Theorem faccl 10957

Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
faccl	|- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )

Proof of Theorem faccl

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5627	. . 3 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
2	1	eleq1d 2298	. 2 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` 0 ) e. NN ) )
3		fveq2 5627	. . 3 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
4	3	eleq1d 2298	. 2 |- ( j = k -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` k ) e. NN ) )
5		fveq2 5627	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
6	5	eleq1d 2298	. 2 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN ) )
7		fveq2 5627	. . 3 |- ( j = N -> ( ! ` j ) = ( ! ` N ) )
8	7	eleq1d 2298	. 2 |- ( j = N -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` N ) e. NN ) )
9		fac0 10950	. . 3 |- ( ! ` 0 ) = 1
10		1nn 9121	. . 3 |- 1 e. NN
11	9, 10	eqeltri 2302	. 2 |- ( ! ` 0 ) e. NN
12		facp1 10952	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
14		nn0p1nn 9408	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
15		nnmulcl 9131	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
16	14, 15	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
17	13, 16	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
18	17	expcom 116	. 2 |- ( k e. NN0 -> ( ( ! ` k ) e. NN -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN ) )
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 9561	1 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   NNcn 9110   NN0cn0 9369   !cfa 10947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670  df-fac 10948

This theorem is referenced by:  faccld  10958  facne0  10959  facdiv  10960  facndiv  10961  facwordi  10962  faclbnd  10963  faclbnd2  10964  faclbnd3  10965  faclbnd6  10966  facubnd  10967  facavg  10968  bcrpcl  10975  bcn0  10977  bcm1k  10982  permnn  10993  4bc2eq6  10996  eftcl  12165  reeftcl  12166  eftabs  12167  ef0lem  12171  ege2le3  12182  efcj  12184  efaddlem  12185  effsumlt  12203  eflegeo  12212  ef01bndlem  12267  eirraplem  12288  dvdsfac  12371  prmfac1  12674  pcfac  12873  prmunb  12885