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Theorem pcfac 12348

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5516	. . . . . . . 8
2		fveq2 5516	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 5898	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11378	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2685	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5516	. . . . . . . 8
10		fveq2 5516	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 5898	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11378	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2685	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5516	. . . . . . . 8
18		fveq2 5516	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 5898	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11378	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2685	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5516	. . . . . . . 8
26		fveq2 5516	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 5898	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11378	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2685	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9280	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9537	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10431	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11397	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 736	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9191	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10054	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9229	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9562	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12347	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1342	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11376	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10708	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 5886	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12305	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2222	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2221	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2550	. . . . . 6
57		nn0z 9273	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9542	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9583	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9548	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3220	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 5882	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10710	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10715	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9272	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 8947	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9215	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9272	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 8947	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12301	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11376	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10431	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9376	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9376	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 11460	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 10763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8286	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2544	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9367	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 5883	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11374	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2189	. . . . 5
187	186	rspcv 2838	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1201	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1207	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 DECID wdc 834 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347

wral 2455

wss 3130

cif 3535 class class class wbr 4004

cfv 5217 (class class class)co 5875

cfn 6740

cr 7810

cc0 7811

c1 7812

caddc 7814

cmul 7816

clt 7992

cle 7993

cmin 8128

cdiv 8629

cn 8919

c2 8970

cn0 9176

cz 9253

cuz 9528

cq 9619

cfz 10008

cfl 10268

cexp 10519

cfa 10705 ♯chash 10755

csu 11361

cdvds 11794

cprime 12107

cpc 12284

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-isom 5226 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-irdg 6371 df-frec 6392 df-1o 6417 df-2o 6418 df-oadd 6421 df-er 6535 df-en 6741 df-dom 6742 df-fin 6743 df-sup 6983 df-inf 6984 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-fz 10009 df-fzo 10143 df-fl 10270 df-mod 10323 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-fac 10706 df-ihash 10756 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-clim 11287 df-sumdc 11362 df-dvds 11795 df-gcd 11944 df-prm 12108 df-pc 12285

This theorem is referenced by: pcbc 12349

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