Theorem facdiv 10920

Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facdiv	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )

Proof of Theorem facdiv

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4063	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( N <_ j <-> N <_ 0 ) )
2		fveq2 5599	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
3	2	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` 0 ) / N ) )
4	3	eleq1d 2276	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) )
5	1, 4	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = 0 -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) ) ) )
7		breq2 4063	. . . . 5 |- ( j = k -> ( N <_ j <-> N <_ k ) )
8		fveq2 5599	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
9	8	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` k ) / N ) )
10	9	eleq1d 2276	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) )
11	7, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = k -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) ) )
13		breq2 4063	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( N <_ j <-> N <_ ( k + 1 ) ) )
14		fveq2 5599	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
15	14	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) )
16	15	eleq1d 2276	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
17	13, 16	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
19		breq2 4063	. . . . 5 |- ( j = M -> ( N <_ j <-> N <_ M ) )
20		fveq2 5599	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ! ` j ) = ( ! ` M ) )
21	20	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` M ) / N ) )
22	21	eleq1d 2276	. . . . 5 |- ( j = M -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) )
23	19, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = M -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = M -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) ) )
25		nngt0 9096	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
26		0z 9418	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
27		nnz 9426	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
28		zltnle 9453	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> -. N <_ 0 ) )
29	26, 27, 28	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 < N <-> -. N <_ 0 ) )
30	25, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN -> -. N <_ 0 )
31	30	pm2.21d 620	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) )
32		peano2nn0 9370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
33	32	nn0zd 9528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. ZZ )
34		zleloe 9454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( N <_ ( k + 1 ) <-> ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) ) )
35	27, 33, 34	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( k + 1 ) <-> ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) ) )
36		nnnn0 9337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
37		nn0leltp1 9471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k <-> N < ( k + 1 ) ) )
38	36, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k <-> N < ( k + 1 ) ) )
39		nn0p1nn 9369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
40		nnmulcl 9092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
41	39, 40	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
42	41	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
44		faccl 10917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
45	44	nncnd 9085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. CC )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
47	32	nn0cnd 9385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. CC )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. CC )
49		nncn 9079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N e. CC )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> N e. CC )
51		nnap0 9100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N # 0 )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> N # 0 )
53	46, 48, 50, 52	div23apd 8936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) )
54	53	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
55	43, 54	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
56	55	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ k -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
58	38, 57	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N < ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
59	46, 50, 52	divcanap4d 8904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) = ( ! ` k ) )
60	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
61	59, 60	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) e. NN )
62		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` k ) x. N ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
63	62	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) )
64	63	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
65	61, 64	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
66	65	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N = ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
67	58, 66	jaod 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
68	35, 67	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
69	68	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( k e. NN0 -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
70	69	com34 83	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( k e. NN0 -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
71	70	com12 30	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
72	71	imp4d 352	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) /\ N <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
73		facp1 10912	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
74	73	oveq1d 5982	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) )
75	74	eleq1d 2276	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
76	72, 75	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) /\ N <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
77	76	exp4d 369	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
78	77	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN -> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) -> ( N e. NN -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
79	6, 12, 18, 24, 31, 78	nn0ind 9522	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN -> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) )
80	79	3imp 1196	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   < clt 8142   <_ cle 8143   # cap 8689   / cdiv 8780   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   !cfa 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630  df-fac 10908

This theorem is referenced by:  facndiv  10921  eirraplem  12203