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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > efcllemp | Unicode version |
Description: Lemma for efcl 11407. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11334 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.) |
Ref | Expression |
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efcllemp.1 |
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efcllemp.a |
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efcllemp.k |
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efcllemp.ak |
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Ref | Expression |
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efcllemp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nn0uz 9384 |
. 2
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2 | eqid 2140 |
. 2
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3 | halfre 8957 |
. . 3
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4 | 3 | a1i 9 |
. 2
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5 | halflt1 8961 |
. . 3
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6 | 5 | a1i 9 |
. 2
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7 | halfgt0 8959 |
. . 3
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8 | 7 | a1i 9 |
. 2
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9 | efcllemp.k |
. . 3
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10 | 9 | nnnn0d 9054 |
. 2
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11 | efcllemp.a |
. . 3
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12 | efcllemp.1 |
. . . . 5
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13 | 12 | eftvalcn 11400 |
. . . 4
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14 | eftcl 11397 |
. . . 4
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15 | 13, 14 | eqeltrd 2217 |
. . 3
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16 | 11, 15 | sylan 281 |
. 2
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17 | 11 | adantr 274 |
. . . . . 6
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18 | 17 | abscld 10985 |
. . . . 5
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19 | eluznn0 9420 |
. . . . . . 7
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20 | 10, 19 | sylan 281 |
. . . . . 6
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21 | nn0p1nn 9040 |
. . . . . 6
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22 | 20, 21 | syl 14 |
. . . . 5
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23 | 18, 22 | nndivred 8794 |
. . . 4
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24 | 3 | a1i 9 |
. . . 4
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25 | 18, 20 | reexpcld 10472 |
. . . . 5
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26 | 20 | faccld 10514 |
. . . . 5
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27 | 25, 26 | nndivred 8794 |
. . . 4
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28 | 17, 20 | expcld 10455 |
. . . . . . 7
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29 | 28 | absge0d 10988 |
. . . . . 6
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30 | 17, 20 | absexpd 10996 |
. . . . . 6
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31 | 29, 30 | breqtrd 3962 |
. . . . 5
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32 | 26 | nnred 8757 |
. . . . 5
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33 | 26 | nngt0d 8788 |
. . . . 5
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34 | divge0 8655 |
. . . . 5
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35 | 25, 31, 32, 33, 34 | syl22anc 1218 |
. . . 4
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36 | 2re 8814 |
. . . . . . . . . 10
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37 | abscl 10855 |
. . . . . . . . . 10
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38 | remulcl 7772 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 36, 37, 38 | sylancr 411 |
. . . . . . . . 9
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40 | 17, 39 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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41 | peano2nn0 9041 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 10, 41 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | nn0red 9055 |
. . . . . . . . 9
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44 | 43 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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45 | 22 | nnred 8757 |
. . . . . . . 8
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46 | 10 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | nn0red 9055 |
. . . . . . . . 9
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48 | efcllemp.ak |
. . . . . . . . . 10
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49 | 48 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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50 | 47 | ltp1d 8712 |
. . . . . . . . 9
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51 | 40, 47, 44, 49, 50 | lttrd 7912 |
. . . . . . . 8
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52 | eluzp1p1 9375 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 52 | adantl 275 |
. . . . . . . . 9
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54 | eluzle 9362 |
. . . . . . . . 9
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55 | 53, 54 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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56 | 40, 44, 45, 51, 55 | ltletrd 8209 |
. . . . . . 7
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57 | 18 | recnd 7818 |
. . . . . . . 8
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58 | 2cn 8815 |
. . . . . . . 8
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59 | mulcom 7773 |
. . . . . . . 8
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60 | 57, 58, 59 | sylancl 410 |
. . . . . . 7
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61 | 22 | nncnd 8758 |
. . . . . . . 8
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62 | 61 | mulid2d 7808 |
. . . . . . 7
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63 | 56, 60, 62 | 3brtr4d 3968 |
. . . . . 6
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64 | 2rp 9475 |
. . . . . . . 8
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65 | 64 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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66 | 1red 7805 |
. . . . . . 7
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67 | 22 | nnrpd 9511 |
. . . . . . 7
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68 | 18, 65, 66, 67 | lt2mul2divd 9582 |
. . . . . 6
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69 | 63, 68 | mpbid 146 |
. . . . 5
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70 | ltle 7875 |
. . . . . 6
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71 | 23, 3, 70 | sylancl 410 |
. . . . 5
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72 | 69, 71 | mpd 13 |
. . . 4
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73 | 23, 24, 27, 35, 72 | lemul2ad 8722 |
. . 3
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74 | peano2nn0 9041 |
. . . . . . 7
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75 | 20, 74 | syl 14 |
. . . . . 6
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76 | 12 | eftvalcn 11400 |
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77 | 11, 75, 76 | syl2an2r 585 |
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78 | 77 | fveq2d 5433 |
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79 | 17, 75 | absexpd 10996 |
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80 | 57, 20 | expp1d 10456 |
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81 | 79, 80 | eqtrd 2173 |
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82 | 75 | faccld 10514 |
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84 | 82 | nnnn0d 9054 |
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85 | 84 | nn0ge0d 9057 |
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86 | 83, 85 | absidd 10971 |
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87 | facp1 10508 |
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88 | 20, 87 | syl 14 |
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89 | 86, 88 | eqtrd 2173 |
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90 | 81, 89 | oveq12d 5800 |
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91 | 17, 75 | expcld 10455 |
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92 | 82 | nncnd 8758 |
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93 | 82 | nnap0d 8790 |
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94 | 91, 92, 93 | absdivapd 10999 |
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95 | 25 | recnd 7818 |
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96 | 26 | nncnd 8758 |
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97 | 26 | nnap0d 8790 |
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98 | 22 | nnap0d 8790 |
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99 | 95, 96, 57, 61, 97, 98 | divmuldivapd 8616 |
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100 | 90, 94, 99 | 3eqtr4d 2183 |
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101 | 78, 100 | eqtrd 2173 |
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102 | halfcn 8958 |
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103 | 11, 20, 15 | syl2an2r 585 |
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104 | 103 | abscld 10985 |
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105 | 104 | recnd 7818 |
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106 | mulcom 7773 |
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107 | 102, 105, 106 | sylancr 411 |
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108 | 11, 20, 13 | syl2an2r 585 |
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109 | 108 | fveq2d 5433 |
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110 | eftabs 11399 |
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111 | 11, 20, 110 | syl2an2r 585 |
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112 | 109, 111 | eqtrd 2173 |
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113 | 112 | oveq1d 5797 |
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114 | 107, 113 | eqtrd 2173 |
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115 | 73, 101, 114 | 3brtr4d 3968 |
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116 | 1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115 | cvgratgt0 11334 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-frec 6296 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-er 6437 df-en 6643 df-dom 6644 df-fin 6645 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-ico 9707 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-fac 10504 df-ihash 10554 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-clim 11080 df-sumdc 11155 |
This theorem is referenced by: efcllem 11402 |
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