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Theorem faclbnd 10752

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9207	. 2 $\/$
2		oveq1 5902	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 5911	. . . . . . 7
4		fveq2 5534	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 5911	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4031	. . . . . 6
7	6	imbi2d 230	. . . . 5
8		oveq1 5902	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 5911	. . . . . . 7
10		fveq2 5534	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 5911	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4031	. . . . . 6
13	12	imbi2d 230	. . . . 5
14		oveq1 5902	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 5911	. . . . . . 7
16		fveq2 5534	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5911	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4031	. . . . . 6
19	18	imbi2d 230	. . . . 5
20		oveq1 5902	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 5911	. . . . . . 7
22		fveq2 5534	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 5911	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4031	. . . . . 6
25	24	imbi2d 230	. . . . 5
26		nnre 8955	. . . . . . 7
27		nnge1 8971	. . . . . . 7
28		elnnuz 9593	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 120	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 10713	. . . . . 6
31		0p1e1 9062	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 5906	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 10739	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 5906	. . . . . . 7
36		nnnn0 9212	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 10701	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 8015	. . . . . . . 8
39	38	mulridd 8003	. . . . . . 7
40	35, 39	eqtrid 2234	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4050	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9245	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 10701	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 10701	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 10747	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 8961	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 8017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 9214	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 8122	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 8973	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 7986	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 8074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 10702	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8928	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 592	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 8956	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10557	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 10741	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 5911	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 10746	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 8962	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 9215	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 8121	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 8010	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2225	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 4050	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 365	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9344	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9245	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10567	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 10747	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 8961	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 7968	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9402	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9301	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9570	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 10713	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 10702	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 8991	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 8852	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9402	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9327	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 719	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 116	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9396	. . . 4
135	134	impcom 125	. . 3 $/\$
136		faccl 10746	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9258	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9261	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9244	. . . . . . 7
140	139	0expd 10700	. . . . . 6
141		0exp0e1 10555	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 5905	. . . . . . 7
143	136	nncnd 8962	. . . . . . . 8
144	143	mulid2d 8005	. . . . . . 7
145	142, 144	eqtrid 2234	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 4050	. . . . 5
147		oveq1 5902	. . . . . 6
148		oveq12 5904	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 397	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 5910	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 4031	. . . . 5
152	146, 151	imbitrrid 156	. . . 4
153	152	imp 124	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 796	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 284	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709

wceq 1364

wcel 2160 class class class wbr 4018

cfv 5235 (class class class)co 5895

cc 7838

cr 7839

cc0 7840

c1 7841

caddc 7843

cmul 7845

clt 8021

cle 8022

cn 8948

cn0 9205

cz 9282

cuz 9557

cexp 10549

cfa 10736

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-1st 6164 df-2nd 6165 df-recs 6329 df-frec 6415 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-inn 8949 df-n0 9206 df-z 9283 df-uz 9558 df-rp 9683 df-seqfrec 10476 df-exp 10550 df-fac 10737

This theorem is referenced by: faclbnd2 10753 faclbnd3 10754

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