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Theorem faclbnd 10480

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8972	. 2 $\/$
2		oveq1 5774	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 5783	. . . . . . 7
4		fveq2 5414	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 5783	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 3937	. . . . . 6
7	6	imbi2d 229	. . . . 5
8		oveq1 5774	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 5783	. . . . . . 7
10		fveq2 5414	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 5783	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 3937	. . . . . 6
13	12	imbi2d 229	. . . . 5
14		oveq1 5774	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 5783	. . . . . . 7
16		fveq2 5414	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5783	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 3937	. . . . . 6
19	18	imbi2d 229	. . . . 5
20		oveq1 5774	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 5783	. . . . . . 7
22		fveq2 5414	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 5783	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 3937	. . . . . 6
25	24	imbi2d 229	. . . . 5
26		nnre 8720	. . . . . . 7
27		nnge1 8736	. . . . . . 7
28		elnnuz 9355	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 119	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 10446	. . . . . 6
31		0p1e1 8827	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 5778	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 10467	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 5778	. . . . . . 7
36		nnnn0 8977	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 10434	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 7787	. . . . . . . 8
39	38	mulid1d 7776	. . . . . . 7
40	35, 39	syl5eq 2182	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 3955	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9010	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 10434	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 10434	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 10475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 8726	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 7789	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 8979	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 7891	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 8738	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 7759	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 7844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 420	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 10435	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 519	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 521	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 581	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 8721	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10293	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 10469	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 10474	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 8727	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 8980	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 7890	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 7782	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 3955	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 362	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9109	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9010	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10303	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 10475	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 8726	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 7741	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9164	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9066	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9332	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 10446	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 8979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 10435	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 8756	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 8617	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 7879	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 114	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 149	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9164	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9092	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 408	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 707	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 115	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9158	. . . 4
135	134	impcom 124	. . 3 $/\$
136		faccl 10474	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9023	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9026	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9009	. . . . . . 7
140	139	0expd 10433	. . . . . 6
141		0exp0e1 10291	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 5777	. . . . . . 7
143	136	nncnd 8727	. . . . . . . 8
144	143	mulid2d 7777	. . . . . . 7
145	142, 144	syl5eq 2182	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 3955	. . . . 5
147		oveq1 5774	. . . . . 6
148		oveq12 5776	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 394	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 5782	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 3937	. . . . 5
152	146, 151	syl5ibr 155	. . . 4
153	152	imp 123	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 784	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 282	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 697

wceq 1331

wcel 1480 class class class wbr 3924

cfv 5118 (class class class)co 5767

cc 7611

cr 7612

cc0 7613

c1 7614

caddc 7616

cmul 7618

clt 7793

cle 7794

cn 8713

cn0 8970

cz 9047

cuz 9319

cexp 10285

cfa 10464

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2119 ax-coll 4038 ax-sep 4041 ax-nul 4049 ax-pow 4093 ax-pr 4126 ax-un 4350 ax-setind 4447 ax-iinf 4497 ax-cnex 7704 ax-resscn 7705 ax-1cn 7706 ax-1re 7707 ax-icn 7708 ax-addcl 7709 ax-addrcl 7710 ax-mulcl 7711 ax-mulrcl 7712 ax-addcom 7713 ax-mulcom 7714 ax-addass 7715 ax-mulass 7716 ax-distr 7717 ax-i2m1 7718 ax-0lt1 7719 ax-1rid 7720 ax-0id 7721 ax-rnegex 7722 ax-precex 7723 ax-cnre 7724 ax-pre-ltirr 7725 ax-pre-ltwlin 7726 ax-pre-lttrn 7727 ax-pre-apti 7728 ax-pre-ltadd 7729 ax-pre-mulgt0 7730 ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2000 df-mo 2001 df-clab 2124 df-cleq 2130 df-clel 2133 df-nfc 2268 df-ne 2307 df-nel 2402 df-ral 2419 df-rex 2420 df-reu 2421 df-rmo 2422 df-rab 2423 df-v 2683 df-sbc 2905 df-csb 2999 df-dif 3068 df-un 3070 df-in 3072 df-ss 3079 df-nul 3359 df-if 3470 df-pw 3507 df-sn 3528 df-pr 3529 df-op 3531 df-uni 3732 df-int 3767 df-iun 3810 df-br 3925 df-opab 3985 df-mpt 3986 df-tr 4022 df-id 4210 df-po 4213 df-iso 4214 df-iord 4283 df-on 4285 df-ilim 4286 df-suc 4288 df-iom 4500 df-xp 4540 df-rel 4541 df-cnv 4542 df-co 4543 df-dm 4544 df-rn 4545 df-res 4546 df-ima 4547 df-iota 5083 df-fun 5120 df-fn 5121 df-f 5122 df-f1 5123 df-fo 5124 df-f1o 5125 df-fv 5126 df-riota 5723 df-ov 5770 df-oprab 5771 df-mpo 5772 df-1st 6031 df-2nd 6032 df-recs 6195 df-frec 6281 df-pnf 7795 df-mnf 7796 df-xr 7797 df-ltxr 7798 df-le 7799 df-sub 7928 df-neg 7929 df-reap 8330 df-ap 8337 df-div 8426 df-inn 8714 df-n0 8971 df-z 9048 df-uz 9320 df-rp 9435 df-seqfrec 10212 df-exp 10286 df-fac 10465

This theorem is referenced by: faclbnd2 10481 faclbnd3 10482

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