Theorem faccl 11173

Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
faccl	|- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )

Proof of Theorem faccl

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5695	. . 3 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
2	1	eleq1d 2307	. 2 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` 0 ) e. NN ) )
3		fveq2 5695	. . 3 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
4	3	eleq1d 2307	. 2 |- ( j = k -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` k ) e. NN ) )
5		fveq2 5695	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
6	5	eleq1d 2307	. 2 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN ) )
7		fveq2 5695	. . 3 |- ( j = N -> ( ! ` j ) = ( ! ` N ) )
8	7	eleq1d 2307	. 2 |- ( j = N -> ( ( ! ` j ) e. NN <-> ( ! ` N ) e. NN ) )
9		fac0 11166	. . 3 |- ( ! ` 0 ) = 1
10		1nn 9315	. . 3 |- 1 e. NN
11	9, 10	eqeltri 2311	. 2 |- ( ! ` 0 ) e. NN
12		facp1 11168	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
13	12	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
14		nn0p1nn 9602	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
15		nnmulcl 9325	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
16	14, 15	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
17	13, 16	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( ( ! ` k ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
18	17	expcom 116	. 2 |- ( k e. NN0 -> ( ( ! ` k ) e. NN -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN ) )
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 9760	1 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   NNcn 9304   NN0cn0 9563   !cfa 11163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-fac 11164

This theorem is used by:  faccld  11174  facne0  11175  facdiv  11176  facndiv  11177  facwordi  11178  faclbnd  11179  faclbnd2  11180  faclbnd3  11181  faclbnd6  11182  facubnd  11183  facavg  11184  bcrpcl  11191  bcn0  11193  bcm1k  11198  permnn  11210  4bc2eq6  11213  eftcl  12421  reeftcl  12422  eftabs  12423  ef0lem  12427  ege2le3  12438  efcj  12440  efaddlem  12441  effsumlt  12459  eflegeo  12468  ef01bndlem  12523  eirraplem  12544  dvdsfac  12627  prmfac1  12930  pcfac  13129  prmunb  13141