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Theorem faclbnd 10519

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9003	. 2 $\/$
2		oveq1 5789	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 5798	. . . . . . 7
4		fveq2 5429	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 5798	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 3950	. . . . . 6
7	6	imbi2d 229	. . . . 5
8		oveq1 5789	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 5798	. . . . . . 7
10		fveq2 5429	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 5798	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 3950	. . . . . 6
13	12	imbi2d 229	. . . . 5
14		oveq1 5789	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 5798	. . . . . . 7
16		fveq2 5429	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5798	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 3950	. . . . . 6
19	18	imbi2d 229	. . . . 5
20		oveq1 5789	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 5798	. . . . . . 7
22		fveq2 5429	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 5798	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 3950	. . . . . 6
25	24	imbi2d 229	. . . . 5
26		nnre 8751	. . . . . . 7
27		nnge1 8767	. . . . . . 7
28		elnnuz 9386	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 119	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 10484	. . . . . 6
31		0p1e1 8858	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 5793	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 10506	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 5793	. . . . . . 7
36		nnnn0 9008	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 10472	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 7818	. . . . . . . 8
39	38	mulid1d 7807	. . . . . . 7
40	35, 39	syl5eq 2185	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 3968	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9041	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 10472	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 10472	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 10514	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 8757	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 7820	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 9010	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 7922	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 8769	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 7790	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 7875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 421	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 10473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 522	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8724	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 582	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 8752	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10331	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 10508	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 10513	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 8758	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 9011	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 7921	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 7813	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 3968	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 363	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9140	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9041	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10341	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 10514	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 8757	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 7772	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9097	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9363	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 10484	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 9010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 10473	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 8787	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 8648	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 7910	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 114	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 149	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9195	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9123	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 409	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 708	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 115	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9189	. . . 4
135	134	impcom 124	. . 3 $/\$
136		faccl 10513	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9054	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9057	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9040	. . . . . . 7
140	139	0expd 10471	. . . . . 6
141		0exp0e1 10329	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 5792	. . . . . . 7
143	136	nncnd 8758	. . . . . . . 8
144	143	mulid2d 7808	. . . . . . 7
145	142, 144	syl5eq 2185	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 3968	. . . . 5
147		oveq1 5789	. . . . . 6
148		oveq12 5791	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 395	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 5797	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 3950	. . . . 5
152	146, 151	syl5ibr 155	. . . 4
153	152	imp 123	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 785	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 282	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698

wceq 1332

wcel 1481 class class class wbr 3937

cfv 5131 (class class class)co 5782

cc 7642

cr 7643

cc0 7644

c1 7645

caddc 7647

cmul 7649

clt 7824

cle 7825

cn 8744

cn0 9001

cz 9078

cuz 9350

cexp 10323

cfa 10503

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-rp 9471 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-fac 10504

This theorem is referenced by: faclbnd2 10520 faclbnd3 10521

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