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Theorem pcfac 12788

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5599	. . . . . . . 8
2		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 5990	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11796	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2222	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2721	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5599	. . . . . . . 8
10		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 5990	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11796	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2222	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2721	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5599	. . . . . . . 8
18		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 5990	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11796	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2222	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2721	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5599	. . . . . . . 8
26		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 5990	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11796	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2222	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2721	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9434	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9692	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10613	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11815	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 738	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9345	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10211	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9383	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9718	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2300	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12787	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1355	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11794	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10910	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 5978	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12743	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2252	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2251	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2581	. . . . . 6
57		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9697	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9739	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9704	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3265	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 5974	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10912	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10917	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9426	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 9099	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9369	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9426	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 9099	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12739	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2241	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11794	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10613	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 11878	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 12270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 9084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 10965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2248	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9385	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8436	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2575	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9522	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 5975	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11792	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2219	. . . . 5
187	186	rspcv 2880	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1204	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1210	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 DECID wdc 836 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2178

wne 2378

wral 2486

wss 3174

cif 3579 class class class wbr 4059

cfv 5290 (class class class)co 5967

cfn 6850

cr 7959

cc0 7960

c1 7961

caddc 7963

cmul 7965

clt 8142

cle 8143

cmin 8278

cdiv 8780

cn 9071

c2 9122

cn0 9330

cz 9407

cuz 9683

cq 9775

cfz 10165

cfl 10448

cexp 10720

cfa 10907 ♯chash 10957

csu 11779

cdvds 12213

cprime 12544

cpc 12722

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078 ax-arch 8079 ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-isom 5299 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-irdg 6479 df-frec 6500 df-1o 6525 df-2o 6526 df-oadd 6529 df-er 6643 df-en 6851 df-dom 6852 df-fin 6853 df-sup 7112 df-inf 7113 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-2 9130 df-3 9131 df-4 9132 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-q 9776 df-rp 9811 df-fz 10166 df-fzo 10300 df-fl 10450 df-mod 10505 df-seqfrec 10630 df-exp 10721 df-fac 10908 df-ihash 10958 df-cj 11268 df-re 11269 df-im 11270 df-rsqrt 11424 df-abs 11425 df-clim 11705 df-sumdc 11780 df-dvds 12214 df-gcd 12390 df-prm 12545 df-pc 12723

This theorem is referenced by: pcbc 12789

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