ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faccl Unicode version

Theorem faccl 10488
Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
faccl  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )

Proof of Theorem faccl
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5421 . . 3  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
21eleq1d 2208 . 2  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  0 )  e.  NN ) )
3 fveq2 5421 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
43eleq1d 2208 . 2  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  k )  e.  NN ) )
5 fveq2 5421 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
65eleq1d 2208 . 2  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
7 fveq2 5421 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
87eleq1d 2208 . 2  |-  ( j  =  N  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  N )  e.  NN ) )
9 fac0 10481 . . 3  |-  ( ! `
 0 )  =  1
10 1nn 8738 . . 3  |-  1  e.  NN
119, 10eqeltri 2212 . 2  |-  ( ! `
 0 )  e.  NN
12 facp1 10483 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
1312adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
14 nn0p1nn 9023 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
15 nnmulcl 8748 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
1614, 15sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
1713, 16eqeltrd 2216 . . 3  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
1817expcom 115 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
192, 4, 6, 8, 11, 18nn0ind 9172 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    x. cmul 7632   NNcn 8727   NN0cn0 8984   !cfa 10478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-seqfrec 10226  df-fac 10479
This theorem is referenced by:  faccld  10489  facne0  10490  facdiv  10491  facndiv  10492  facwordi  10493  faclbnd  10494  faclbnd2  10495  faclbnd3  10496  faclbnd6  10497  facubnd  10498  facavg  10499  bcrpcl  10506  bcn0  10508  bcm1k  10513  permnn  10524  4bc2eq6  10527  eftcl  11367  reeftcl  11368  eftabs  11369  ef0lem  11373  ege2le3  11384  efcj  11386  efaddlem  11387  effsumlt  11405  eflegeo  11415  ef01bndlem  11470  eirraplem  11490  dvdsfac  11565  prmfac1  11837
  Copyright terms: Public domain W3C validator