Theorem efcllemp 11364

Description: Lemma for efcl 11370. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11302 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efcllemp.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
efcllemp.a	|- ( ph -> A e. CC )
efcllemp.k	|- ( ph -> K e. NN )
efcllemp.ak	|- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )

Assertion

Ref	Expression
efcllemp	|- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   K( n)

Proof of Theorem efcllemp

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9360	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		eqid 2139	. 2 |- ( ZZ>= ` K ) = ( ZZ>= ` K )
3		halfre 8933	. . 3 |- ( 1 / 2 ) e. RR
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
5		halflt1 8937	. . 3 |- ( 1 / 2 ) < 1
6	5	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
7		halfgt0 8935	. . 3 |- 0 < ( 1 / 2 )
8	7	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 0 < ( 1 / 2 ) )
9		efcllemp.k	. . 3 |- ( ph -> K e. NN )
10	9	nnnn0d 9030	. 2 |- ( ph -> K e. NN0 )
11		efcllemp.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
12		efcllemp.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
13	12	eftvalcn 11363	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
14		eftcl 11360	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
15	13, 14	eqeltrd 2216	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
16	11, 15	sylan 281	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
17	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> A e. CC )
18	17	abscld 10953	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
19		eluznn0 9393	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> k e. NN0 )
20	10, 19	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> k e. NN0 )
21		nn0p1nn 9016	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
23	18, 22	nndivred 8770	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) e. RR )
24	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
25	18, 20	reexpcld 10441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR )
26	20	faccld 10482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
27	25, 26	nndivred 8770	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
28	17, 20	expcld 10424	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
29	28	absge0d 10956	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( A ^ k ) ) )
30	17, 20	absexpd 10964	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ k ) ) = ( ( abs ` A ) ^ k ) )
31	29, 30	breqtrd 3954	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ k ) )
32	26	nnred 8733	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. RR )
33	26	nngt0d 8764	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 < ( ! ` k ) )
34		divge0 8631	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ k ) ) /\ ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
35	25, 31, 32, 33, 34	syl22anc 1217	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
36		2re 8790	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
37		abscl 10823	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
38		remulcl 7748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( abs ` A ) e. RR ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
39	36, 37, 38	sylancr 410	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
40	17, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) e. RR )
41		peano2nn0 9017	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
42	10, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. NN0 )
43	42	nn0red 9031	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. RR )
44	43	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) e. RR )
45	22	nnred 8733	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
46	10	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. NN0 )
47	46	nn0red 9031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K e. RR )
48		efcllemp.ak	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )
49	48	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < K )
50	47	ltp1d 8688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> K < ( K + 1 ) )
51	40, 47, 44, 49, 50	lttrd 7888	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < ( K + 1 ) )
52		eluzp1p1 9351	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
53	52	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
54		eluzle 9338	. . . . . . . . 9 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) -> ( K + 1 ) <_ ( k + 1 ) )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( K + 1 ) <_ ( k + 1 ) )
56	40, 44, 45, 51, 55	ltletrd 8185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. ( abs ` A ) ) < ( k + 1 ) )
57	18	recnd 7794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
58		2cn 8791	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
59		mulcom 7749	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( abs ` A ) ) )
60	57, 58, 59	sylancl 409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( abs ` A ) ) )
61	22	nncnd 8734	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
62	61	mulid2d 7784	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 1 x. ( k + 1 ) ) = ( k + 1 ) )
63	56, 60, 62	3brtr4d 3960	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) x. 2 ) < ( 1 x. ( k + 1 ) ) )
64		2rp 9446	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
65	64	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 2 e. RR+ )
66		1red 7781	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 1 e. RR )
67	22	nnrpd 9482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. RR+ )
68	18, 65, 66, 67	lt2mul2divd 9552	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. 2 ) < ( 1 x. ( k + 1 ) ) <-> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) ) )
69	63, 68	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) )
70		ltle 7851	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
71	23, 3, 70	sylancl 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) < ( 1 / 2 ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) )
72	69, 71	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
73	23, 24, 27, 35, 72	lemul2ad 8698	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
74		peano2nn0 9017	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
75	20, 74	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
76	12	eftvalcn 11363	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
77	11, 75, 76	syl2an2r 584	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
78	77	fveq2d 5425	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
79	17, 75	absexpd 10964	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^ ( k + 1 ) ) )
80	57, 20	expp1d 10425	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) )
81	79, 80	eqtrd 2172	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) )
82	75	faccld 10482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
83	82	nnred 8733	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
84	82	nnnn0d 9030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
85	84	nn0ge0d 9033	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> 0 <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
86	83, 85	absidd 10939	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
87		facp1 10476	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
88	20, 87	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
89	86, 88	eqtrd 2172	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
90	81, 89	oveq12d 5792	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) / ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) / ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
91	17, 75	expcld 10424	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. CC )
92	82	nncnd 8734	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. CC )
93	82	nnap0d 8766	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) # 0 )
94	91, 92, 93	absdivapd 10967	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` ( A ^ ( k + 1 ) ) ) / ( abs ` ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
95	25	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` A ) ^ k ) e. CC )
96	26	nncnd 8734	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
97	26	nnap0d 8766	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ! ` k ) # 0 )
98	22	nnap0d 8766	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( k + 1 ) # 0 )
99	95, 96, 57, 61, 97, 98	divmuldivapd 8592	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) x. ( abs ` A ) ) / ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
100	90, 94, 99	3eqtr4d 2182	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ ( k + 1 ) ) / ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) )
101	78, 100	eqtrd 2172	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( abs ` A ) / ( k + 1 ) ) ) )
102		halfcn 8934	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. CC
103	11, 20, 15	syl2an2r 584	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
104	103	abscld 10953	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
105	104	recnd 7794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC )
106		mulcom 7749	. . . . 5 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( abs ` ( F ` k ) ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
107	102, 105, 106	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
108	11, 20, 13	syl2an2r 584	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
109	108	fveq2d 5425	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
110		eftabs 11362	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
111	11, 20, 110	syl2an2r 584	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
112	109, 111	eqtrd 2172	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
113	112	oveq1d 5789	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
114	107, 113	eqtrd 2172	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
115	73, 101, 114	3brtr4d 3960	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 2 ) x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
116	1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115	cvgratgt0 11302	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   dom cdm 4539   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   NN0cn0 8977   ZZ>=cuz 9326   RR+crp 9441   seqcseq 10218   ^cexp 10292   !cfa 10471   abscabs 10769   ~~> cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  efcllem  11365