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Description: Lemma for efcl 11686. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11555 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.) |
Ref | Expression |
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efcllemp.1 |
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efcllemp.a |
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efcllemp.k |
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efcllemp.ak |
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Ref | Expression |
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efcllemp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nn0uz 9576 |
. 2
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2 | eqid 2187 |
. 2
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3 | halfre 9146 |
. . 3
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4 | 3 | a1i 9 |
. 2
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5 | halflt1 9150 |
. . 3
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6 | 5 | a1i 9 |
. 2
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7 | halfgt0 9148 |
. . 3
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8 | 7 | a1i 9 |
. 2
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9 | efcllemp.k |
. . 3
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10 | 9 | nnnn0d 9243 |
. 2
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11 | efcllemp.a |
. . 3
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12 | efcllemp.1 |
. . . . 5
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13 | 12 | eftvalcn 11679 |
. . . 4
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14 | eftcl 11676 |
. . . 4
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15 | 13, 14 | eqeltrd 2264 |
. . 3
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16 | 11, 15 | sylan 283 |
. 2
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17 | 11 | adantr 276 |
. . . . . 6
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18 | 17 | abscld 11204 |
. . . . 5
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19 | eluznn0 9613 |
. . . . . . 7
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20 | 10, 19 | sylan 283 |
. . . . . 6
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21 | nn0p1nn 9229 |
. . . . . 6
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22 | 20, 21 | syl 14 |
. . . . 5
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23 | 18, 22 | nndivred 8983 |
. . . 4
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24 | 3 | a1i 9 |
. . . 4
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25 | 18, 20 | reexpcld 10685 |
. . . . 5
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26 | 20 | faccld 10730 |
. . . . 5
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27 | 25, 26 | nndivred 8983 |
. . . 4
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28 | 17, 20 | expcld 10668 |
. . . . . . 7
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29 | 28 | absge0d 11207 |
. . . . . 6
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30 | 17, 20 | absexpd 11215 |
. . . . . 6
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31 | 29, 30 | breqtrd 4041 |
. . . . 5
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32 | 26 | nnred 8946 |
. . . . 5
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33 | 26 | nngt0d 8977 |
. . . . 5
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34 | divge0 8844 |
. . . . 5
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35 | 25, 31, 32, 33, 34 | syl22anc 1249 |
. . . 4
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36 | 2re 9003 |
. . . . . . . . . 10
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37 | abscl 11074 |
. . . . . . . . . 10
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38 | remulcl 7953 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 36, 37, 38 | sylancr 414 |
. . . . . . . . 9
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40 | 17, 39 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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41 | peano2nn0 9230 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 10, 41 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | nn0red 9244 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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45 | 22 | nnred 8946 |
. . . . . . . 8
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46 | 10 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | nn0red 9244 |
. . . . . . . . 9
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48 | efcllemp.ak |
. . . . . . . . . 10
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49 | 48 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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50 | 47 | ltp1d 8901 |
. . . . . . . . 9
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51 | 40, 47, 44, 49, 50 | lttrd 8097 |
. . . . . . . 8
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52 | eluzp1p1 9567 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 52 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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54 | eluzle 9554 |
. . . . . . . . 9
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55 | 53, 54 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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56 | 40, 44, 45, 51, 55 | ltletrd 8394 |
. . . . . . 7
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57 | 18 | recnd 8000 |
. . . . . . . 8
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58 | 2cn 9004 |
. . . . . . . 8
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59 | mulcom 7954 |
. . . . . . . 8
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60 | 57, 58, 59 | sylancl 413 |
. . . . . . 7
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61 | 22 | nncnd 8947 |
