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Theorem faclbnd 11179

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9565	. 2 $\/$
2		oveq1 6092	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 6101	. . . . . . 7
4		fveq2 5695	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 6101	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4143	. . . . . 6
7	6	imbi2d 230	. . . . 5
8		oveq1 6092	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 6101	. . . . . . 7
10		fveq2 5695	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 6101	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4143	. . . . . 6
13	12	imbi2d 230	. . . . 5
14		oveq1 6092	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 6101	. . . . . . 7
16		fveq2 5695	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6101	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4143	. . . . . 6
19	18	imbi2d 230	. . . . 5
20		oveq1 6092	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 6101	. . . . . . 7
22		fveq2 5695	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 6101	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4143	. . . . . 6
25	24	imbi2d 230	. . . . 5
26		nnre 9311	. . . . . . 7
27		nnge1 9327	. . . . . . 7
28		elnnuz 9959	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 120	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 11140	. . . . . 6
31		0p1e1 9418	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 6096	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 11166	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 6096	. . . . . . 7
36		nnnn0 9570	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 11128	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 8354	. . . . . . . 8
39	38	mulridd 8343	. . . . . . 7
40	35, 39	eqtrid 2283	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4162	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 11128	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 11128	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 9317	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 8356	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 9572	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 8462	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 9329	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 8326	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 8413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 428	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 11129	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 533	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 537	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 9272	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 600	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 9312	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10983	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 11168	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 9573	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 8461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 8349	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 4162	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 365	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9707	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9603	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10993	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 9317	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 8307	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9766	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9663	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9935	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 11140	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 9572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 9347	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 9196	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8450	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9766	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9689	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 415	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 730	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 116	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9760	. . . 4
135	134	impcom 125	. . 3 $/\$
136		faccl 11173	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9620	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9623	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9602	. . . . . . 7
140	139	0expd 11127	. . . . . 6
141		0exp0e1 10981	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 6095	. . . . . . 7
143	136	nncnd 9318	. . . . . . . 8
144	143	mullidd 8344	. . . . . . 7
145	142, 144	eqtrid 2283	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 4162	. . . . 5
147		oveq1 6092	. . . . . 6
148		oveq12 6094	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 401	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 6100	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 4143	. . . . 5
152	146, 151	imbitrrid 156	. . . 4
153	152	imp 124	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 807	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 284	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720

wceq 1402

wcel 2209 class class class wbr 4130

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8177

cr 8178

cc0 8179

c1 8180

caddc 8182

cmul 8184

clt 8360

cle 8361

cn 9304

cn0 9563

cz 9644

cuz 9921

cexp 10975

cfa 11163

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8903 df-ap 8910 df-div 9003 df-inn 9305 df-n0 9564 df-z 9645 df-uz 9922 df-rp 10055 df-seqfrec 10885 df-exp 10976 df-fac 11164

This theorem is used by: faclbnd2 11180 faclbnd3 11181

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