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Theorem prmfac1 11213
Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmfac1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  Prime  /\  P  ||  ( ! `  N
) )  ->  P  <_  N )

Proof of Theorem prmfac1
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5289 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
0 ) )
21breq2d 3849 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  0 )
) )
3 breq2 3841 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  0 ) )
42, 3imbi12d 232 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 0 )  ->  P  <_  0 ) ) )
54imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  0 )  ->  P  <_  0
) ) ) )
6 fveq2 5289 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  k ) )
76breq2d 3849 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  k )
) )
8 breq2 3841 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  k ) )
97, 8imbi12d 232 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 k )  ->  P  <_  k ) ) )
109imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  k  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
) ) ) )
11 fveq2 5289 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1211breq2d 3849 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
13 breq2 3841 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
1412, 13imbi12d 232 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16 fveq2 5289 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
1716breq2d 3849 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  N )
) )
18 breq2 3841 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  N ) )
1917, 18imbi12d 232 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 N )  ->  P  <_  N ) ) )
2019imbi2d 228 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  N )  ->  P  <_  N
) ) ) )
21 fac0 10101 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2221breq2i 3845 . . . 4  |-  ( P 
||  ( ! ` 
0 )  <->  P  ||  1
)
23 nprmdvds1 11203 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
2423pm2.21d 584 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  1  ->  P  <_  0 ) )
2522, 24syl5bi 150 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  ( ! ` 
0 )  ->  P  <_  0 ) )
26 facp1 10103 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
2726adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
2827breq2d 3849 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  <-> 
P  ||  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
29 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
30 faccl 10108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3130adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
3231nnzd 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  k
)  e.  ZZ )
33 nn0p1nn 8682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
3433adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
3534nnzd 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
36 euclemma 11207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( ! `  k )  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  <->  ( P  ||  ( ! `  k
)  \/  P  ||  ( k  +  1 ) ) ) )
3729, 32, 35, 36syl3anc 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  <-> 
( P  ||  ( ! `  k )  \/  P  ||  ( k  +  1 ) ) ) )
3828, 37bitrd 186 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  <-> 
( P  ||  ( ! `  k )  \/  P  ||  ( k  +  1 ) ) ) )
39 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
4039adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
k  e.  RR )
4140lep1d 8364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
k  <_  ( k  +  1 ) )
42 prmz 11175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
4342adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  ZZ )
4443zred 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR )
4534nnred 8407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR )
46 letr 7547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  (
k  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( P  <_ 
k  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
4744, 40, 45, 46syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  <_ 
k  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
4841, 47mpan2d 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  <_  k  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
4948imim2d 53 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
)  ->  ( P  ||  ( ! `  k
)  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5049com23 77 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  k )  ->  ( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
)  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
51 dvdsle 10927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( k  +  1 )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
5243, 34, 51syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  (
k  +  1 )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) )
5352a1dd 47 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  (
k  +  1 )  ->  ( ( P 
||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5450, 53jaod 672 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  ||  ( ! `  k )  \/  P  ||  (
k  +  1 ) )  ->  ( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5538, 54sylbid 148 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  ( ( P 
||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5655com23 77 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
)  ->  ( P  ||  ( ! `  (
k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5756ex 113 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( P  e.  Prime  ->  ( ( P  ||  ( ! `
 k )  ->  P  <_  k )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) ) ) )
5857a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( P  e.  Prime  ->  ( P  ||  ( ! `
 k )  ->  P  <_  k ) )  ->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) ) ) )
595, 10, 15, 20, 25, 58nn0ind 8830 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  ( ! `  N )  ->  P  <_  N ) ) )
60593imp 1137 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  Prime  /\  P  ||  ( ! `  N
) )  ->  P  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    <_ cle 7502   NNcn 8394   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   !cfa 10098    || cdvds 10878   Primecprime 11171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-2o 6164  df-er 6272  df-en 6438  df-sup 6658  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-fac 10099  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10879  df-gcd 11021  df-prm 11172
This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  11217
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