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Theorem pcfac 13003

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5648	. . . . . . . 8
2		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 6051	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 12010	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2747	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5648	. . . . . . . 8
10		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 6051	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 12010	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2747	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5648	. . . . . . . 8
18		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 6051	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 12010	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2747	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5648	. . . . . . . 8
26		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 6051	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 12010	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2747	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9567	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9826	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10756	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 12030	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 744	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9476	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10351	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9516	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9852	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 13002	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1379	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 12008	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 11053	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 6039	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12958	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2276	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2606	. . . . . 6
57		nn0z 9560	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9831	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9878	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9838	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3292	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 6035	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 11055	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 11060	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9559	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 9230	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9500	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9559	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 9230	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12954	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 13001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 12008	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10756	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 12093	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 11020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 9215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 13000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 11108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 12041	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 12041	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9518	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8567	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2600	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9655	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 6036	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 12006	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2243	. . . . 5
187	186	rspcv 2907	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1228	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1234	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 DECID wdc 842 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202

wne 2403

wral 2511

wss 3201

cif 3607 class class class wbr 4093

cfv 5333 (class class class)co 6028

cfn 6952

cr 8091

cc0 8092

c1 8093

caddc 8095

cmul 8097

clt 8273

cle 8274

cmin 8409

cdiv 8911

cn 9202

c2 9253

cn0 9461

cz 9540

cuz 9816

cq 9914

cfz 10305

cfl 10591

cexp 10863

cfa 11050 ♯chash 11100

csu 11993

cdvds 12428

cprime 12759

cpc 12937

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210 ax-arch 8211 ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-isom 5342 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-irdg 6579 df-frec 6600 df-1o 6625 df-2o 6626 df-oadd 6629 df-er 6745 df-en 6953 df-dom 6954 df-fin 6955 df-sup 7243 df-inf 7244 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-2 9261 df-3 9262 df-4 9263 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-q 9915 df-rp 9950 df-fz 10306 df-fzo 10440 df-fl 10593 df-mod 10648 df-seqfrec 10773 df-exp 10864 df-fac 11051 df-ihash 11101 df-cj 11482 df-re 11483 df-im 11484 df-rsqrt 11638 df-abs 11639 df-clim 11919 df-sumdc 11994 df-dvds 12429 df-gcd 12605 df-prm 12760 df-pc 12938

This theorem is referenced by: pcbc 13004

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