Theorem faccl 10882

Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
faccl	|- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )

Proof of Theorem faccl

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5578	. . 3 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
2	1	eleq1d 2274	. 2 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` 0 ) e. NN ) )
3		fveq2 5578	. . 3 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
4	3	eleq1d 2274	. 2 |- ( j = k -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` k ) e. NN ) )
5		fveq2 5578	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
6	5	eleq1d 2274	. 2 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN ) )
7		fveq2 5578	. . 3 |- ( j = N -> ( ! ` j ) = ( ! ` N ) )
8	7	eleq1d 2274	. 2 |- ( j = N -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` N ) e. NN ) )
9		fac0 10875	. . 3 |- ( ! ` 0 ) = 1
10		1nn 9049	. . 3 |- 1 e. NN
11	9, 10	eqeltri 2278	. 2 |- ( ! ` 0 ) e. NN
12		facp1 10877	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
14		nn0p1nn 9336	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
15		nnmulcl 9059	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
16	14, 15	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
17	13, 16	eqeltrd 2282	. . 3 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
18	17	expcom 116	. 2 |- ( k e. NN0 -> ( ( ! ` k ) e. NN -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN ) )
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 9489	1 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   NNcn 9038   NN0cn0 9297   !cfa 10872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-seqfrec 10595  df-fac 10873

This theorem is referenced by:  faccld  10883  facne0  10884  facdiv  10885  facndiv  10886  facwordi  10887  faclbnd  10888  faclbnd2  10889  faclbnd3  10890  faclbnd6  10891  facubnd  10892  facavg  10893  bcrpcl  10900  bcn0  10902  bcm1k  10907  permnn  10918  4bc2eq6  10921  eftcl  11998  reeftcl  11999  eftabs  12000  ef0lem  12004  ege2le3  12015  efcj  12017  efaddlem  12018  effsumlt  12036  eflegeo  12045  ef01bndlem  12100  eirraplem  12121  dvdsfac  12204  prmfac1  12507  pcfac  12706  prmunb  12718