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Theorem faclbnd 10721

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9178	. 2 $\/$
2		oveq1 5882	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 5891	. . . . . . 7
4		fveq2 5516	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 5891	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4017	. . . . . 6
7	6	imbi2d 230	. . . . 5
8		oveq1 5882	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 5891	. . . . . . 7
10		fveq2 5516	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 5891	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4017	. . . . . 6
13	12	imbi2d 230	. . . . 5
14		oveq1 5882	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 5891	. . . . . . 7
16		fveq2 5516	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5891	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4017	. . . . . 6
19	18	imbi2d 230	. . . . 5
20		oveq1 5882	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 5891	. . . . . . 7
22		fveq2 5516	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 5891	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4017	. . . . . 6
25	24	imbi2d 230	. . . . 5
26		nnre 8926	. . . . . . 7
27		nnge1 8942	. . . . . . 7
28		elnnuz 9564	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 120	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 10683	. . . . . 6
31		0p1e1 9033	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 5886	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 10708	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 5886	. . . . . . 7
36		nnnn0 9183	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 10671	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 7986	. . . . . . . 8
39	38	mulridd 7974	. . . . . . 7
40	35, 39	eqtrid 2222	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4036	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9216	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 10671	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 10671	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 10716	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 7988	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 9185	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 8093	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 8944	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 7957	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 8045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 10672	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8899	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 592	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 8927	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 10710	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 10715	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 9186	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 8092	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 7981	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 4036	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 365	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9315	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9216	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10537	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 10716	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 8932	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 7939	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9373	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9272	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9541	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 10683	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 9185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 10672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 8962	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 8823	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8081	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9373	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9298	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 718	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 116	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9367	. . . 4
135	134	impcom 125	. . 3 $/\$
136		faccl 10715	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9229	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9232	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9215	. . . . . . 7
140	139	0expd 10670	. . . . . 6
141		0exp0e1 10525	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 5885	. . . . . . 7
143	136	nncnd 8933	. . . . . . . 8
144	143	mulid2d 7976	. . . . . . 7
145	142, 144	eqtrid 2222	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 4036	. . . . 5
147		oveq1 5882	. . . . . 6
148		oveq12 5884	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 397	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 5890	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 4017	. . . . 5
152	146, 151	imbitrrid 156	. . . 4
153	152	imp 124	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 795	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 284	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708

wceq 1353

wcel 2148 class class class wbr 4004

cfv 5217 (class class class)co 5875

cc 7809

cr 7810

cc0 7811

c1 7812

caddc 7814

cmul 7816

clt 7992

cle 7993

cn 8919

cn0 9176

cz 9253

cuz 9528

cexp 10519

cfa 10705

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-frec 6392 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-rp 9654 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-fac 10706

This theorem is referenced by: faclbnd2 10722 faclbnd3 10723

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