ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faclbnd Unicode version

Theorem faclbnd 10114
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 8645 . 2  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 oveq1 5641 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  (
j  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
32oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
0  +  1 ) ) )
4 fveq2 5289 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
54oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0
) ) )
63, 5breq12d 3850 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) ) )
76imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) ) ) )
8 oveq1 5641 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
98oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
k  +  1 ) ) )
10 fveq2 5289 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
1110oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) ) )
129, 11breq12d 3850 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) ) )
1312imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) ) ) )
14 oveq1 5641 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
1514oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) ) )
16 fveq2 5289 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1716oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
1815, 17breq12d 3850 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1918imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
20 oveq1 5641 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  (
j  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2120oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( M ^ ( j  +  1 ) )  =  ( M ^ ( N  +  1 ) ) )
22 fveq2 5289 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
2322oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 j ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
2421, 23breq12d 3850 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) )  <->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2524imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
j  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  j
) ) )  <->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
26 nnre 8401 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
27 nnge1 8417 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
28 elnnuz 9024 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2928biimpi 118 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3026, 27, 29leexp2ad 10080 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 1 )  <_ 
( M ^ M
) )
31 0p1e1 8507 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3231oveq2i 5645 . . . . . . 7  |-  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  =  ( M ^ 1 )
3332a1i 9 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  =  ( M ^ 1 ) )
34 fac0 10101 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 0 )  =  1
3534oveq2i 5645 . . . . . . 7  |-  ( ( M ^ M )  x.  ( ! ` 
0 ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  1 )
36 nnnn0 8650 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
3726, 36reexpcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
3837recnd 7495 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ M )  e.  CC )
3938mulid1d 7484 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ M
)  x.  1 )  =  ( M ^ M ) )
4035, 39syl5eq 2132 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 0 ) )  =  ( M ^ M ) )
4130, 33, 403brtr4d 3867 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  0 )
) )
4226ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
43 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
44 peano2nn0 8683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
4642, 45reexpcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR )
4736ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
4842, 47reexpcld 10068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
4943faccld 10109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
5049nnred 8407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
5148, 50remulcld 7497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  e.  RR )
52 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
53 peano2re 7597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
5443, 52, 533syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
55 nngt0 8419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
5655ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <  M )
57 0re 7467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
58 ltle 7551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <  M  ->  0  <_  M )
)
5957, 58mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  RR  ->  (
0  <  M  ->  0  <_  M ) )
6042, 56, 59sylc 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <_  M )
6142, 45, 60expge0d 10069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( M ^ ( k  +  1 ) ) )
62 simplr 497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )
63 simprr 499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) )
6446, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63lemul12ad 8375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e. 
NN0 )  /\  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
) )  /\  (
( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M )  <_  (
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
6564anandis 559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( M ^ (
k  +  1 ) )  x.  M )  <_  ( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
66 nncn 8402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
67 expp1 9927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M ) )
6866, 44, 67syl2an 283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  x.  M ) )
6968adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  x.  M
) )
70 facp1 10103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
7170adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
7271oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
7338adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  e.  CC )
74 faccl 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
7574nncnd 8408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  CC )
7675adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
77 nn0cn 8653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
78 peano2cn 7596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
8079adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
8173, 76, 80mulassd 7490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
8272, 81eqtr4d 2123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
8382adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k ) )  x.  ( k  +  1 ) ) )
8465, 69, 833brtr4d 3867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  /\  M  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
8584exp32 357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
8685com23 77 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k )
)  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
87 nn0ltp1le 8782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  <->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
8844, 36, 87syl2anr 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  <->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
89 peano2nn0 8683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
9044, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
91 reexpcl 9937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9226, 90, 91syl2an 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9392adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9437ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ M
)  e.  RR )
9544faccld 10109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
9695nnred 8407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
97 remulcl 7449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M ^ M
)  e.  RR  /\  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
9837, 96, 97syl2an 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
9998adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
10026ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  RR )
10127ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  1  <_  M )
102 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )
10390ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )
104103nn0zd 8836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
105 nnz 8739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
106105ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  ZZ )
107 eluz 9001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( (
k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
108104, 106, 107syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( (
k  +  1 )  +  1 )  <_  M ) )
109102, 108mpbird 165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )
110100, 101, 109leexp2ad 10080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( M ^ M ) )
11137, 96anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  e.  RR  /\  ( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR ) )
112 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
113 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
114 nn0ge0 8668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
115112, 113, 114expge0d 10069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( M ^ M
) )
11636, 115syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  ( M ^ M
) )
11795nnge1d 8436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  (
k  +  1 ) ) )
118116, 117anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M ^ M )  /\  1  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
119 lemulge11 8299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M ^ M )  e.  RR  /\  ( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( M ^ M
)  /\  1  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( M ^ M )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
120111, 118, 119syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
121120adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ M
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
12293, 94, 99, 110, 121letrd 7586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M )  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
123122ex 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( k  +  1 )  +  1 )  <_  M  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
12488, 123sylbid 148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
125124a1dd 47 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( k  +  1 )  <  M  ->  ( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M ^
( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
126105adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
12744adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN0 )
128127nn0zd 8836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
129 zlelttric 8765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  \/  ( k  +  1 )  < 
M ) )
130126, 128, 129syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  \/  ( k  +  1 )  <  M
) )
13186, 125, 130mpjaod 673 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^
( k  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 k ) )  ->  ( M ^
( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
132131expcom 114 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  (
( M ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) )  ->  ( M ^ ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
133132a2d 26 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( k  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  k
) ) )  -> 
( M  e.  NN  ->  ( M ^ (
( k  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
1347, 13, 19, 25, 41, 133nn0ind 8830 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
135134impcom 123 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
136 faccl 10108 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
137136nnnn0d 8696 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e. 
NN0 )
138137nn0ge0d 8699 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
139 nn0p1nn 8682 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1401390expd 10067 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  =  0 )
141 0exp0e1 9925 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
142141oveq1i 5644 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 1  x.  ( ! `  N )
)
143136nncnd 8408 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
144143mulid2d 7485 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
145142, 144syl5eq 2132 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
146138, 140, 1453brtr4d 3867 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N )
) )
147 oveq1 5641 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 0 ^ ( N  +  1 ) ) )
148 oveq12 5643 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  0  /\  M  =  0 )  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
149148anidms 389 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
150149oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N
) ) )
151147, 150breq12d 3850 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( 0 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 0 ^ 0 )  x.  ( ! `  N )
) ) )
152146, 151syl5ibr 154 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
153152imp 122 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
154135, 153jaoian 744 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )
1551, 154sylanb 278 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ^cexp 9919   !cfa 10098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-fac 10099
This theorem is referenced by:  faclbnd2  10115  faclbnd3  10116
  Copyright terms: Public domain W3C validator