Theorem prmfac1 12445

Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmfac1	|- ( ( N e. NN0 /\ P e. Prime /\ P || ( ! ` N ) ) -> P <_ N )

Proof of Theorem prmfac1

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5575	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ! ` x ) = ( ! ` 0 ) )
2	1	breq2d 4055	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` 0 ) ) )
3		breq2 4047	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( P <_ x <-> P <_ 0 ) )
4	2, 3	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 0 -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) ) ) )
6		fveq2 5575	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ! ` x ) = ( ! ` k ) )
7	6	breq2d 4055	. . . . 5 |- ( x = k -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` k ) ) )
8		breq2 4047	. . . . 5 |- ( x = k -> ( P <_ x <-> P <_ k ) )
9	7, 8	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = k -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) ) )
11		fveq2 5575	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ! ` x ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
12	11	breq2d 4055	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
13		breq2 4047	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( P <_ x <-> P <_ ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
16		fveq2 5575	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ! ` x ) = ( ! ` N ) )
17	16	breq2d 4055	. . . . 5 |- ( x = N -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` N ) ) )
18		breq2 4047	. . . . 5 |- ( x = N -> ( P <_ x <-> P <_ N ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) ) )
21		fac0 10871	. . . . 5 |- ( ! ` 0 ) = 1
22	21	breq2i 4051	. . . 4 |- ( P || ( ! ` 0 ) <-> P || 1 )
23		nprmdvds1 12433	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> -. P || 1 )
24	23	pm2.21d 620	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P || 1 -> P <_ 0 ) )
25	22, 24	biimtrid 152	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) )
26		facp1 10873	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
28	27	breq2d 4055	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) <-> P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
29		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. Prime )
30		faccl 10878	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` k ) e. NN )
32	31	nnzd 9493	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` k ) e. ZZ )
33		nn0p1nn 9333	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. NN )
35	34	nnzd 9493	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
36		euclemma 12439	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( ! ` k ) e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
37	29, 32, 35, 36	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
38	28, 37	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
39		nn0re 9303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> k e. RR )
41	40	lep1d 9003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> k <_ ( k + 1 ) )
42		prmz 12404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. ZZ )
44	43	zred 9494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. RR )
45	34	nnred 9048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. RR )
46		letr 8154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. RR /\ k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( P <_ k /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
47	44, 40, 45, 46	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P <_ k /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
48	41, 47	mpan2d 428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P <_ k -> P <_ ( k + 1 ) ) )
49	48	imim2d 54	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
50	49	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` k ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
51		dvdsle 12126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( P || ( k + 1 ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
52	43, 34, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( k + 1 ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
53	52	a1dd 48	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( k + 1 ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
54	50, 53	jaod 718	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
55	38, 54	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
56	55	com23 78	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
57	56	ex 115	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( P e. Prime -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
58	57	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) -> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
59	5, 10, 15, 20, 25, 58	nn0ind 9486	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) )
60	59	3imp 1195	1 |- ( ( N e. NN0 /\ P e. Prime /\ P || ( ! ` N ) ) -> P <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   RRcr 7923   0cc0 7924   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929   <_ cle 8107   NNcn 9035   NN0cn0 9294   ZZcz 9371   !cfa 10868   || cdvds 12069   Primecprime 12400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-en 6827  df-sup 7085  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-dvds 12070  df-gcd 12246  df-prm 12401

This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  12449