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Theorem pcfac 12491

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5555	. . . . . . . 8
2		fveq2 5555	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 5942	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11516	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2706	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5555	. . . . . . . 8
10		fveq2 5555	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 5942	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11516	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2706	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5555	. . . . . . . 8
18		fveq2 5555	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 5942	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11516	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2706	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5555	. . . . . . . 8
26		fveq2 5555	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 5942	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11516	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2706	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9347	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9604	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10505	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11535	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 737	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9258	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10123	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9296	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9630	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2286	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12490	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1353	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11514	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10802	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 5930	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12446	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2238	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2237	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2567	. . . . . 6
57		nn0z 9340	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9609	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9651	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9616	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3244	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 5926	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10804	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10809	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9339	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 9012	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9282	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9339	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 9012	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12442	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2227	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11514	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10505	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9443	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9443	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 11598	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 8997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 10857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2234	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11546	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11546	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9298	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8350	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2208	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2561	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9434	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 5927	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11512	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2205	. . . . 5
187	186	rspcv 2861	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1203	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1209	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 DECID wdc 835 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

wne 2364

wral 2472

wss 3154

cif 3558 class class class wbr 4030

cfv 5255 (class class class)co 5919

cfn 6796

cr 7873

cc0 7874

c1 7875

caddc 7877

cmul 7879

clt 8056

cle 8057

cmin 8192

cdiv 8693

cn 8984

c2 9035

cn0 9243

cz 9320

cuz 9595

cq 9687

cfz 10077

cfl 10340

cexp 10612

cfa 10799 ♯chash 10849

csu 11499

cdvds 11933

cprime 12248

cpc 12425

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-isom 5264 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-irdg 6425 df-frec 6446 df-1o 6471 df-2o 6472 df-oadd 6475 df-er 6589 df-en 6797 df-dom 6798 df-fin 6799 df-sup 7045 df-inf 7046 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-fz 10078 df-fzo 10212 df-fl 10342 df-mod 10397 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-fac 10800 df-ihash 10850 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991 df-rsqrt 11145 df-abs 11146 df-clim 11425 df-sumdc 11500 df-dvds 11934 df-gcd 12083 df-prm 12249 df-pc 12426

This theorem is referenced by: pcbc 12492

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