Theorem efcllemp 11608

Description: Lemma for efcl 11614. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11483 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efcllemp.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efcllemp.a	|- ( ph -> A e. CC )
efcllemp.k	|- ( ph -> K e. NN )
efcllemp.ak	|- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )

Assertion

Ref	Expression
efcllemp	|- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   K( n)

Proof of Theorem efcllemp

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9508	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		eqid 2170	. 2 |- ( ZZ>= ` K ) = ( ZZ>= ` K )
3		halfre 9078	. . 3 |- ( 1 / 2 ) e. RR
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
5		halflt1 9082	. . 3 |- ( 1 / 2 ) < 1
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
7		halfgt0 9080	. . 3 |- 0 < ( 1 / 2 )
8	7	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 0 < ( 1 / 2 ) )
9		efcllemp.k	. . 3 |- ( ph -> K e. NN )
10	9	nnnn0d 9175	. 2 |- ( ph -> K e. NN0 )
11		efcllemp.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
12		efcllemp.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
13	12	eftvalcn 11607	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
14		eftcl 11604	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
15	13, 14	eqeltrd 2247	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
16	11, 15	sylan 281	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
17	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> A e. CC )
18	17	abscld 11132	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
19		eluznn0 9545	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> k e. NN0 )
20	10, 19	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> k e. NN0 )
21		nn0p1nn 9161	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
23	18, 22	nndivred 8915	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) e. RR )
24	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
25	18, 20	reexpcld 10613	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR )
26	20	faccld 10657	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
27	25, 26	nndivred 8915	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
28	17, 20	expcld 10596	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
29	28	absge0d 11135	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( A ^ k ) ) )
30	17, 20	absexpd 11143	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
31	29, 30	breqtrd 4013	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ k ) )
32	26	nnred 8878	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. RR )
33	26	nngt0d 8909	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 < ( ! ` k ) )
34		divge0 8776	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ k ) ) /\ ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
35	25, 31, 32, 33, 34	syl22anc 1234	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36		2re 8935	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
37		abscl 11002	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
38		remulcl 7889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( abs ` A ) e. RR ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
39	36, 37, 38	sylancr 412	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
40	17, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
41		peano2nn0 9162	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
42	10, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. NN0 )
43	42	nn0red 9176	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. RR )
44	43	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. RR )
45	22	nnred 8878	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
46	10	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. NN0 )
47	46	nn0red 9176	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. RR )
48		efcllemp.ak	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )
49	48	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )
50	47	ltp1d 8833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K < ( K + 1 ) )
51	40, 47, 44, 49, 50	lttrd 8032	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < ( K + 1 ) )
52		eluzp1p1 9499	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
53	52	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
54		eluzle 9486	. . . . . . . . 9 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -> ( K + 1 ) <_ ( k + 1 ) )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) <_ ( k + 1 ) )
56	40, 44, 45, 51, 55	ltletrd 8329	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < ( k + 1 ) )
57	18	recnd 7935	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
58		2cn 8936	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
59		mulcom 7890	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( abs ` A ) ) )
60	57, 58, 59	sylancl 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( abs ` A ) ) )
61	22	nncnd 8879	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
62	61	mulid2d 7925	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 1 x. ( k + 1 ) ) = ( k + 1 ) )
63	56, 60, 62	3brtr4d 4019	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) < ( 1 x. ( k + 1 ) ) )
64		2rp 9602	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
65	64	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 2 e. RR+ )
66		1red 7922	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 1 e. RR )
67	22	nnrpd 9638	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
68	18, 65, 66, 67	lt2mul2divd 9709	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. 2 ) < ( 1 x. ( k + 1 ) ) <-> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) ) )
69	63, 68	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) )
70		ltle 7994	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
71	23, 3, 70	sylancl 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
72	69, 71	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
73	23, 24, 27, 35, 72	lemul2ad 8843	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
74		peano2nn0 9162	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
75	20, 74	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
76	12	eftvalcn 11607	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
77	11, 75, 76	syl2an2r 590	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
78	77	fveq2d 5498	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
79	17, 75	absexpd 11143	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^ ( k + 1 ) ) )
80	57, 20	expp1d 10597	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) )
81	79, 80	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) )
82	75	faccld 10657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
83	82	nnred 8878	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
84	82	nnnn0d 9175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
85	84	nn0ge0d 9178	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
86	83, 85	absidd 11118	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
87		facp1 10651	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
88	20, 87	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
89	86, 88	eqtrd 2203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
90	81, 89	oveq12d 5868	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) / ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) / ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
91	17, 75	expcld 10596	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. CC )
92	82	nncnd 8879	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. CC )
93	82	nnap0d 8911	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) # 0 )
94	91, 92, 93	absdivapd 11146	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) / ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
95	25	recnd 7935	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC )
96	26	nncnd 8879	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
97	26	nnap0d 8911	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
98	22	nnap0d 8911	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) # 0 )
99	95, 96, 57, 61, 97, 98	divmuldivapd 8736	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) / ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
100	90, 94, 99	3eqtr4d 2213	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) )
101	78, 100	eqtrd 2203	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) )
102		halfcn 9079	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. CC
103	11, 20, 15	syl2an2r 590	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
104	103	abscld 11132	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
105	104	recnd 7935	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC )
106		mulcom 7890	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
107	102, 105, 106	sylancr 412	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
108	11, 20, 13	syl2an2r 590	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
109	108	fveq2d 5498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
110		eftabs 11606	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
111	11, 20, 110	syl2an2r 590	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
112	109, 111	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
113	112	oveq1d 5865	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
114	107, 113	eqtrd 2203	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
115	73, 101, 114	3brtr4d 4019	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
116	1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115	cvgratgt0 11483	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   |-> cmpt 4048   dom cdm 4609   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762   + caddc 7764   x. cmul 7766   < clt 7941   <_ cle 7942   / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   NN0cn0 9122   ZZ>=cuz 9474   RR+crp 9597   seqcseq 10388   ^cexp 10462   !cfa 10646   abscabs 10948   ~~> cli 11228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-ico 9838  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304

This theorem is referenced by:  efcllem  11609