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Theorem faclbnd 11002

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9403	. 2 $\/$
2		oveq1 6024	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 6033	. . . . . . 7
4		fveq2 5639	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 6033	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4101	. . . . . 6
7	6	imbi2d 230	. . . . 5
8		oveq1 6024	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 6033	. . . . . . 7
10		fveq2 5639	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 6033	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4101	. . . . . 6
13	12	imbi2d 230	. . . . 5
14		oveq1 6024	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 6033	. . . . . . 7
16		fveq2 5639	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6033	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4101	. . . . . 6
19	18	imbi2d 230	. . . . 5
20		oveq1 6024	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 6033	. . . . . . 7
22		fveq2 5639	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 6033	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4101	. . . . . 6
25	24	imbi2d 230	. . . . 5
26		nnre 9149	. . . . . . 7
27		nnge1 9165	. . . . . . 7
28		elnnuz 9792	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 120	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 10963	. . . . . 6
31		0p1e1 9256	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 6028	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 10989	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 6028	. . . . . . 7
36		nnnn0 9408	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 10951	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 8207	. . . . . . . 8
39	38	mulridd 8195	. . . . . . 7
40	35, 39	eqtrid 2276	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4120	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9441	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 10951	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 10951	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 10997	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 9155	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 8209	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 8314	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 9167	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 8178	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 8266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 10952	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 9121	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 596	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 9150	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10807	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 10991	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 10996	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 9156	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 9411	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 8313	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 8202	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 4120	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 365	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9541	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9441	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10817	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 10997	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 9155	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 8159	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9599	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9497	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9768	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 10963	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 10952	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 9185	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 9045	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8302	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9599	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9523	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 725	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 116	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9593	. . . 4
135	134	impcom 125	. . 3 $/\$
136		faccl 10996	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9454	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9457	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9440	. . . . . . 7
140	139	0expd 10950	. . . . . 6
141		0exp0e1 10805	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 6027	. . . . . . 7
143	136	nncnd 9156	. . . . . . . 8
144	143	mulid2d 8197	. . . . . . 7
145	142, 144	eqtrid 2276	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 4120	. . . . 5
147		oveq1 6024	. . . . . 6
148		oveq12 6026	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 397	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 6032	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 4101	. . . . 5
152	146, 151	imbitrrid 156	. . . 4
153	152	imp 124	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 802	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 284	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715

wceq 1397

wcel 2202 class class class wbr 4088

cfv 5326 (class class class)co 6017

cc 8029

cr 8030

cc0 8031

c1 8032

caddc 8034

cmul 8036

clt 8213

cle 8214

cn 9142

cn0 9401

cz 9478

cuz 9754

cexp 10799

cfa 10986

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-frec 6556 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-rp 9888 df-seqfrec 10709 df-exp 10800 df-fac 10987

This theorem is referenced by: faclbnd2 11003 faclbnd3 11004

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