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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > efcllemp | Unicode version |
Description: Lemma for efcl 11008. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 10981 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.) |
Ref | Expression |
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efcllemp.1 |
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efcllemp.a |
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efcllemp.k |
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efcllemp.ak |
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Ref | Expression |
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efcllemp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nn0uz 9107 |
. 2
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2 | eqid 2089 |
. 2
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3 | halfre 8683 |
. . 3
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4 | 3 | a1i 9 |
. 2
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5 | halflt1 8687 |
. . 3
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6 | 5 | a1i 9 |
. 2
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7 | halfgt0 8685 |
. . 3
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8 | 7 | a1i 9 |
. 2
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9 | efcllemp.k |
. . 3
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10 | 9 | nnnn0d 8780 |
. 2
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11 | efcllemp.a |
. . 3
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12 | efcllemp.1 |
. . . . 5
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13 | 12 | eftvalcn 11001 |
. . . 4
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14 | eftcl 10998 |
. . . 4
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15 | 13, 14 | eqeltrd 2165 |
. . 3
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16 | 11, 15 | sylan 278 |
. 2
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17 | 11 | adantr 271 |
. . . . . 6
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18 | 17 | abscld 10668 |
. . . . 5
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19 | eluznn0 9140 |
. . . . . . 7
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20 | 10, 19 | sylan 278 |
. . . . . 6
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21 | nn0p1nn 8766 |
. . . . . 6
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22 | 20, 21 | syl 14 |
. . . . 5
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23 | 18, 22 | nndivred 8526 |
. . . 4
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24 | 3 | a1i 9 |
. . . 4
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25 | 18, 20 | reexpcld 10157 |
. . . . 5
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26 | 20 | faccld 10198 |
. . . . 5
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27 | 25, 26 | nndivred 8526 |
. . . 4
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28 | 17, 20 | expcld 10140 |
. . . . . . 7
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29 | 28 | absge0d 10671 |
. . . . . 6
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30 | 17, 20 | absexpd 10679 |
. . . . . 6
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31 | 29, 30 | breqtrd 3875 |
. . . . 5
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32 | 26 | nnred 8489 |
. . . . 5
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33 | 26 | nngt0d 8520 |
. . . . 5
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34 | divge0 8388 |
. . . . 5
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35 | 25, 31, 32, 33, 34 | syl22anc 1176 |
. . . 4
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36 | 2re 8546 |
. . . . . . . . . 10
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37 | abscl 10538 |
. . . . . . . . . 10
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38 | remulcl 7524 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 36, 37, 38 | sylancr 406 |
. . . . . . . . 9
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40 | 17, 39 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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41 | peano2nn0 8767 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 10, 41 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | nn0red 8781 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | adantr 271 |
. . . . . . . 8
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45 | 22 | nnred 8489 |
. . . . . . . 8
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46 | 10 | adantr 271 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | nn0red 8781 |
. . . . . . . . 9
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48 | efcllemp.ak |
. . . . . . . . . 10
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49 | 48 | adantr 271 |
. . . . . . . . 9
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50 | 47 | ltp1d 8445 |
. . . . . . . . 9
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51 | 40, 47, 44, 49, 50 | lttrd 7663 |
. . . . . . . 8
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52 | eluzp1p1 9098 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 52 | adantl 272 |
. . . . . . . . 9
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54 | eluzle 9085 |
. . . . . . . . 9
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55 | 53, 54 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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56 | 40, 44, 45, 51, 55 | ltletrd 7955 |
. . . . . . 7
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57 | 18 | recnd 7570 |
. . . . . . . 8
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58 | 2cn 8547 |
. . . . . . . 8
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59 | mulcom 7525 |
. . . . . . . 8
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60 | 57, 58, 59 | sylancl 405 |
. . . . . . 7
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61 | 22 | nncnd 8490 |
. . . . . . . 8
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62 | 61 | mulid2d 7560 |
