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Theorem pcfac 12922

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5639	. . . . . . . 8
2		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 6040	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 11930	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2746	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5639	. . . . . . . 8
10		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 6040	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 11930	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2746	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5639	. . . . . . . 8
18		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 6040	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 11930	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2746	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5639	. . . . . . . 8
26		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 6040	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 11930	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2746	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9505	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9764	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10692	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 11949	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 743	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9416	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10288	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9454	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9790	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 12921	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1378	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 11928	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 10989	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 6028	. . . . . . . . . 10
52		pc1 12877	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2276	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2605	. . . . . 6
57		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9769	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9816	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9776	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3291	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 6024	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 10991	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 10996	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9497	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 9170	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9440	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9497	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 9170	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12873	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 11928	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10692	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 12012	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 12404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 9155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 10923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 12919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 11044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 11960	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 11960	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9456	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8507	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2599	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9593	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 6025	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 11926	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2243	. . . . 5
187	186	rspcv 2906	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1227	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1233	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715 DECID wdc 841 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402

wral 2510

wss 3200

cif 3605 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6017

cfn 6908

cr 8030

cc0 8031

c1 8032

caddc 8034

cmul 8036

clt 8213

cle 8214

cmin 8349

cdiv 8851

cn 9142

c2 9193

cn0 9401

cz 9478

cuz 9754

cq 9852

cfz 10242

cfl 10527

cexp 10799

cfa 10986 ♯chash 11036

csu 11913

cdvds 12347

cprime 12678

cpc 12856

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149 ax-arch 8150 ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-irdg 6535 df-frec 6556 df-1o 6581 df-2o 6582 df-oadd 6585 df-er 6701 df-en 6909 df-dom 6910 df-fin 6911 df-sup 7182 df-inf 7183 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-4 9203 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-q 9853 df-rp 9888 df-fz 10243 df-fzo 10377 df-fl 10529 df-mod 10584 df-seqfrec 10709 df-exp 10800 df-fac 10987 df-ihash 11037 df-cj 11402 df-re 11403 df-im 11404 df-rsqrt 11558 df-abs 11559 df-clim 11839 df-sumdc 11914 df-dvds 12348 df-gcd 12524 df-prm 12679 df-pc 12857

This theorem is referenced by: pcbc 12923

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