Theorem efcllemp 12450

Description: Lemma for efcl 12456. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 12325 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efcllemp.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efcllemp.a	|- ( ph -> A e. CC )
efcllemp.k	|- ( ph -> K e. NN )
efcllemp.ak	|- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )

Assertion

Ref	Expression
efcllemp	|- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   K( n)

Proof of Theorem efcllemp

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9973	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		eqid 2238	. 2 |- ( ZZ>= ` K ) = ( ZZ>= ` K )
3		halfre 9529	. . 3 |- ( 1 / 2 ) e. RR
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
5		halflt1 9533	. . 3 |- ( 1 / 2 ) < 1
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
7		halfgt0 9531	. . 3 |- 0 < ( 1 / 2 )
8	7	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 0 < ( 1 / 2 ) )
9		efcllemp.k	. . 3 |- ( ph -> K e. NN )
10	9	nnnn0d 9631	. 2 |- ( ph -> K e. NN0 )
11		efcllemp.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
12		efcllemp.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
13	12	eftvalcn 12449	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
14		eftcl 12446	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
15	13, 14	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
16	11, 15	sylan 283	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
17	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> A e. CC )
18	17	abscld 11970	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
19		eluznn0 10015	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> k e. NN0 )
20	10, 19	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> k e. NN0 )
21		nn0p1nn 9613	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
23	18, 22	nndivred 9363	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) e. RR )
24	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
25	18, 20	reexpcld 11149	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR )
26	20	faccld 11196	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
27	25, 26	nndivred 9363	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
28	17, 20	expcld 11132	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
29	28	absge0d 11973	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( A ^ k ) ) )
30	17, 20	absexpd 11981	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
31	29, 30	breqtrd 4157	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ k ) )
32	26	nnred 9326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. RR )
33	26	nngt0d 9357	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 < ( ! ` k ) )
34		divge0 9211	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ k ) ) /\ ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
35	25, 31, 32, 33, 34	syl22anc 1279	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36		2re 9383	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
37		abscl 11839	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
38		remulcl 8313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( abs ` A ) e. RR ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
39	36, 37, 38	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
40	17, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
41		peano2nn0 9614	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
42	10, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. NN0 )
43	42	nn0red 9632	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. RR )
44	43	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. RR )
45	22	nnred 9326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
46	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. NN0 )
47	46	nn0red 9632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. RR )
48		efcllemp.ak	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )
50	47	ltp1d 9268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K < ( K + 1 ) )
51	40, 47, 44, 49, 50	lttrd 8459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < ( K + 1 ) )
52		eluzp1p1 9964	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
54		eluzle 9950	. . . . . . . . 9 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -> ( K + 1 ) <_ ( k + 1 ) )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) <_ ( k + 1 ) )
56	40, 44, 45, 51, 55	ltletrd 8758	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < ( k + 1 ) )
57	18	recnd 8360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
58		2cn 9384	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
59		mulcom 8314	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( abs ` A ) ) )
60	57, 58, 59	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( abs ` A ) ) )
61	22	nncnd 9327	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
62	61	mullidd 8350	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 1 x. ( k + 1 ) ) = ( k + 1 ) )
63	56, 60, 62	3brtr4d 4163	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) < ( 1 x. ( k + 1 ) ) )
64		2rp 10076	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
65	64	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 2 e. RR+ )
66		1red 8347	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 1 e. RR )
67	22	nnrpd 10112	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
68	18, 65, 66, 67	lt2mul2divd 10183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. 2 ) < ( 1 x. ( k + 1 ) ) <-> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) ) )
69	63, 68	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) )
70		ltle 8419	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
71	23, 3, 70	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
72	69, 71	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
73	23, 24, 27, 35, 72	lemul2ad 9278	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
74		peano2nn0 9614	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
75	20, 74	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
76	12	eftvalcn 12449	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
77	11, 75, 76	syl2an2r 603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
78	77	fveq2d 5702	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
79	17, 75	absexpd 11981	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^ ( k + 1 ) ) )
80	57, 20	expp1d 11133	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) )
81	79, 80	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) )
82	75	faccld 11196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
83	82	nnred 9326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
84	82	nnnn0d 9631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
85	84	nn0ge0d 9634	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
86	83, 85	absidd 11956	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
87		facp1 11190	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
88	20, 87	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
89	86, 88	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
90	81, 89	oveq12d 6106	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) / ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) / ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
91	17, 75	expcld 11132	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. CC )
92	82	nncnd 9327	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. CC )
93	82	nnap0d 9359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) # 0 )
94	91, 92, 93	absdivapd 11984	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) / ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
95	25	recnd 8360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC )
96	26	nncnd 9327	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
97	26	nnap0d 9359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
98	22	nnap0d 9359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) # 0 )
99	95, 96, 57, 61, 97, 98	divmuldivapd 9170	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) / ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
100	90, 94, 99	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) )
101	78, 100	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) )
102		halfcn 9530	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. CC
103	11, 20, 15	syl2an2r 603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
104	103	abscld 11970	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
105	104	recnd 8360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC )
106		mulcom 8314	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
107	102, 105, 106	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
108	11, 20, 13	syl2an2r 603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
109	108	fveq2d 5702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
110		eftabs 12448	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
111	11, 20, 110	syl2an2r 603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
112	109, 111	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
113	112	oveq1d 6103	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
114	107, 113	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
115	73, 101, 114	3brtr4d 4163	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
116	1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115	cvgratgt0 12325	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   dom cdm 4776   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   NN0cn0 9574   ZZ>=cuz 9937   RR+crp 10071   seqcseq 10905   ^cexp 10996   !cfa 11185   abscabs 11785   ~~> cli 12069

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  efcllem  12451