. . . . . . 7
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63 | 56, 60, 62 | 3brtr4d 3881 |
. . . . . 6
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64 | 2rp 9193 |
. . . . . . . 8
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65 | 64 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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66 | 1red 7557 |
. . . . . . 7
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67 | 22 | nnrpd 9226 |
. . . . . . 7
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68 | 18, 65, 66, 67 | lt2mul2divd 9290 |
. . . . . 6
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69 | 63, 68 | mpbid 146 |
. . . . 5
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70 | ltle 7626 |
. . . . . 6
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71 | 23, 3, 70 | sylancl 405 |
. . . . 5
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72 | 69, 71 | mpd 13 |
. . . 4
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73 | 23, 24, 27, 35, 72 | lemul2ad 8455 |
. . 3
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74 | peano2nn0 8767 |
. . . . . . 7
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75 | 20, 74 | syl 14 |
. . . . . 6
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76 | 12 | eftvalcn 11001 |
. . . . . 6
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77 | 11, 75, 76 | syl2an2r 563 |
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78 | 77 | fveq2d 5322 |
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79 | 17, 75 | absexpd 10679 |
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80 | 57, 20 | expp1d 10141 |
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81 | 79, 80 | eqtrd 2121 |
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82 | 75 | faccld 10198 |
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84 | 82 | nnnn0d 8780 |
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85 | 84 | nn0ge0d 8783 |
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86 | 83, 85 | absidd 10654 |
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87 | facp1 10192 |
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88 | 20, 87 | syl 14 |
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89 | 86, 88 | eqtrd 2121 |
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90 | 81, 89 | oveq12d 5684 |
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91 | 17, 75 | expcld 10140 |
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92 | 82 | nncnd 8490 |
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93 | 82 | nnap0d 8522 |
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94 | 91, 92, 93 | absdivapd 10682 |
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95 | 25 | recnd 7570 |
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96 | 26 | nncnd 8490 |
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97 | 26 | nnap0d 8522 |
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98 | 22 | nnap0d 8522 |
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99 | 95, 96, 57, 61, 97, 98 | divmuldivapd 8353 |
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100 | 90, 94, 99 | 3eqtr4d 2131 |
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101 | 78, 100 | eqtrd 2121 |
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102 | halfcn 8684 |
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103 | 11, 20, 15 | syl2an2r 563 |
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104 | 103 | abscld 10668 |
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105 | 104 | recnd 7570 |
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106 | mulcom 7525 |
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107 | 102, 105, 106 | sylancr 406 |
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108 | 11, 20, 13 | syl2an2r 563 |
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109 | 108 | fveq2d 5322 |
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110 | eftabs 11000 |
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111 | 11, 20, 110 | syl2an2r 563 |
. . . . . 6
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112 | 109, 111 | eqtrd 2121 |
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113 | 112 | oveq1d 5681 |
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114 | 107, 113 | eqtrd 2121 |
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115 | 73, 101, 114 | 3brtr4d 3881 |
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116 | 1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115 | cvgratgt0 10981 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416 ax-cnex 7490 ax-resscn 7491 ax-1cn 7492 ax-1re 7493 ax-icn 7494 ax-addcl 7495 ax-addrcl 7496 ax-mulcl 7497 ax-mulrcl 7498 ax-addcom 7499 ax-mulcom 7500 ax-addass 7501 ax-mulass 7502 ax-distr 7503 ax-i2m1 7504 ax-0lt1 7505 ax-1rid 7506 ax-0id 7507 ax-rnegex 7508 ax-precex 7509 ax-cnre 7510 ax-pre-ltirr 7511 ax-pre-ltwlin 7512 ax-pre-lttrn 7513 ax-pre-apti 7514 ax-pre-ltadd 7515 ax-pre-mulgt0 7516 ax-pre-mulext 7517 ax-arch 7518 ax-caucvg 7519 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-if 3398 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-iord 4202 df-on 4204 df-ilim 4205 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4457 df-rel 4458 df-cnv 4459 df-co 4460 df-dm 4461 df-rn 4462 df-res 4463 df-ima 4464 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-isom 5037 df-riota 5622 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-recs 6084 df-irdg 6149 df-frec 6170 df-1o 6195 df-oadd 6199 df-er 6306 df-en 6512 df-dom 6513 df-fin 6514 df-pnf 7578 df-mnf 7579 df-xr 7580 df-ltxr 7581 df-le 7582 df-sub 7709 df-neg 7710 df-reap 8106 df-ap 8113 df-div 8194 df-inn 8477 df-2 8535 df-3 8536 df-4 8537 df-n0 8728 df-z 8805 df-uz 9074 df-q 9159 df-rp 9189 df-ico 9366 df-fz 9479 df-fzo 9608 df-iseq 9907 df-seq3 9908 df-exp 10009 df-fac 10188 df-ihash 10238 df-cj 10330 df-re 10331 df-im 10332 df-rsqrt 10485 df-abs 10486 df-clim 10721 df-isum 10797 |
This theorem is referenced by: efcllem 11003 |
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