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Theorem pcfac 12331

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5511	. . . . . . . 8
2		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 5892	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11362	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2684	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5511	. . . . . . . 8
10		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 5892	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11362	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2684	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5511	. . . . . . . 8
18		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 5892	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11362	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2684	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5511	. . . . . . . 8
26		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 5892	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11362	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2192	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2684	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9269	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9526	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10417	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11381	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 736	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9180	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10040	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9218	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9551	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12330	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1342	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11360	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10692	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 5880	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12288	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2222	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2221	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2550	. . . . . 6
57		nn0z 9262	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9531	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9572	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9537	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3219	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 5876	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10694	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10699	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9261	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 8936	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9204	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9261	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 8936	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12284	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11360	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10417	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 11444	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 11833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 8921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 10747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11392	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11392	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2544	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9356	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 5877	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11358	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2189	. . . . 5
187	186	rspcv 2837	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1201	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1207	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 DECID wdc 834 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

wne 2347

wral 2455

wss 3129

cif 3534 class class class wbr 4000

cfv 5212 (class class class)co 5869

cfn 6734

cr 7801

cc0 7802

c1 7803

caddc 7805

cmul 7807

clt 7982

cle 7983

cmin 8118

cdiv 8618

cn 8908

c2 8959

cn0 9165

cz 9242

cuz 9517

cq 9608

cfz 9995

cfl 10254

cexp 10505

cfa 10689 ♯chash 10739

csu 11345

cdvds 11778

cprime 12090

cpc 12267

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-frec 6386 df-1o 6411 df-2o 6412 df-oadd 6415 df-er 6529 df-en 6735 df-dom 6736 df-fin 6737 df-sup 6977 df-inf 6978 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-fac 10690 df-ihash 10740 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-clim 11271 df-sumdc 11346 df-dvds 11779 df-gcd 11927 df-prm 12091 df-pc 12268

This theorem is referenced by: pcbc 12332

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