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Theorem efcllemp 11371
Description: Lemma for efcl 11377. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11309 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efcllemp.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efcllemp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
efcllemp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
efcllemp.ak  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  <  K )
Assertion
Ref Expression
efcllemp  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    F( n)    K( n)

Proof of Theorem efcllemp
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9367 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 eqid 2139 . 2  |-  ( ZZ>= `  K )  =  (
ZZ>= `  K )
3 halfre 8940 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
43a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
5 halflt1 8944 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  <  1
65a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
7 halfgt0 8942 . . 3  |-  0  <  ( 1  /  2
)
87a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  /  2 ) )
9 efcllemp.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
109nnnn0d 9037 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
11 efcllemp.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
12 efcllemp.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
1312eftvalcn 11370 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
14 eftcl 11367 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
1513, 14eqeltrd 2216 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1611, 15sylan 281 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1711adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A  e.  CC )
1817abscld 10960 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
19 eluznn0 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2010, 19sylan 281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  k  e.  NN0 )
21 nn0p1nn 9023 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
2220, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
2318, 22nndivred 8777 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  e.  RR )
243a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
2518, 20reexpcld 10448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
k )  e.  RR )
2620faccld 10489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
2725, 26nndivred 8777 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
2817, 20expcld 10431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
2928absge0d 10963 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( A ^ k ) ) )
3017, 20absexpd 10971 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( A ^ k
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
3129, 30breqtrd 3954 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
3226nnred 8740 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
3326nngt0d 8771 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  <  ( ! `  k ) )
34 divge0 8638 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ k
) )  /\  (
( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) ) )  ->  0  <_  (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
3525, 31, 32, 33, 34syl22anc 1217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  <_  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
36 2re 8797 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
37 abscl 10830 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
38 remulcl 7755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR )
3936, 37, 38sylancr 410 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR )
4017, 39syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  e.  RR )
41 peano2nn0 9024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
4210, 41syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
4342nn0red 9038 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
4443adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
4522nnred 8740 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
4610adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  NN0 )
4746nn0red 9038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  RR )
48 efcllemp.ak . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  <  K )
4948adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  K
)
5047ltp1d 8695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
5140, 47, 44, 49, 50lttrd 7895 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  ( K  +  1 ) )
52 eluzp1p1 9358 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
5352adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
54 eluzle 9345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  +  1 )  <_ 
( k  +  1 ) )
5553, 54syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  <_ 
( k  +  1 ) )
5640, 44, 45, 51, 55ltletrd 8192 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  (
k  +  1 ) )
5718recnd 7801 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
58 2cn 8798 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
59 mulcom 7756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )
6057, 58, 59sylancl 409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )
6122nncnd 8741 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
6261mulid2d 7791 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 1  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
6356, 60, 623brtr4d 3960 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  2 )  <  (
1  x.  ( k  +  1 ) ) )
64 2rp 9453 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR+
6564a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  2  e.  RR+ )
66 1red 7788 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  1  e.  RR )
6722nnrpd 9489 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
6818, 65, 66, 67lt2mul2divd 9559 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( abs `  A
)  x.  2 )  <  ( 1  x.  ( k  +  1 ) )  <->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <  (
1  /  2 ) ) )
6963, 68mpbid 146 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <  (
1  /  2 ) )
70 ltle 7858 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) )  <  ( 1  /  2 )  -> 
( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
7123, 3, 70sylancl 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <  ( 1  / 
2 )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
7269, 71mpd 13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <_  (
1  /  2 ) )
7323, 24, 27, 35, 72lemul2ad 8705 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( 1  /  2
) ) )
74 peano2nn0 9024 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
7520, 74syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
7612eftvalcn 11370 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
7711, 75, 76syl2an2r 584 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ (
k  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) )
7877fveq2d 5425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7917, 75absexpd 10971 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  A
) ^ ( k  +  1 ) ) )
8057, 20expp1d 10432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) ) )
8179, 80eqtrd 2172 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) ) )
8275faccld 10489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
8382nnred 8740 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8482nnnn0d 9037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8584nn0ge0d 9040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
8683, 85absidd 10946 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ! `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
87 facp1 10483 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
8820, 87syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
8986, 88eqtrd 2172 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ! `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
9081, 89oveq12d 5792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  ( A ^
( k  +  1 ) ) )  / 
( abs `  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  x.  ( abs `  A ) )  / 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
9117, 75expcld 10431 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
9282nncnd 8741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
9382nnap0d 8773 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) ) #  0 )
9491, 92, 93absdivapd 10974 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
9525recnd 7801 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
k )  e.  CC )
9626nncnd 8741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
9726nnap0d 8773 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  k ) #  0 )
9822nnap0d 8773 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 ) #  0 )
9995, 96, 57, 61, 97, 98divmuldivapd 8599 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) )  /  (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
10090, 94, 993eqtr4d 2182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
10178, 100eqtrd 2172 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
102 halfcn 8941 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
10311, 20, 15syl2an2r 584 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
104103abscld 10960 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
105104recnd 7801 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  CC )
106 mulcom 7756 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  k
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
107102, 105, 106sylancr 410 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
)  x.  ( 1  /  2 ) ) )
10811, 20, 13syl2an2r 584 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
109108fveq2d 5425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
110 eftabs 11369 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
11111, 20, 110syl2an2r 584 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
112109, 111eqtrd 2172 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
113112oveq1d 5789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  x.  ( 1  /  2
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
114107, 113eqtrd 2172 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
11573, 101, 1143brtr4d 3960 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  /  2
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
1161, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115cvgratgt0 11309 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   dom cdm 4539   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    x. cmul 7632    < clt 7807    <_ cle 7808    / cdiv 8439   NNcn 8727   2c2 8778   NN0cn0 8984   ZZ>=cuz 9333   RR+crp 9448    seqcseq 10225   ^cexp 10299   !cfa 10478   abscabs 10776    ~~> cli 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130
This theorem is referenced by:  efcllem  11372
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