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Theorem efcllemp 11002
Description: Lemma for efcl 11008. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 10981 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efcllemp.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efcllemp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
efcllemp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
efcllemp.ak  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  <  K )
Assertion
Ref Expression
efcllemp  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    F( n)    K( n)

Proof of Theorem efcllemp
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9107 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 eqid 2089 . 2  |-  ( ZZ>= `  K )  =  (
ZZ>= `  K )
3 halfre 8683 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
43a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
5 halflt1 8687 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  <  1
65a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  <  1 )
7 halfgt0 8685 . . 3  |-  0  <  ( 1  /  2
)
87a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  /  2 ) )
9 efcllemp.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
109nnnn0d 8780 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
11 efcllemp.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
12 efcllemp.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
1312eftvalcn 11001 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
14 eftcl 10998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
1513, 14eqeltrd 2165 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
1611, 15sylan 278 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1711adantr 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  A  e.  CC )
1817abscld 10668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
19 eluznn0 9140 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2010, 19sylan 278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  k  e.  NN0 )
21 nn0p1nn 8766 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
2220, 21syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
2318, 22nndivred 8526 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  e.  RR )
243a1i 9 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
2518, 20reexpcld 10157 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
k )  e.  RR )
2620faccld 10198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
2725, 26nndivred 8526 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
2817, 20expcld 10140 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
2928absge0d 10671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( A ^ k ) ) )
3017, 20absexpd 10679 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( A ^ k
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
3129, 30breqtrd 3875 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
3226nnred 8489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
3326nngt0d 8520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  <  ( ! `  k ) )
34 divge0 8388 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ k
) )  /\  (
( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) ) )  ->  0  <_  (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
3525, 31, 32, 33, 34syl22anc 1176 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  <_  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
36 2re 8546 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
37 abscl 10538 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
38 remulcl 7524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR )
3936, 37, 38sylancr 406 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR )
4017, 39syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  e.  RR )
41 peano2nn0 8767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
4210, 41syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
4342nn0red 8781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
4443adantr 271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  e.  RR )
4522nnred 8489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
4610adantr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  NN0 )
4746nn0red 8781 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  e.  RR )
48 efcllemp.ak . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( abs `  A ) )  <  K )
4948adantr 271 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  K
)
5047ltp1d 8445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
5140, 47, 44, 49, 50lttrd 7663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  ( K  +  1 ) )
52 eluzp1p1 9098 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
5352adantl 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
54 eluzle 9085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) )  ->  ( K  +  1 )  <_ 
( k  +  1 ) )
5553, 54syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( K  +  1 )  <_ 
( k  +  1 ) )
5640, 44, 45, 51, 55ltletrd 7955 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  (
k  +  1 ) )
5718recnd 7570 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
58 2cn 8547 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
59 mulcom 7525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )
6057, 58, 59sylancl 405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )
6122nncnd 8490 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
6261mulid2d 7560 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( 1  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
6356, 60, 623brtr4d 3881 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A )  x.  2 )  <  (
1  x.  ( k  +  1 ) ) )
64 2rp 9193 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR+
6564a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  2  e.  RR+ )
66 1red 7557 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  1  e.  RR )
6722nnrpd 9226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  RR+ )
6818, 65, 66, 67lt2mul2divd 9290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( abs `  A
)  x.  2 )  <  ( 1  x.  ( k  +  1 ) )  <->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <  (
1  /  2 ) ) )
6963, 68mpbid 146 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <  (
1  /  2 ) )
70 ltle 7626 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) )  <  ( 1  /  2 )  -> 
( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
7123, 3, 70sylancl 405 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <  ( 1  / 
2 )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
7269, 71mpd 13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <_  (
1  /  2 ) )
7323, 24, 27, 35, 72lemul2ad 8455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( 1  /  2
) ) )
74 peano2nn0 8767 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
7520, 74syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
7612eftvalcn 11001 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
7711, 75, 76syl2an2r 563 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ (
k  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) )
7877fveq2d 5322 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7917, 75absexpd 10679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  A
) ^ ( k  +  1 ) ) )
8057, 20expp1d 10141 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) ) )
8179, 80eqtrd 2121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) ) )
8275faccld 10198 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
8382nnred 8489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
8482nnnn0d 8780 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
8584nn0ge0d 8783 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  0  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
8683, 85absidd 10654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ! `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
87 facp1 10192 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
8820, 87syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
8986, 88eqtrd 2121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ! `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
9081, 89oveq12d 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  ( A ^
( k  +  1 ) ) )  / 
( abs `  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  x.  ( abs `  A ) )  / 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
9117, 75expcld 10140 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
9282nncnd 8490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
9382nnap0d 8522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) ) #  0 )
9491, 92, 93absdivapd 10682 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
9525recnd 7570 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  A ) ^
k )  e.  CC )
9626nncnd 8490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
9726nnap0d 8522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ! `  k ) #  0 )
9822nnap0d 8522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( k  +  1 ) #  0 )
9995, 96, 57, 61, 97, 98divmuldivapd 8353 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) )  /  (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
10090, 94, 993eqtr4d 2131 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
10178, 100eqtrd 2121 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
102 halfcn 8684 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
10311, 20, 15syl2an2r 563 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
104103abscld 10668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
105104recnd 7570 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  CC )
106 mulcom 7525 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  k
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
107102, 105, 106sylancr 406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
)  x.  ( 1  /  2 ) ) )
10811, 20, 13syl2an2r 563 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
109108fveq2d 5322 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
110 eftabs 11000 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
11111, 20, 110syl2an2r 563 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
112109, 111eqtrd 2121 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
113112oveq1d 5681 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  x.  ( 1  /  2
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
114107, 113eqtrd 2121 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
11573, 101, 1143brtr4d 3881 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  /  2
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
1161, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115cvgratgt0 10981 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3851    |-> cmpt 3905   dom cdm 4451   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7402   RRcr 7403   0cc0 7404   1c1 7405    + caddc 7407    x. cmul 7409    < clt 7576    <_ cle 7577    / cdiv 8193   NNcn 8476   2c2 8527   NN0cn0 8727   ZZ>=cuz 9073   RR+crp 9188    seqcseq 9906   ^cexp 10008   !cfa 10187   abscabs 10484    ~~> cli 10720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-q 9159  df-rp 9189  df-ico 9366  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-fac 10188  df-ihash 10238  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721  df-isum 10797
This theorem is referenced by:  efcllem  11003
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