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Theorem faclbnd 10675

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9137	. 2 $\/$
2		oveq1 5860	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 5869	. . . . . . 7
4		fveq2 5496	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 5869	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4002	. . . . . 6
7	6	imbi2d 229	. . . . 5
8		oveq1 5860	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 5869	. . . . . . 7
10		fveq2 5496	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 5869	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4002	. . . . . 6
13	12	imbi2d 229	. . . . 5
14		oveq1 5860	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 5869	. . . . . . 7
16		fveq2 5496	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5869	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4002	. . . . . 6
19	18	imbi2d 229	. . . . 5
20		oveq1 5860	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 5869	. . . . . . 7
22		fveq2 5496	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 5869	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4002	. . . . . 6
25	24	imbi2d 229	. . . . 5
26		nnre 8885	. . . . . . 7
27		nnge1 8901	. . . . . . 7
28		elnnuz 9523	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 119	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 10638	. . . . . 6
31		0p1e1 8992	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 5864	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 10662	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 5864	. . . . . . 7
36		nnnn0 9142	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 10626	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 7948	. . . . . . . 8
39	38	mulid1d 7937	. . . . . . 7
40	35, 39	eqtrid 2215	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4021	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9175	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 10626	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 10626	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 10670	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 8891	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 7950	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 9144	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 8055	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 8903	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 7920	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 8007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 422	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 10627	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 525	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 527	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8858	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 587	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 8886	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 10664	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 10669	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 8892	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 9145	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 8054	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 4021	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 363	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9274	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9175	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10493	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 10670	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 8891	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 7902	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9231	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9500	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 10638	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 10627	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 8921	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 8782	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8043	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 114	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 149	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9332	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9257	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 409	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 713	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 115	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9326	. . . 4
135	134	impcom 124	. . 3 $/\$
136		faccl 10669	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9188	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9191	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9174	. . . . . . 7
140	139	0expd 10625	. . . . . 6
141		0exp0e1 10481	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 5863	. . . . . . 7
143	136	nncnd 8892	. . . . . . . 8
144	143	mulid2d 7938	. . . . . . 7
145	142, 144	eqtrid 2215	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 4021	. . . . 5
147		oveq1 5860	. . . . . 6
148		oveq12 5862	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 395	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 5868	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 4002	. . . . 5
152	146, 151	syl5ibr 155	. . . 4
153	152	imp 123	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 790	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 282	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 703

wceq 1348

wcel 2141 class class class wbr 3989

cfv 5198 (class class class)co 5853

cc 7772

cr 7773

cc0 7774

c1 7775

caddc 7777

cmul 7779

clt 7954

cle 7955

cn 8878

cn0 9135

cz 9212

cuz 9487

cexp 10475

cfa 10659

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-rp 9611 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-fac 10660

This theorem is referenced by: faclbnd2 10676 faclbnd3 10677

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