Theorem prmfac1 12956

Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmfac1	|- ( ( N e. NN0 /\ P e. Prime /\ P || ( ! ` N ) ) -> P <_ N )

Proof of Theorem prmfac1

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5698	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ! ` x ) = ( ! ` 0 ) )
2	1	breq2d 4143	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` 0 ) ) )
3		breq2 4135	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( P <_ x <-> P <_ 0 ) )
4	2, 3	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 0 -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) ) ) )
6		fveq2 5698	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ! ` x ) = ( ! ` k ) )
7	6	breq2d 4143	. . . . 5 |- ( x = k -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` k ) ) )
8		breq2 4135	. . . . 5 |- ( x = k -> ( P <_ x <-> P <_ k ) )
9	7, 8	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = k -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) ) )
11		fveq2 5698	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ! ` x ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
12	11	breq2d 4143	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
13		breq2 4135	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( P <_ x <-> P <_ ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
16		fveq2 5698	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ! ` x ) = ( ! ` N ) )
17	16	breq2d 4143	. . . . 5 |- ( x = N -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` N ) ) )
18		breq2 4135	. . . . 5 |- ( x = N -> ( P <_ x <-> P <_ N ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) ) )
21		fac0 11188	. . . . 5 |- ( ! ` 0 ) = 1
22	21	breq2i 4139	. . . 4 |- ( P || ( ! ` 0 ) <-> P || 1 )
23		nprmdvds1 12944	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> -. P || 1 )
24	23	pm2.21d 628	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P || 1 -> P <_ 0 ) )
25	22, 24	biimtrid 152	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) )
26		facp1 11190	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
28	27	breq2d 4143	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) <-> P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
29		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. Prime )
30		faccl 11195	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` k ) e. NN )
32	31	nnzd 9778	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` k ) e. ZZ )
33		nn0p1nn 9613	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. NN )
35	34	nnzd 9778	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
36		euclemma 12950	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( ! ` k ) e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
37	29, 32, 35, 36	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
38	28, 37	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
39		nn0re 9583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> k e. RR )
41	40	lep1d 9269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> k <_ ( k + 1 ) )
42		prmz 12914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. ZZ )
44	43	zred 9779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. RR )
45	34	nnred 9326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. RR )
46		letr 8414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. RR /\ k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( P <_ k /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
47	44, 40, 45, 46	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P <_ k /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
48	41, 47	mpan2d 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P <_ k -> P <_ ( k + 1 ) ) )
49	48	imim2d 54	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
50	49	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` k ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
51		dvdsle 12636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( P || ( k + 1 ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
52	43, 34, 51	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( k + 1 ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
53	52	a1dd 48	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( k + 1 ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
54	50, 53	jaod 729	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
55	38, 54	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
56	55	com23 78	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
57	56	ex 115	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( P e. Prime -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
58	57	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) -> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
59	5, 10, 15, 20, 25, 58	nn0ind 9771	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) )
60	59	3imp 1224	1 |- ( ( N e. NN0 /\ P e. Prime /\ P || ( ! ` N ) ) -> P <_ N )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   <_ cle 8367   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   !cfa 11185   || cdvds 12579   Primecprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-gcd 12756  df-prm 12911

This theorem is used by:  prmndvdsfaclt  12960  chtublem  16295  bposlem3  16313