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Theorem pcfac 12361

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5527	. . . . . . . 8
2		fveq2 5527	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 5904	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 5911	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11391	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2202	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2695	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5527	. . . . . . . 8
10		fveq2 5527	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 5904	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 5911	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11391	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2202	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2695	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5527	. . . . . . . 8
18		fveq2 5527	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 5904	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 5911	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11391	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2202	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2695	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5527	. . . . . . . 8
26		fveq2 5527	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 5904	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 5911	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11391	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2202	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2695	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9293	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9550	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10444	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11410	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 737	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9204	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10067	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9242	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9575	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2280	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1352	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11389	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10721	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 5899	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12318	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2232	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2231	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2560	. . . . . 6
57		nn0z 9286	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9555	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9596	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9561	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3231	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 5895	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10723	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10728	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9285	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 8960	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9228	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9285	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 8960	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12314	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2221	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2220	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11389	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10444	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9389	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9389	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 11473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 11863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 8945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 10776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2220	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11421	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11421	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9244	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8299	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2202	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2554	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9380	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 5896	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11387	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2199	. . . . 5
187	186	rspcv 2849	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1202	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1208	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 DECID wdc 835 $/\$ w3a 979

wceq 1363

wcel 2158

wne 2357

wral 2465

wss 3141

cif 3546 class class class wbr 4015

cfv 5228 (class class class)co 5888

cfn 6753

cr 7823

cc0 7824

c1 7825

caddc 7827

cmul 7829

clt 8005

cle 8006

cmin 8141

cdiv 8642

cn 8932

c2 8983

cn0 9189

cz 9266

cuz 9541

cq 9632

cfz 10021

cfl 10281

cexp 10532

cfa 10718 ♯chash 10768

csu 11374

cdvds 11807

cprime 12120

cpc 12297

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 ax-arch 7943 ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-isom 5237 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-irdg 6384 df-frec 6405 df-1o 6430 df-2o 6431 df-oadd 6434 df-er 6548 df-en 6754 df-dom 6755 df-fin 6756 df-sup 6996 df-inf 6997 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 df-inn 8933 df-2 8991 df-3 8992 df-4 8993 df-n0 9190 df-z 9267 df-uz 9542 df-q 9633 df-rp 9667 df-fz 10022 df-fzo 10156 df-fl 10283 df-mod 10336 df-seqfrec 10459 df-exp 10533 df-fac 10719 df-ihash 10769 df-cj 10864 df-re 10865 df-im 10866 df-rsqrt 11020 df-abs 11021 df-clim 11300 df-sumdc 11375 df-dvds 11808 df-gcd 11957 df-prm 12121 df-pc 12298

This theorem is referenced by: pcbc 12362

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