pcfac - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pcfac		Unicode version

Theorem pcfac 12488

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5554	. . . . . . . 8
2		fveq2 5554	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11513	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2706	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5554	. . . . . . . 8
10		fveq2 5554	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11513	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2706	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5554	. . . . . . . 8
18		fveq2 5554	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11513	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2706	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5554	. . . . . . . 8
26		fveq2 5554	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 5941	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11513	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2706	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9344	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10502	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11532	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 737	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9255	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10120	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9627	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2286	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12487	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1353	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11511	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10799	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 5929	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12443	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2238	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2237	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2567	. . . . . 6
57		nn0z 9337	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9606	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9648	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9613	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3243	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 5925	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10806	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 9010	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9279	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 9010	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12439	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2227	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11511	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10502	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 11595	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 10854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2234	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11543	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11543	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9295	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8348	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2208	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2561	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9431	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 5926	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11509	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2205	. . . . 5
187	186	rspcv 2860	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1203	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1209	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 DECID wdc 835 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

wne 2364

wral 2472

wss 3153

cif 3557 class class class wbr 4029

cfv 5254 (class class class)co 5918

cfn 6794

cr 7871

cc0 7872

c1 7873

caddc 7875

cmul 7877

clt 8054

cle 8055

cmin 8190

cdiv 8691

cn 8982

c2 9033

cn0 9240

cz 9317

cuz 9592

cq 9684

cfz 10074

cfl 10337

cexp 10609

cfa 10796 ♯chash 10846

csu 11496

cdvds 11930

cprime 12245

cpc 12422

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-irdg 6423 df-frec 6444 df-1o 6469 df-2o 6470 df-oadd 6473 df-er 6587 df-en 6795 df-dom 6796 df-fin 6797 df-sup 7043 df-inf 7044 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-fl 10339 df-mod 10394 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-fac 10797 df-ihash 10847 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-clim 11422 df-sumdc 11497 df-dvds 11931 df-gcd 12080 df-prm 12246 df-pc 12423

This theorem is referenced by: pcbc 12489

W3C validator