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Theorem faclbnd 10705

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9167	. 2 $\/$
2		oveq1 5876	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 5885	. . . . . . 7
4		fveq2 5511	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 5885	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4013	. . . . . 6
7	6	imbi2d 230	. . . . 5
8		oveq1 5876	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 5885	. . . . . . 7
10		fveq2 5511	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 5885	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4013	. . . . . 6
13	12	imbi2d 230	. . . . 5
14		oveq1 5876	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 5885	. . . . . . 7
16		fveq2 5511	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5885	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4013	. . . . . 6
19	18	imbi2d 230	. . . . 5
20		oveq1 5876	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 5885	. . . . . . 7
22		fveq2 5511	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 5885	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4013	. . . . . 6
25	24	imbi2d 230	. . . . 5
26		nnre 8915	. . . . . . 7
27		nnge1 8931	. . . . . . 7
28		elnnuz 9553	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 120	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 10668	. . . . . 6
31		0p1e1 9022	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 5880	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 10692	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 5880	. . . . . . 7
36		nnnn0 9172	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 10656	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 7976	. . . . . . . 8
39	38	mulid1d 7965	. . . . . . 7
40	35, 39	eqtrid 2222	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4032	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9205	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 10656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 10656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 10700	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 8921	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 7978	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 9174	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 8083	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 8933	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 7948	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 8035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 10657	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8888	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 592	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 8916	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10513	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 10694	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 10699	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 8922	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 9175	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 8082	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 7971	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 4032	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 365	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9304	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9205	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10523	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 10700	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 8921	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 7930	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9261	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9530	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 10668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 9174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 10657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 8951	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 8812	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8071	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9362	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9287	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 718	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 116	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9356	. . . 4
135	134	impcom 125	. . 3 $/\$
136		faccl 10699	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9218	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9221	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9204	. . . . . . 7
140	139	0expd 10655	. . . . . 6
141		0exp0e1 10511	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 5879	. . . . . . 7
143	136	nncnd 8922	. . . . . . . 8
144	143	mulid2d 7966	. . . . . . 7
145	142, 144	eqtrid 2222	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 4032	. . . . 5
147		oveq1 5876	. . . . . 6
148		oveq12 5878	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 397	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 5884	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 4013	. . . . 5
152	146, 151	syl5ibr 156	. . . 4
153	152	imp 124	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 795	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 284	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708

wceq 1353

wcel 2148 class class class wbr 4000

cfv 5212 (class class class)co 5869

cc 7800

cr 7801

cc0 7802

c1 7803

caddc 7805

cmul 7807

clt 7982

cle 7983

cn 8908

cn0 9165

cz 9242

cuz 9517

cexp 10505

cfa 10689

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-rp 9641 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-fac 10690

This theorem is referenced by: faclbnd2 10706 faclbnd3 10707

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