839 ax-addcl 7840 ax-addrcl 7841 ax-mulcl 7842 ax-mulrcl 7843 ax-addcom 7844 ax-mulcom 7845 ax-addass 7846 ax-mulass 7847 ax-distr 7848 ax-i2m1 7849 ax-0lt1 7850 ax-1rid 7851 ax-0id 7852 ax-rnegex 7853 ax-precex 7854 ax-cnre 7855 ax-pre-ltirr 7856 ax-pre-ltwlin 7857 ax-pre-lttrn 7858 ax-pre-apti 7859 ax-pre-ltadd 7860 ax-pre-mulgt0 7861 ax-pre-mulext 7862 ax-arch 7863 ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 968 df-3an 969 df-tru 1345 df-fal 1348 df-nf 1448 df-sb 1750 df-eu 2016 df-mo 2017 df-clab 2151 df-cleq 2157 df-clel 2160 df-nfc 2295 df-ne 2335 df-nel 2430 df-ral 2447 df-rex 2448 df-reu 2449 df-rmo 2450 df-rab 2451 df-v 2723 df-sbc 2947 df-csb 3041 df-dif 3113 df-un 3115 df-in 3117 df-ss 3124 df-nul 3405 df-if 3516 df-pw 3555 df-sn 3576 df-pr 3577 df-op 3579 df-uni 3784 df-int 3819 df-iun 3862 df-br 3977 df-opab 4038 df-mpt 4039 df-tr 4075 df-id 4265 df-po 4268 df-iso 4269 df-iord 4338 df-on 4340 df-ilim 4341 df-suc 4343 df-iom 4562 df-xp 4604 df-rel 4605 df-cnv 4606 df-co 4607 df-dm 4608 df-rn 4609 df-res 4610 df-ima 4611 df-iota 5147 df-fun 5184 df-fn 5185 df-f 5186 df-f1 5187 df-fo 5188 df-f1o 5189 df-fv 5190 df-isom 5191 df-riota 5792 df-ov 5839 df-oprab 5840 df-mpo 5841 df-1st 6100 df-2nd 6101 df-recs 6264 df-irdg 6329 df-frec 6350 df-1o 6375 df-2o 6376 df-oadd 6379 df-er 6492 df-en 6698 df-dom 6699 df-fin 6700 df-sup 6940 df-inf 6941 df-pnf 7926 df-mnf 7927 df-xr 7928 df-ltxr 7929 df-le 7930 df-sub 8062 df-neg 8063 df-reap 8464 df-ap 8471 df-div 8560 df-inn 8849 df-2 8907 df-3 8908 df-4 8909 df-n0 9106 df-z 9183 df-uz 9458 df-q 9549 df-rp 9581 df-fz 9936 df-fzo 10068 df-fl 10195 df-mod 10248 df-seqfrec 10371 df-exp 10445 df-fac 10628 df-ihash 10678 df-cj 10770 df-re 10771 df-im 10772 df-rsqrt 10926 df-abs 10927 df-clim 11206 df-sumdc 11281 df-dvds 11714 df-gcd 11861 df-prm 12019 df-pc 12194

This theorem is referenced by: pcbc 12258

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