ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faccl Unicode version

Theorem faccl 10638
Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
faccl  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )

Proof of Theorem faccl
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5481 . . 3  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
21eleq1d 2233 . 2  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  0 )  e.  NN ) )
3 fveq2 5481 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
43eleq1d 2233 . 2  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  k )  e.  NN ) )
5 fveq2 5481 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
65eleq1d 2233 . 2  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
7 fveq2 5481 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
87eleq1d 2233 . 2  |-  ( j  =  N  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  N )  e.  NN ) )
9 fac0 10631 . . 3  |-  ( ! `
 0 )  =  1
10 1nn 8860 . . 3  |-  1  e.  NN
119, 10eqeltri 2237 . 2  |-  ( ! `
 0 )  e.  NN
12 facp1 10633 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
1312adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
14 nn0p1nn 9145 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
15 nnmulcl 8870 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
1614, 15sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
1713, 16eqeltrd 2241 . . 3  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
1817expcom 115 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
192, 4, 6, 8, 11, 18nn0ind 9297 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1342    e. wcel 2135   ` cfv 5183  (class class class)co 5837   0cc0 7745   1c1 7746    + caddc 7748    x. cmul 7750   NNcn 8849   NN0cn0 9106   !cfa 10628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-addcom 7845  ax-mulcom 7846  ax-addass 7847  ax-mulass 7848  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-1rid 7852  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-ltadd 7861
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-frec 6351  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-inn 8850  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-seqfrec 10372  df-fac 10629
This theorem is referenced by:  faccld  10639  facne0  10640  facdiv  10641  facndiv  10642  facwordi  10643  faclbnd  10644  faclbnd2  10645  faclbnd3  10646  faclbnd6  10647  facubnd  10648  facavg  10649  bcrpcl  10656  bcn0  10658  bcm1k  10663  permnn  10674  4bc2eq6  10677  eftcl  11585  reeftcl  11586  eftabs  11587  ef0lem  11591  ege2le3  11602  efcj  11604  efaddlem  11605  effsumlt  11623  eflegeo  11632  ef01bndlem  11687  eirraplem  11707  dvdsfac  11787  prmfac1  12073  pcfac  12269  prmunb  12281
  Copyright terms: Public domain W3C validator