Theorem prmfac1 12154

Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmfac1	|- ( ( N e. NN0 /\ P e. Prime /\ P || ( ! ` N ) ) -> P <_ N )

Proof of Theorem prmfac1

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ! ` x ) = ( ! ` 0 ) )
2	1	breq2d 4017	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` 0 ) ) )
3		breq2 4009	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( P <_ x <-> P <_ 0 ) )
4	2, 3	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 0 -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) ) ) )
6		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ! ` x ) = ( ! ` k ) )
7	6	breq2d 4017	. . . . 5 |- ( x = k -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` k ) ) )
8		breq2 4009	. . . . 5 |- ( x = k -> ( P <_ x <-> P <_ k ) )
9	7, 8	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = k -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) ) )
11		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ! ` x ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
12	11	breq2d 4017	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
13		breq2 4009	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( P <_ x <-> P <_ ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
16		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ! ` x ) = ( ! ` N ) )
17	16	breq2d 4017	. . . . 5 |- ( x = N -> ( P || ( ! ` x ) <-> P || ( ! ` N ) ) )
18		breq2 4009	. . . . 5 |- ( x = N -> ( P <_ x <-> P <_ N ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) <-> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` x ) -> P <_ x ) ) <-> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) ) )
21		fac0 10710	. . . . 5 |- ( ! ` 0 ) = 1
22	21	breq2i 4013	. . . 4 |- ( P || ( ! ` 0 ) <-> P || 1 )
23		nprmdvds1 12142	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> -. P || 1 )
24	23	pm2.21d 619	. . . 4 |- ( P e. Prime -> ( P || 1 -> P <_ 0 ) )
25	22, 24	biimtrid 152	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` 0 ) -> P <_ 0 ) )
26		facp1 10712	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
28	27	breq2d 4017	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) <-> P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
29		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. Prime )
30		faccl 10717	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` k ) e. NN )
32	31	nnzd 9376	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ! ` k ) e. ZZ )
33		nn0p1nn 9217	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. NN )
35	34	nnzd 9376	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
36		euclemma 12148	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( ! ` k ) e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
37	29, 32, 35, 36	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
38	28, 37	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) <-> ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) ) )
39		nn0re 9187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> k e. RR )
41	40	lep1d 8890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> k <_ ( k + 1 ) )
42		prmz 12113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. ZZ )
44	43	zred 9377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> P e. RR )
45	34	nnred 8934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( k + 1 ) e. RR )
46		letr 8042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. RR /\ k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( P <_ k /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
47	44, 40, 45, 46	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P <_ k /\ k <_ ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
48	41, 47	mpan2d 428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P <_ k -> P <_ ( k + 1 ) ) )
49	48	imim2d 54	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
50	49	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` k ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
51		dvdsle 11852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( P || ( k + 1 ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
52	43, 34, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( k + 1 ) -> P <_ ( k + 1 ) ) )
53	52	a1dd 48	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( k + 1 ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
54	50, 53	jaod 717	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) \/ P || ( k + 1 ) ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
55	38, 54	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
56	55	com23 78	. . . . 5 |- ( ( k e. NN0 /\ P e. Prime ) -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) )
57	56	ex 115	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( P e. Prime -> ( ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
58	57	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` k ) -> P <_ k ) ) -> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` ( k + 1 ) ) -> P <_ ( k + 1 ) ) ) ) )
59	5, 10, 15, 20, 25, 58	nn0ind 9369	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( P e. Prime -> ( P || ( ! ` N ) -> P <_ N ) ) )
60	59	3imp 1193	1 |- ( ( N e. NN0 /\ P e. Prime /\ P || ( ! ` N ) ) -> P <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   <_ cle 7995   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   !cfa 10707   || cdvds 11796   Primecprime 12109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110

This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  12158