Theorem prmfac1 12669

Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmfac1	|- ( ( N e. NN0 /\ P e. Prime /\ P || ( ! ` N ) ) -> P <_ N )

Proof of Theorem prmfac1

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5626	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ! ` x ) = ( ! ` 0 ) )
2	1	breq2d 4094	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` 0 ) ) )
3		breq2 4086	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( P <_ x <-> P <_ 0 ) )
4	2, 3	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 0 -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) ) ) )
6		fveq2 5626	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ! ` x ) = ( ! ` k ) )
7	6	breq2d 4094	. . . . 5 |- ( x = k -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` k ) ) )
8		breq2 4086	. . . . 5 |- ( x = k -> ( P <_ x <-> P <_ k ) )
9	7, 8	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = k -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) ) )
11		fveq2 5626	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ! ` x ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
12	11	breq2d 4094	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
13		breq2 4086	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( P <_ x <-> P <_ ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
16		fveq2 5626	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ! ` x ) = ( ! ` N ) )
17	16	breq2d 4094	. . . . 5 |- ( x = N -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` N ) ) )
18		breq2 4086	. . . . 5 |- ( x = N -> ( P <_ x <-> P <_ N ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) ) )
21		fac0 10945	. . . . 5 |- ( ! ` 0 ) = 1
22	21	breq2i 4090	. . . 4 |- ( P || ( ! ` 0 ) <-> P || 1 )
23		nprmdvds1 12657	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> -. P || 1 )
24	23	pm2.21d 622	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P || 1 -> P <_ 0 ) )
25	22, 24	biimtrid 152	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) )
26		facp1 10947	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
28	27	breq2d 4094	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) <-> P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
29		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. Prime )
30		faccl 10952	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` k ) e. NN )
32	31	nnzd 9564	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` k ) e. ZZ )
33		nn0p1nn 9404	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. NN )
35	34	nnzd 9564	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
36		euclemma 12663	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( ! ` k ) e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
37	29, 32, 35, 36	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
38	28, 37	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
39		nn0re 9374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> k e. RR )
41	40	lep1d 9074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> k <_ ( k + 1 ) )
42		prmz 12628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. ZZ )
44	43	zred 9565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. RR )
45	34	nnred 9119	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. RR )
46		letr 8225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. RR /\ k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( P <_ k /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
47	44, 40, 45, 46	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P <_ k /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
48	41, 47	mpan2d 428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P <_ k -> P <_ ( k + 1 ) ) )
49	48	imim2d 54	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
50	49	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` k ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
51		dvdsle 12350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( P || ( k + 1 ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
52	43, 34, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( k + 1 ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
53	52	a1dd 48	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( k + 1 ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
54	50, 53	jaod 722	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
55	38, 54	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
56	55	com23 78	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
57	56	ex 115	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( P e. Prime -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
58	57	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) -> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
59	5, 10, 15, 20, 25, 58	nn0ind 9557	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) )
60	59	3imp 1217	1 |- ( ( N e. NN0 /\ P e. Prime /\ P || ( ! ` N ) ) -> P <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   x. cmul 8000   <_ cle 8178   NNcn 9106   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   !cfa 10942   || cdvds 12293   Primecprime 12624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-en 6886  df-sup 7147  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-dvds 12294  df-gcd 12470  df-prm 12625

This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  12673