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Theorem pcfac 12673

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5576	. . . . . . . 8
2		fveq2 5576	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 5967	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11681	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2220	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2718	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5576	. . . . . . . 8
10		fveq2 5576	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 5967	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11681	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2220	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2718	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5576	. . . . . . . 8
18		fveq2 5576	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 5967	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11681	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2220	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2718	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5576	. . . . . . . 8
26		fveq2 5576	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 5967	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11681	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2220	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2718	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9399	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9657	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10576	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11700	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 738	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9310	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10176	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9348	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9683	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2298	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12672	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1355	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11679	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10873	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 5955	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12628	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2250	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2249	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2579	. . . . . 6
57		nn0z 9392	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9662	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9704	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9669	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3257	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 5951	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10875	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 5960	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10880	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9391	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 9064	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9391	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 9064	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12624	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2239	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11679	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10576	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 11763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 12155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 9049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 10928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11711	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11711	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9350	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8401	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2220	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2573	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9487	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 5952	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11677	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2217	. . . . 5
187	186	rspcv 2873	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1204	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1210	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 DECID wdc 836 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2176

wne 2376

wral 2484

wss 3166

cif 3571 class class class wbr 4044

cfv 5271 (class class class)co 5944

cfn 6827

cr 7924

cc0 7925

c1 7926

caddc 7928

cmul 7930

clt 8107

cle 8108

cmin 8243

cdiv 8745

cn 9036

c2 9087

cn0 9295

cz 9372

cuz 9648

cq 9740

cfz 10130

cfl 10411

cexp 10683

cfa 10870 ♯chash 10920

csu 11664

cdvds 12098

cprime 12429

cpc 12607

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4159 ax-sep 4162 ax-nul 4170 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-iinf 4636 ax-cnex 8016 ax-resscn 8017 ax-1cn 8018 ax-1re 8019 ax-icn 8020 ax-addcl 8021 ax-addrcl 8022 ax-mulcl 8023 ax-mulrcl 8024 ax-addcom 8025 ax-mulcom 8026 ax-addass 8027 ax-mulass 8028 ax-distr 8029 ax-i2m1 8030 ax-0lt1 8031 ax-1rid 8032 ax-0id 8033 ax-rnegex 8034 ax-precex 8035 ax-cnre 8036 ax-pre-ltirr 8037 ax-pre-ltwlin 8038 ax-pre-lttrn 8039 ax-pre-apti 8040 ax-pre-ltadd 8041 ax-pre-mulgt0 8042 ax-pre-mulext 8043 ax-arch 8044 ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-tr 4143 df-id 4340 df-po 4343 df-iso 4344 df-iord 4413 df-on 4415 df-ilim 4416 df-suc 4418 df-iom 4639 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-f1 5276 df-fo 5277 df-f1o 5278 df-fv 5279 df-isom 5280 df-riota 5899 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-1st 6226 df-2nd 6227 df-recs 6391 df-irdg 6456 df-frec 6477 df-1o 6502 df-2o 6503 df-oadd 6506 df-er 6620 df-en 6828 df-dom 6829 df-fin 6830 df-sup 7086 df-inf 7087 df-pnf 8109 df-mnf 8110 df-xr 8111 df-ltxr 8112 df-le 8113 df-sub 8245 df-neg 8246 df-reap 8648 df-ap 8655 df-div 8746 df-inn 9037 df-2 9095 df-3 9096 df-4 9097 df-n0 9296 df-z 9373 df-uz 9649 df-q 9741 df-rp 9776 df-fz 10131 df-fzo 10265 df-fl 10413 df-mod 10468 df-seqfrec 10593 df-exp 10684 df-fac 10871 df-ihash 10921 df-cj 11153 df-re 11154 df-im 11155 df-rsqrt 11309 df-abs 11310 df-clim 11590 df-sumdc 11665 df-dvds 12099 df-gcd 12275 df-prm 12430 df-pc 12608

This theorem is referenced by: pcbc 12674

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