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Theorem faclbnd 11066

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9463	. 2 $\/$
2		oveq1 6035	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 6044	. . . . . . 7
4		fveq2 5648	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 6044	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4106	. . . . . 6
7	6	imbi2d 230	. . . . 5
8		oveq1 6035	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 6044	. . . . . . 7
10		fveq2 5648	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 6044	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4106	. . . . . 6
13	12	imbi2d 230	. . . . 5
14		oveq1 6035	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 6044	. . . . . . 7
16		fveq2 5648	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 6044	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4106	. . . . . 6
19	18	imbi2d 230	. . . . 5
20		oveq1 6035	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 6044	. . . . . . 7
22		fveq2 5648	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 6044	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4106	. . . . . 6
25	24	imbi2d 230	. . . . 5
26		nnre 9209	. . . . . . 7
27		nnge1 9225	. . . . . . 7
28		elnnuz 9854	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 120	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 11027	. . . . . 6
31		0p1e1 9316	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 6039	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 11053	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 6039	. . . . . . 7
36		nnnn0 9468	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 11015	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 8267	. . . . . . . 8
39	38	mulridd 8256	. . . . . . 7
40	35, 39	eqtrid 2276	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4125	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9501	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 11015	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 11015	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 11061	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 9215	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 8269	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 9470	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 8374	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 9227	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 8239	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 8326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 11016	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 9181	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 596	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 9210	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10871	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 11055	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 11060	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 9216	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 9471	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 8373	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 8262	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 4125	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 365	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9603	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9501	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10881	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 11061	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 9215	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 8220	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9559	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9830	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 11027	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 9470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 11016	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 9245	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 9105	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8362	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9661	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9585	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 726	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 116	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9655	. . . 4
135	134	impcom 125	. . 3 $/\$
136		faccl 11060	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9516	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9519	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9500	. . . . . . 7
140	139	0expd 11014	. . . . . 6
141		0exp0e1 10869	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 6038	. . . . . . 7
143	136	nncnd 9216	. . . . . . . 8
144	143	mullidd 8257	. . . . . . 7
145	142, 144	eqtrid 2276	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 4125	. . . . 5
147		oveq1 6035	. . . . . 6
148		oveq12 6037	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 397	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 6043	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 4106	. . . . 5
152	146, 151	imbitrrid 156	. . . 4
153	152	imp 124	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 803	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 284	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716

wceq 1398

wcel 2202 class class class wbr 4093

cfv 5333 (class class class)co 6028

cc 8090

cr 8091

cc0 8092

c1 8093

caddc 8095

cmul 8097

clt 8273

cle 8274

cn 9202

cn0 9461

cz 9540

cuz 9816

cexp 10863

cfa 11050

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-rp 9950 df-seqfrec 10773 df-exp 10864 df-fac 11051

This theorem is referenced by: faclbnd2 11067 faclbnd3 11068

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