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Theorem faclbnd 10815

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9245	. 2 $\/$
2		oveq1 5926	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 5935	. . . . . . 7
4		fveq2 5555	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 5935	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 4043	. . . . . 6
7	6	imbi2d 230	. . . . 5
8		oveq1 5926	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 5935	. . . . . . 7
10		fveq2 5555	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 5935	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 4043	. . . . . 6
13	12	imbi2d 230	. . . . 5
14		oveq1 5926	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 5935	. . . . . . 7
16		fveq2 5555	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5935	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 4043	. . . . . 6
19	18	imbi2d 230	. . . . 5
20		oveq1 5926	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 5935	. . . . . . 7
22		fveq2 5555	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 5935	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 4043	. . . . . 6
25	24	imbi2d 230	. . . . 5
26		nnre 8991	. . . . . . 7
27		nnge1 9007	. . . . . . 7
28		elnnuz 9632	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 120	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 10776	. . . . . 6
31		0p1e1 9098	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 5930	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 10802	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 5930	. . . . . . 7
36		nnnn0 9250	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 10764	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 8050	. . . . . . . 8
39	38	mulridd 8038	. . . . . . 7
40	35, 39	eqtrid 2238	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 4062	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9283	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 10764	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 10764	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 10810	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 8997	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 8052	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 9252	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 8157	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 9009	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 8021	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 8109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 10765	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8963	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 592	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 8992	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10620	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 10804	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 10809	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 8998	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 9253	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 8156	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 8045	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 4062	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 365	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9382	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9283	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10630	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 10810	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 8997	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 8002	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9440	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9339	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9608	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 10776	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 9252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 10765	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 9027	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 8887	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8145	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 115	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 150	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9440	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9365	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 719	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 116	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9434	. . . 4
135	134	impcom 125	. . 3 $/\$
136		faccl 10809	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9296	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9299	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9282	. . . . . . 7
140	139	0expd 10763	. . . . . 6
141		0exp0e1 10618	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 5929	. . . . . . 7
143	136	nncnd 8998	. . . . . . . 8
144	143	mulid2d 8040	. . . . . . 7
145	142, 144	eqtrid 2238	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 4062	. . . . 5
147		oveq1 5926	. . . . . 6
148		oveq12 5928	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 397	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 5934	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 4043	. . . . 5
152	146, 151	imbitrrid 156	. . . 4
153	152	imp 124	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 796	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 284	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709

wceq 1364

wcel 2164 class class class wbr 4030

cfv 5255 (class class class)co 5919

cc 7872

cr 7873

cc0 7874

c1 7875

caddc 7877

cmul 7879

clt 8056

cle 8057

cn 8984

cn0 9243

cz 9320

cuz 9595

cexp 10612

cfa 10799

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-frec 6446 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-rp 9723 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-fac 10800

This theorem is referenced by: faclbnd2 10816 faclbnd3 10817

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