Theorem efcllemp 12218

Description: Lemma for efcl 12224. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 12093 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efcllemp.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efcllemp.a	|- ( ph -> A e. CC )
efcllemp.k	|- ( ph -> K e. NN )
efcllemp.ak	|- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )

Assertion

Ref	Expression
efcllemp	|- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   K( n)

Proof of Theorem efcllemp

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9790	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		eqid 2231	. 2 |- ( ZZ>= ` K ) = ( ZZ>= ` K )
3		halfre 9356	. . 3 |- ( 1 / 2 ) e. RR
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
5		halflt1 9360	. . 3 |- ( 1 / 2 ) < 1
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
7		halfgt0 9358	. . 3 |- 0 < ( 1 / 2 )
8	7	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 0 < ( 1 / 2 ) )
9		efcllemp.k	. . 3 |- ( ph -> K e. NN )
10	9	nnnn0d 9454	. 2 |- ( ph -> K e. NN0 )
11		efcllemp.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
12		efcllemp.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
13	12	eftvalcn 12217	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
14		eftcl 12214	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
15	13, 14	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
16	11, 15	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
17	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> A e. CC )
18	17	abscld 11741	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
19		eluznn0 9832	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> k e. NN0 )
20	10, 19	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> k e. NN0 )
21		nn0p1nn 9440	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
23	18, 22	nndivred 9192	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) e. RR )
24	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
25	18, 20	reexpcld 10951	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR )
26	20	faccld 10997	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
27	25, 26	nndivred 9192	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
28	17, 20	expcld 10934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
29	28	absge0d 11744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( A ^ k ) ) )
30	17, 20	absexpd 11752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
31	29, 30	breqtrd 4114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ k ) )
32	26	nnred 9155	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. RR )
33	26	nngt0d 9186	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 < ( ! ` k ) )
34		divge0 9052	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ k ) ) /\ ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
35	25, 31, 32, 33, 34	syl22anc 1274	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36		2re 9212	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
37		abscl 11611	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
38		remulcl 8159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( abs ` A ) e. RR ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
39	36, 37, 38	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
40	17, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
41		peano2nn0 9441	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
42	10, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. NN0 )
43	42	nn0red 9455	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. RR )
44	43	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. RR )
45	22	nnred 9155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
46	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. NN0 )
47	46	nn0red 9455	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. RR )
48		efcllemp.ak	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )
50	47	ltp1d 9109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K < ( K + 1 ) )
51	40, 47, 44, 49, 50	lttrd 8304	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < ( K + 1 ) )
52		eluzp1p1 9781	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
54		eluzle 9767	. . . . . . . . 9 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -> ( K + 1 ) <_ ( k + 1 ) )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) <_ ( k + 1 ) )
56	40, 44, 45, 51, 55	ltletrd 8602	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < ( k + 1 ) )
57	18	recnd 8207	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
58		2cn 9213	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
59		mulcom 8160	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( abs ` A ) ) )
60	57, 58, 59	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( abs ` A ) ) )
61	22	nncnd 9156	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
62	61	mulid2d 8197	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 1 x. ( k + 1 ) ) = ( k + 1 ) )
63	56, 60, 62	3brtr4d 4120	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) < ( 1 x. ( k + 1 ) ) )
64		2rp 9892	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
65	64	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 2 e. RR+ )
66		1red 8193	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 1 e. RR )
67	22	nnrpd 9928	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
68	18, 65, 66, 67	lt2mul2divd 9999	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. 2 ) < ( 1 x. ( k + 1 ) ) <-> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) ) )
69	63, 68	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) )
70		ltle 8266	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
71	23, 3, 70	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
72	69, 71	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
73	23, 24, 27, 35, 72	lemul2ad 9119	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
74		peano2nn0 9441	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
75	20, 74	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
76	12	eftvalcn 12217	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
77	11, 75, 76	syl2an2r 599	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
78	77	fveq2d 5643	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
79	17, 75	absexpd 11752	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^ ( k + 1 ) ) )
80	57, 20	expp1d 10935	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) )
81	79, 80	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) )
82	75	faccld 10997	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
83	82	nnred 9155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
84	82	nnnn0d 9454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
85	84	nn0ge0d 9457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
86	83, 85	absidd 11727	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
87		facp1 10991	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
88	20, 87	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
89	86, 88	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
90	81, 89	oveq12d 6035	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) / ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) / ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
91	17, 75	expcld 10934	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. CC )
92	82	nncnd 9156	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. CC )
93	82	nnap0d 9188	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) # 0 )
94	91, 92, 93	absdivapd 11755	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) / ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
95	25	recnd 8207	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC )
96	26	nncnd 9156	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
97	26	nnap0d 9188	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
98	22	nnap0d 9188	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) # 0 )
99	95, 96, 57, 61, 97, 98	divmuldivapd 9011	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) / ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
100	90, 94, 99	3eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) )
101	78, 100	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) )
102		halfcn 9357	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. CC
103	11, 20, 15	syl2an2r 599	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
104	103	abscld 11741	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
105	104	recnd 8207	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC )
106		mulcom 8160	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
107	102, 105, 106	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
108	11, 20, 13	syl2an2r 599	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
109	108	fveq2d 5643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
110		eftabs 12216	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
111	11, 20, 110	syl2an2r 599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
112	109, 111	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
113	112	oveq1d 6032	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
114	107, 113	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
115	73, 101, 114	3brtr4d 4120	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
116	1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115	cvgratgt0 12093	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   NN0cn0 9401   ZZ>=cuz 9754   RR+crp 9887   seqcseq 10708   ^cexp 10799   !cfa 10986   abscabs 11557   ~~> cli 11838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-ico 10128  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914

This theorem is referenced by:  efcllem  12219