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Theorem pcfac 13048

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5670	. . . . . . . 8
2		fveq2 5670	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9
4		fvoveq1 6073	. . . . . . . . . 10
5	4	sumeq2sdv 12055	. . . . . . . . 9
6	3, 5	eqeq12d 2247	. . . . . . . 8
7	1, 6	raleqbidv 2757	. . . . . . 7
8	7	imbi2d 230	. . . . . 6
9		fveq2 5670	. . . . . . . 8
10		fveq2 5670	. . . . . . . . . 10
11	10	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9
12		fvoveq1 6073	. . . . . . . . . 10
13	12	sumeq2sdv 12055	. . . . . . . . 9
14	11, 13	eqeq12d 2247	. . . . . . . 8
15	9, 14	raleqbidv 2757	. . . . . . 7
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6
17		fveq2 5670	. . . . . . . 8
18		fveq2 5670	. . . . . . . . . 10
19	18	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9
20		fvoveq1 6073	. . . . . . . . . 10
21	20	sumeq2sdv 12055	. . . . . . . . 9
22	19, 21	eqeq12d 2247	. . . . . . . 8
23	17, 22	raleqbidv 2757	. . . . . . 7
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6
25		fveq2 5670	. . . . . . . 8
26		fveq2 5670	. . . . . . . . . 10
27	26	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9
28		fvoveq1 6073	. . . . . . . . . 10
29	28	sumeq2sdv 12055	. . . . . . . . 9
30	27, 29	eqeq12d 2247	. . . . . . . 8
31	25, 30	raleqbidv 2757	. . . . . . 7
32	31	imbi2d 230	. . . . . 6
33		1zzd 9604	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		eluzelz 9863	. . . . . . . . . . 11
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	fzfigd 10793	. . . . . . . . 9 $/\$
37		isumz 12075	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ DECID $\/$
38	37	olcs 744	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$
40		0nn0 9511	. . . . . . . . . 10
41		elfznn 10388	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	nnnn0d 9553	. . . . . . . . . . . 12
43		nn0uz 9889	. . . . . . . . . . . 12
44	42, 43	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . . . 11
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		simpll 527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
47		pcfaclem 13047	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	40, 45, 46, 47	mp3an2i 1379	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	48	sumeq2dv 12053	. . . . . . . 8 $/\$
50		fac0 11090	. . . . . . . . . . 11
51	50	oveq2i 6061	. . . . . . . . . 10
52		pc1 13003	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	eqtrid 2277	. . . . . . . . 9
54	53	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
55	39, 49, 54	3eqtr4rd 2276	. . . . . . 7 $/\$
56	55	ralrimiva 2615	. . . . . 6
57		nn0z 9597	. . . . . . . . . . . 12
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		uzid 9868	. . . . . . . . . . 11
60		peano2uz 9915	. . . . . . . . . . 11
61	58, 59, 60	3syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
62		uzss 9875	. . . . . . . . . 10
63		ssralv 3302	. . . . . . . . . 10
64	61, 62, 63	3syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
65		oveq1 6057	. . . . . . . . . . 11
66		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
67		facp1 11092	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
69	68	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
70		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71		faccl 11097	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		nnz 9596	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73		nnne0 9265	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
75	66, 71, 74	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
76		nn0p1nn 9535	. . . . . . . . . . . . . . 15
77		nnz 9596	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		nnne0 9265	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
80	66, 76, 79	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
81		pcmul 12999	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	70, 75, 80, 81	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 82	eqtr2d 2266	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	nn0zd 9698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
86		prmnn 12807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	86	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
88		nnexpcl 10914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	87, 42, 88	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90		fldivp1 13046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
91	85, 89, 90	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		elfzuz 10355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	66, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
94	70, 93	pccld 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
95	94	nn0zd 9698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
96		elfz5 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
97	92, 95, 96	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
98		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
99	84, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
100	99	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
102		pcdvdsb 13018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104	97, 103	bitr2d 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ifbid 3644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	91, 105	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	sumeq2dv 12053	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108		1zzd 9604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
109		eluzelz 9863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
111	108, 110	fzfigd 10793	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
112		znq 9956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	100, 89, 112	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	flqcld 10637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
116		znq 9956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
117	85, 89, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
118	117	flqcld 10637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 115, 119	fsumsub 12138	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	94	nn0red 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
122	66	nn0red 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123		peano2re 8409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	122, 123	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	110	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
126	93	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127		zdcle 9654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ DECID
128	95, 126, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ DECID
129		zletric 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\/$
130	95, 126, 129	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
131	130	ord 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
132	93	nnnn0d 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
133		pcdvdsb 13018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
134	70, 126, 132, 133	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
135	87, 132	nnexpcld 11057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
136	135	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
137		dvdsle 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
138	136, 93, 137	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
139	135	nnred 9250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140	139, 124	lenltd 8391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
141	138, 140	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
142	134, 141	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
143	131, 142	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
144		prmuz2 12828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145	144	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146		bernneq3 11024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
147	145, 132, 146	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
148		condc 861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DECID
149	128, 143, 147, 148	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150		eluzle 9866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	150	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	121, 124, 125, 149, 151	letrd 8397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153		eluz 9867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
154	95, 110, 153	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
155	152, 154	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
156		fzss2 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	155, 156	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
158		elfzelz 10359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159	158	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
160		1zzd 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
161	95	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162		fzdcel 10374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ DECID
163	159, 160, 161, 162	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
164	163	ralrimiva 2615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID
165		sumhashdc 13045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ DECID ♯
166	111, 157, 164, 165	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
167		hashfz1 11146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ♯
168	94, 167	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ♯
169	166, 168	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
170	107, 120, 169	3eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
171	111, 115	fsumcl 12086	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
172	111, 119	fsumcl 12086	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
173	94	nn0cnd 9555	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	171, 172, 173	subaddd 8602	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	170, 174	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	83, 175	eqeq12d 2247	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
177	65, 176	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
178	177	ralimdva 2609	. . . . . . . . 9 $/\$
179	64, 178	syld 45	. . . . . . . 8 $/\$
180	179	ex 115	. . . . . . 7
181	180	a2d 26	. . . . . 6
182	8, 16, 24, 32, 56, 181	nn0ind 9692	. . . . 5
183	182	imp 124	. . . 4 $/\$
184		oveq2 6058	. . . . . . 7
185	184	sumeq1d 12051	. . . . . 6
186	185	eqeq2d 2244	. . . . 5
187	186	rspcv 2917	. . . 4
188	183, 187	syl5 32	. . 3 $/\$
189	188	3impib 1228	. 2 $/\$ $/\$
190	189	3com12 1234	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 DECID wdc 842 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2203

