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Theorem faclbnd 11128

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9515	. 2 $\/$
2		oveq1 6065	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 6074	. . . . . . 7
4		fveq2 5675	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 6074	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4127	. . . . . 6
7	6	imbi2d 230	. . . . 5
8		oveq1 6065	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 6074	. . . . . . 7
10		fveq2 5675	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 6074	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4127	. . . . . 6
13	12	imbi2d 230	. . . . 5
14		oveq1 6065	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 6074	. . . . . . 7
16		fveq2 5675	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6074	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4127	. . . . . 6
19	18	imbi2d 230	. . . . 5
20		oveq1 6065	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 6074	. . . . . . 7
22		fveq2 5675	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 6074	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4127	. . . . . 6
25	24	imbi2d 230	. . . . 5
26		nnre 9261	. . . . . . 7
27		nnge1 9277	. . . . . . 7
28		elnnuz 9909	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 120	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 11089	. . . . . 6
31		0p1e1 9368	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 6069	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 11115	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 6069	. . . . . . 7
36		nnnn0 9520	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 11077	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 8318	. . . . . . . 8
39	38	mulridd 8307	. . . . . . 7
40	35, 39	eqtrid 2279	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4146	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9553	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 11077	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 11077	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 11123	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 9267	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 9522	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 8425	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 9279	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 8290	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 8377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 11078	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 9233	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 596	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 9262	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10932	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 11117	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 11122	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 9523	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 8424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 8313	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 4146	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 365	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9657	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9553	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10942	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 11123	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 9267	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 8271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9613	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9885	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 11089	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 9522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 11078	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 9297	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 9157	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8413	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9716	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9639	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 726	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 116	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9710	. . . 4
135	134	impcom 125	. . 3 $/\$
136		faccl 11122	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9570	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9573	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9552	. . . . . . 7
140	139	0expd 11076	. . . . . 6
141		0exp0e1 10930	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 6068	. . . . . . 7
143	136	nncnd 9268	. . . . . . . 8
144	143	mullidd 8308	. . . . . . 7
145	142, 144	eqtrid 2279	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 4146	. . . . 5
147		oveq1 6065	. . . . . 6
148		oveq12 6067	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 397	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 6073	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 4127	. . . . 5
152	146, 151	imbitrrid 156	. . . 4
153	152	imp 124	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 803	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 284	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716

wceq 1398

wcel 2205 class class class wbr 4114

cfv 5357 (class class class)co 6058

cc 8141

cr 8142

cc0 8143

c1 8144

caddc 8146

cmul 8148

clt 8324

cle 8325

cn 9254

cn0 9513

cz 9594

cuz 9871

cexp 10924

cfa 11112

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-frec 6635 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-rp 10005 df-seqfrec 10834 df-exp 10925 df-fac 11113

This theorem is referenced by: faclbnd2 11129 faclbnd3 11130

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