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Theorem pcfac 12706

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5578	. . . . . . . 8
2		fveq2 5578	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 5969	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11714	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2220	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2718	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5578	. . . . . . . 8
10		fveq2 5578	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 5969	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11714	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2220	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2718	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5578	. . . . . . . 8
18		fveq2 5578	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 5969	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11714	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2220	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2718	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5578	. . . . . . . 8
26		fveq2 5578	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 5969	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11714	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2220	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2718	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9401	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9659	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10578	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11733	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 738	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9312	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10178	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9350	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9685	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2298	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12705	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1355	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11712	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10875	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 5957	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12661	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2250	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2249	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2579	. . . . . 6
57		nn0z 9394	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9664	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9706	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9671	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3257	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 5953	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10877	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 5962	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10882	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9393	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 9066	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9336	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9393	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 9066	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12657	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2239	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11712	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10578	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9498	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9498	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 11796	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 9051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 10930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11744	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11744	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9352	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8403	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2220	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2573	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9489	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 5954	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11710	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2217	. . . . 5
187	186	rspcv 2873	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1204	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1210	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 DECID wdc 836 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2176

wne 2376

wral 2484

wss 3166

cif 3571 class class class wbr 4045

cfv 5272 (class class class)co 5946

cfn 6829

cr 7926

cc0 7927

c1 7928

caddc 7930

cmul 7932

clt 8109

cle 8110

cmin 8245

cdiv 8747

cn 9038

c2 9089

cn0 9297

cz 9374

cuz 9650

cq 9742

cfz 10132

cfl 10413

cexp 10685

cfa 10872 ♯chash 10922

csu 11697

cdvds 12131

cprime 12462

cpc 12640

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4160 ax-sep 4163 ax-nul 4171 ax-pow 4219 ax-pr 4254 ax-un 4481 ax-setind 4586 ax-iinf 4637 ax-cnex 8018 ax-resscn 8019 ax-1cn 8020 ax-1re 8021 ax-icn 8022 ax-addcl 8023 ax-addrcl 8024 ax-mulcl 8025 ax-mulrcl 8026 ax-addcom 8027 ax-mulcom 8028 ax-addass 8029 ax-mulass 8030 ax-distr 8031 ax-i2m1 8032 ax-0lt1 8033 ax-1rid 8034 ax-0id 8035 ax-rnegex 8036 ax-precex 8037 ax-cnre 8038 ax-pre-ltirr 8039 ax-pre-ltwlin 8040 ax-pre-lttrn 8041 ax-pre-apti 8042 ax-pre-ltadd 8043 ax-pre-mulgt0 8044 ax-pre-mulext 8045 ax-arch 8046 ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-br 4046 df-opab 4107 df-mpt 4108 df-tr 4144 df-id 4341 df-po 4344 df-iso 4345 df-iord 4414 df-on 4416 df-ilim 4417 df-suc 4419 df-iom 4640 df-xp 4682 df-rel 4683 df-cnv 4684 df-co 4685 df-dm 4686 df-rn 4687 df-res 4688 df-ima 4689 df-iota 5233 df-fun 5274 df-fn 5275 df-f 5276 df-f1 5277 df-fo 5278 df-f1o 5279 df-fv 5280 df-isom 5281 df-riota 5901 df-ov 5949 df-oprab 5950 df-mpo 5951 df-1st 6228 df-2nd 6229 df-recs 6393 df-irdg 6458 df-frec 6479 df-1o 6504 df-2o 6505 df-oadd 6508 df-er 6622 df-en 6830 df-dom 6831 df-fin 6832 df-sup 7088 df-inf 7089 df-pnf 8111 df-mnf 8112 df-xr 8113 df-ltxr 8114 df-le 8115 df-sub 8247 df-neg 8248 df-reap 8650 df-ap 8657 df-div 8748 df-inn 9039 df-2 9097 df-3 9098 df-4 9099 df-n0 9298 df-z 9375 df-uz 9651 df-q 9743 df-rp 9778 df-fz 10133 df-fzo 10267 df-fl 10415 df-mod 10470 df-seqfrec 10595 df-exp 10686 df-fac 10873 df-ihash 10923 df-cj 11186 df-re 11187 df-im 11188 df-rsqrt 11342 df-abs 11343 df-clim 11623 df-sumdc 11698 df-dvds 12132 df-gcd 12308 df-prm 12463 df-pc 12641

This theorem is referenced by: pcbc 12707

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