pcfac - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pcfac		Unicode version

Theorem pcfac 12941

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5639	. . . . . . . 8
2		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11948	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2746	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5639	. . . . . . . 8
10		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11948	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2746	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5639	. . . . . . . 8
18		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11948	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2746	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5639	. . . . . . . 8
26		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11948	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2746	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9506	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9765	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10694	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11968	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 743	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9417	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10289	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9455	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9791	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12940	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1378	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11946	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10991	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 6029	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12896	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2276	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2605	. . . . . 6
57		nn0z 9499	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9770	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9817	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9777	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3291	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 6025	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10993	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10998	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9498	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 9171	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9441	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9498	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 9171	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12892	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11946	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10694	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 12031	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 12423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 9156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9506	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11979	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11979	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9457	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8508	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2599	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9594	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 6026	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11944	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2243	. . . . 5
187	186	rspcv 2906	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1227	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1233	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715 DECID wdc 841 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402

wral 2510

wss 3200

cif 3605 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6018

cfn 6909

cr 8031

cc0 8032

c1 8033

caddc 8035

cmul 8037

clt 8214

cle 8215

cmin 8350

cdiv 8852

cn 9143

c2 9194

cn0 9402

cz 9479

cuz 9755

cq 9853

cfz 10243

cfl 10529

cexp 10801

cfa 10988 ♯chash 11038

csu 11931

cdvds 12366

cprime 12697

cpc 12875

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-irdg 6536 df-frec 6557 df-1o 6582 df-2o 6583 df-oadd 6586 df-er 6702 df-en 6910 df-dom 6911 df-fin 6912 df-sup 7183 df-inf 7184 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-fac 10989 df-ihash 11039 df-cj 11420 df-re 11421 df-im 11422 df-rsqrt 11576 df-abs 11577 df-clim 11857 df-sumdc 11932 df-dvds 12367 df-gcd 12543 df-prm 12698 df-pc 12876

This theorem is referenced by: pcbc 12942

W3C validator