. . . . . . . 8
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62 | 61 | mulid2d 7990 |
. . . . . . 7
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63 | 56, 60, 62 | 3brtr4d 4047 |
. . . . . 6
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64 | 2rp 9672 |
. . . . . . . 8
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65 | 64 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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66 | 1red 7986 |
. . . . . . 7
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67 | 22 | nnrpd 9708 |
. . . . . . 7
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68 | 18, 65, 66, 67 | lt2mul2divd 9779 |
. . . . . 6
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69 | 63, 68 | mpbid 147 |
. . . . 5
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70 | ltle 8059 |
. . . . . 6
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71 | 23, 3, 70 | sylancl 413 |
. . . . 5
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72 | 69, 71 | mpd 13 |
. . . 4
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73 | 23, 24, 27, 35, 72 | lemul2ad 8911 |
. . 3
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74 | peano2nn0 9230 |
. . . . . . 7
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75 | 20, 74 | syl 14 |
. . . . . 6
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76 | 12 | eftvalcn 11679 |
. . . . . 6
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77 | 11, 75, 76 | syl2an2r 595 |
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78 | 77 | fveq2d 5531 |
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79 | 17, 75 | absexpd 11215 |
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80 | 57, 20 | expp1d 10669 |
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81 | 79, 80 | eqtrd 2220 |
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82 | 75 | faccld 10730 |
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84 | 82 | nnnn0d 9243 |
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85 | 84 | nn0ge0d 9246 |
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86 | 83, 85 | absidd 11190 |
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87 | facp1 10724 |
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88 | 20, 87 | syl 14 |
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89 | 86, 88 | eqtrd 2220 |
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90 | 81, 89 | oveq12d 5906 |
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91 | 17, 75 | expcld 10668 |
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92 | 82 | nncnd 8947 |
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93 | 82 | nnap0d 8979 |
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94 | 91, 92, 93 | absdivapd 11218 |
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95 | 25 | recnd 8000 |
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96 | 26 | nncnd 8947 |
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97 | 26 | nnap0d 8979 |
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98 | 22 | nnap0d 8979 |
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99 | 95, 96, 57, 61, 97, 98 | divmuldivapd 8803 |
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100 | 90, 94, 99 | 3eqtr4d 2230 |
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101 | 78, 100 | eqtrd 2220 |
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102 | halfcn 9147 |
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103 | 11, 20, 15 | syl2an2r 595 |
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104 | 103 | abscld 11204 |
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105 | 104 | recnd 8000 |
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106 | mulcom 7954 |
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107 | 102, 105, 106 | sylancr 414 |
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108 | 11, 20, 13 | syl2an2r 595 |
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109 | 108 | fveq2d 5531 |
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110 | eftabs 11678 |
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111 | 11, 20, 110 | syl2an2r 595 |
. . . . . 6
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112 | 109, 111 | eqtrd 2220 |
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113 | 112 | oveq1d 5903 |
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114 | 107, 113 | eqtrd 2220 |
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115 | 73, 101, 114 | 3brtr4d 4047 |
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116 | 1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115 | cvgratgt0 11555 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7916 ax-resscn 7917 ax-1cn 7918 ax-1re 7919 ax-icn 7920 ax-addcl 7921 ax-addrcl 7922 ax-mulcl 7923 ax-mulrcl 7924 ax-addcom 7925 ax-mulcom 7926 ax-addass 7927 ax-mulass 7928 ax-distr 7929 ax-i2m1 7930 ax-0lt1 7931 ax-1rid 7932 ax-0id 7933 ax-rnegex 7934 ax-precex 7935 ax-cnre 7936 ax-pre-ltirr 7937 ax-pre-ltwlin 7938 ax-pre-lttrn 7939 ax-pre-apti 7940 ax-pre-ltadd 7941 ax-pre-mulgt0 7942 ax-pre-mulext 7943 ax-arch 7944 ax-caucvg 7945 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-isom 5237 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6155 df-2nd 6156 df-recs 6320 df-irdg 6385 df-frec 6406 df-1o 6431 df-oadd 6435 df-er 6549 df-en 6755 df-dom 6756 df-fin 6757 df-pnf 8008 df-mnf 8009 df-xr 8010 df-ltxr 8011 df-le 8012 df-sub 8144 df-neg 8145 df-reap 8546 df-ap 8553 df-div 8644 df-inn 8934 df-2 8992 df-3 8993 df-4 8994 df-n0 9191 df-z 9268 df-uz 9543 df-q 9634 df-rp 9668 df-ico 9908 df-fz 10023 df-fzo 10157 df-seqfrec 10460 df-exp 10534 df-fac 10720 df-ihash 10770 df-cj 10865 df-re 10866 df-im 10867 df-rsqrt 11021 df-abs 11022 df-clim 11301 df-sumdc 11376 |
This theorem is referenced by: efcllem 11681 |
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