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Theorem pcfac 12889

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5629	. . . . . . . 8
2		fveq2 5629	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 6030	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11897	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2744	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5629	. . . . . . . 8
10		fveq2 5629	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 6030	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11897	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2744	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5629	. . . . . . . 8
18		fveq2 5629	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 6030	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11897	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2744	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5629	. . . . . . . 8
26		fveq2 5629	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 6023	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 6030	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11897	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2744	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9484	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9743	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10665	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11916	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 741	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9395	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10262	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9433	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9769	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12888	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1376	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11895	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10962	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 6018	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12844	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2274	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2603	. . . . . 6
57		nn0z 9477	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9748	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9790	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9755	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3288	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 6014	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10964	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10969	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9476	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 9149	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9419	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9476	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 9149	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12840	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2263	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11895	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 11979	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 9134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 11017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11927	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11927	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9435	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2597	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9572	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 6015	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11893	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2241	. . . . 5
187	186	rspcv 2903	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1225	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1231	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 DECID wdc 839 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

wral 2508

wss 3197

cif 3602 class class class wbr 4083

cfv 5318 (class class class)co 6007

cfn 6895

cr 8009

cc0 8010

c1 8011

caddc 8013

cmul 8015

clt 8192

cle 8193

cmin 8328

cdiv 8830

cn 9121

c2 9172

cn0 9380

cz 9457

cuz 9733

cq 9826

cfz 10216

cfl 10500

cexp 10772

cfa 10959 ♯chash 11009

csu 11880

cdvds 12314

cprime 12645

cpc 12823

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128 ax-arch 8129 ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-irdg 6522 df-frec 6543 df-1o 6568 df-2o 6569 df-oadd 6572 df-er 6688 df-en 6896 df-dom 6897 df-fin 6898 df-sup 7162 df-inf 7163 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-inn 9122 df-2 9180 df-3 9181 df-4 9182 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-q 9827 df-rp 9862 df-fz 10217 df-fzo 10351 df-fl 10502 df-mod 10557 df-seqfrec 10682 df-exp 10773 df-fac 10960 df-ihash 11010 df-cj 11369 df-re 11370 df-im 11371 df-rsqrt 11525 df-abs 11526 df-clim 11806 df-sumdc 11881 df-dvds 12315 df-gcd 12491 df-prm 12646 df-pc 12824

This theorem is referenced by: pcbc 12890

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