Theorem efcllemp 11599

Description: Lemma for efcl 11605. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11474 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efcllemp.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efcllemp.a	|- ( ph -> A e. CC )
efcllemp.k	|- ( ph -> K e. NN )
efcllemp.ak	|- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )

Assertion

Ref	Expression
efcllemp	|- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   K( n)

Proof of Theorem efcllemp

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9500	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		eqid 2165	. 2 |- ( ZZ>= ` K ) = ( ZZ>= ` K )
3		halfre 9070	. . 3 |- ( 1 / 2 ) e. RR
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
5		halflt1 9074	. . 3 |- ( 1 / 2 ) < 1
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
7		halfgt0 9072	. . 3 |- 0 < ( 1 / 2 )
8	7	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 0 < ( 1 / 2 ) )
9		efcllemp.k	. . 3 |- ( ph -> K e. NN )
10	9	nnnn0d 9167	. 2 |- ( ph -> K e. NN0 )
11		efcllemp.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
12		efcllemp.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
13	12	eftvalcn 11598	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
14		eftcl 11595	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
15	13, 14	eqeltrd 2243	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
16	11, 15	sylan 281	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
17	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> A e. CC )
18	17	abscld 11123	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
19		eluznn0 9537	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> k e. NN0 )
20	10, 19	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> k e. NN0 )
21		nn0p1nn 9153	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
23	18, 22	nndivred 8907	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) e. RR )
24	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
25	18, 20	reexpcld 10605	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR )
26	20	faccld 10649	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
27	25, 26	nndivred 8907	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
28	17, 20	expcld 10588	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
29	28	absge0d 11126	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( A ^ k ) ) )
30	17, 20	absexpd 11134	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
31	29, 30	breqtrd 4008	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ k ) )
32	26	nnred 8870	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. RR )
33	26	nngt0d 8901	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 < ( ! ` k ) )
34		divge0 8768	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ k ) ) /\ ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
35	25, 31, 32, 33, 34	syl22anc 1229	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36		2re 8927	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
37		abscl 10993	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
38		remulcl 7881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( abs ` A ) e. RR ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
39	36, 37, 38	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
40	17, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
41		peano2nn0 9154	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
42	10, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. NN0 )
43	42	nn0red 9168	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. RR )
44	43	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. RR )
45	22	nnred 8870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
46	10	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. NN0 )
47	46	nn0red 9168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. RR )
48		efcllemp.ak	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )
49	48	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )
50	47	ltp1d 8825	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K < ( K + 1 ) )
51	40, 47, 44, 49, 50	lttrd 8024	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < ( K + 1 ) )
52		eluzp1p1 9491	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
53	52	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
54		eluzle 9478	. . . . . . . . 9 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -> ( K + 1 ) <_ ( k + 1 ) )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) <_ ( k + 1 ) )
56	40, 44, 45, 51, 55	ltletrd 8321	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < ( k + 1 ) )
57	18	recnd 7927	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
58		2cn 8928	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
59		mulcom 7882	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( abs ` A ) ) )
60	57, 58, 59	sylancl 410	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( abs ` A ) ) )
61	22	nncnd 8871	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
62	61	mulid2d 7917	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 1 x. ( k + 1 ) ) = ( k + 1 ) )
63	56, 60, 62	3brtr4d 4014	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) < ( 1 x. ( k + 1 ) ) )
64		2rp 9594	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
65	64	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 2 e. RR+ )
66		1red 7914	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 1 e. RR )
67	22	nnrpd 9630	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
68	18, 65, 66, 67	lt2mul2divd 9701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. 2 ) < ( 1 x. ( k + 1 ) ) <-> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) ) )
69	63, 68	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) )
70		ltle 7986	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
71	23, 3, 70	sylancl 410	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
72	69, 71	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
73	23, 24, 27, 35, 72	lemul2ad 8835	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
74		peano2nn0 9154	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
75	20, 74	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
76	12	eftvalcn 11598	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
77	11, 75, 76	syl2an2r 585	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
78	77	fveq2d 5490	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
79	17, 75	absexpd 11134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^ ( k + 1 ) ) )
80	57, 20	expp1d 10589	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) )
81	79, 80	eqtrd 2198	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) )
82	75	faccld 10649	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
83	82	nnred 8870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
84	82	nnnn0d 9167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
85	84	nn0ge0d 9170	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
86	83, 85	absidd 11109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
87		facp1 10643	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
88	20, 87	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
89	86, 88	eqtrd 2198	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
90	81, 89	oveq12d 5860	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) / ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) / ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
91	17, 75	expcld 10588	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. CC )
92	82	nncnd 8871	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. CC )
93	82	nnap0d 8903	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) # 0 )
94	91, 92, 93	absdivapd 11137	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) / ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
95	25	recnd 7927	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC )
96	26	nncnd 8871	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
97	26	nnap0d 8903	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
98	22	nnap0d 8903	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) # 0 )
99	95, 96, 57, 61, 97, 98	divmuldivapd 8728	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) / ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
100	90, 94, 99	3eqtr4d 2208	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) )
101	78, 100	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) )
102		halfcn 9071	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. CC
103	11, 20, 15	syl2an2r 585	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
104	103	abscld 11123	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
105	104	recnd 7927	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC )
106		mulcom 7882	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
107	102, 105, 106	sylancr 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
108	11, 20, 13	syl2an2r 585	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
109	108	fveq2d 5490	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
110		eftabs 11597	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
111	11, 20, 110	syl2an2r 585	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
112	109, 111	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
113	112	oveq1d 5857	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
114	107, 113	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
115	73, 101, 114	3brtr4d 4014	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
116	1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115	cvgratgt0 11474	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   dom cdm 4604   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   NN0cn0 9114   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   seqcseq 10380   ^cexp 10454   !cfa 10638   abscabs 10939   ~~> cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  efcllem  11600