wne 2412

wral 2520

wss 3211

cif 3620 class class class wbr 4109

cfv 5352 (class class class)co 6050

cfn 6975

cr 8126

cc0 8127

c1 8128

caddc 8130

cmul 8132

clt 8308

cle 8309

cmin 8444

cdiv 8946

cn 9237

c2 9288

cn0 9496

cz 9577

cuz 9853

cq 9951

cfz 10342

cfl 10628

cexp 10900

cfa 11087 ♯chash 11138

csu 12038

cdvds 12473

cprime 12804

cpc 12982

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4225 ax-sep 4228 ax-nul 4236 ax-pow 4287 ax-pr 4322 ax-un 4554 ax-setind 4659 ax-iinf 4710 ax-cnex 8218 ax-resscn 8219 ax-1cn 8220 ax-1re 8221 ax-icn 8222 ax-addcl 8223 ax-addrcl 8224 ax-mulcl 8225 ax-mulrcl 8226 ax-addcom 8227 ax-mulcom 8228 ax-addass 8229 ax-mulass 8230 ax-distr 8231 ax-i2m1 8232 ax-0lt1 8233 ax-1rid 8234 ax-0id 8235 ax-rnegex 8236 ax-precex 8237 ax-cnre 8238 ax-pre-ltirr 8239 ax-pre-ltwlin 8240 ax-pre-lttrn 8241 ax-pre-apti 8242 ax-pre-ltadd 8243 ax-pre-mulgt0 8244 ax-pre-mulext 8245 ax-arch 8246 ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2815 df-sbc 3043 df-csb 3139 df-dif 3213 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-nul 3509 df-if 3621 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-int 3950 df-iun 3993 df-br 4110 df-opab 4172 df-mpt 4173 df-tr 4209 df-id 4414 df-po 4417 df-iso 4418 df-iord 4487 df-on 4489 df-ilim 4490 df-suc 4492 df-iom 4713 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761 df-ima 4762 df-iota 5312 df-fun 5354 df-fn 5355 df-f 5356 df-f1 5357 df-fo 5358 df-f1o 5359 df-fv 5360 df-isom 5361 df-riota 6003 df-ov 6053 df-oprab 6054 df-mpo 6055 df-1st 6334 df-2nd 6335 df-recs 6536 df-irdg 6601 df-frec 6622 df-1o 6647 df-2o 6648 df-oadd 6651 df-er 6767 df-en 6976 df-dom 6977 df-fin 6978 df-sup 7275 df-inf 7276 df-pnf 8310 df-mnf 8311 df-xr 8312 df-ltxr 8313 df-le 8314 df-sub 8446 df-neg 8447 df-reap 8849 df-ap 8856 df-div 8947 df-inn 9238 df-2 9296 df-3 9297 df-4 9298 df-n0 9497 df-z 9578 df-uz 9854 df-q 9952 df-rp 9987 df-fz 10343 df-fzo 10477 df-fl 10630 df-mod 10685 df-seqfrec 10810 df-exp 10901 df-fac 11088 df-ihash 11139 df-cj 11527 df-re 11528 df-im 11529 df-rsqrt 11683 df-abs 11684 df-clim 11964 df-sumdc 12039 df-dvds 12474 df-gcd 12650 df-prm 12805 df-pc 12983

This theorem is referenced by: pcbc 13049

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