Theorem facdiv 10847

Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facdiv	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )

Proof of Theorem facdiv

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4038	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( N <_ j <-> N <_ 0 ) )
2		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
3	2	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` 0 ) / N ) )
4	3	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) )
5	1, 4	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = 0 -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) ) ) )
7		breq2 4038	. . . . 5 |- ( j = k -> ( N <_ j <-> N <_ k ) )
8		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
9	8	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` k ) / N ) )
10	9	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) )
11	7, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = k -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) ) )
13		breq2 4038	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( N <_ j <-> N <_ ( k + 1 ) ) )
14		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
15	14	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) )
16	15	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
17	13, 16	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
19		breq2 4038	. . . . 5 |- ( j = M -> ( N <_ j <-> N <_ M ) )
20		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ! ` j ) = ( ! ` M ) )
21	20	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` M ) / N ) )
22	21	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( j = M -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) )
23	19, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = M -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = M -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) ) )
25		nngt0 9032	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
26		0z 9354	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
27		nnz 9362	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
28		zltnle 9389	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> -. N <_ 0 ) )
29	26, 27, 28	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 < N <-> -. N <_ 0 ) )
30	25, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN -> -. N <_ 0 )
31	30	pm2.21d 620	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) )
32		peano2nn0 9306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
33	32	nn0zd 9463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. ZZ )
34		zleloe 9390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( N <_ ( k + 1 ) <-> ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) ) )
35	27, 33, 34	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( k + 1 ) <-> ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) ) )
36		nnnn0 9273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
37		nn0leltp1 9406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k <-> N < ( k + 1 ) ) )
38	36, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k <-> N < ( k + 1 ) ) )
39		nn0p1nn 9305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
40		nnmulcl 9028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
41	39, 40	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
42	41	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
44		faccl 10844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
45	44	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. CC )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
47	32	nn0cnd 9321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. CC )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. CC )
49		nncn 9015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N e. CC )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> N e. CC )
51		nnap0 9036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N # 0 )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> N # 0 )
53	46, 48, 50, 52	div23apd 8872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) )
54	53	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
55	43, 54	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
56	55	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ k -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
58	38, 57	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N < ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
59	46, 50, 52	divcanap4d 8840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) = ( ! ` k ) )
60	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
61	59, 60	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) e. NN )
62		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` k ) x. N ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
63	62	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) )
64	63	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
65	61, 64	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
66	65	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N = ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
67	58, 66	jaod 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
68	35, 67	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
69	68	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( k e. NN0 -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
70	69	com34 83	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( k e. NN0 -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
71	70	com12 30	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
72	71	imp4d 352	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) /\ N <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
73		facp1 10839	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
74	73	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) )
75	74	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
76	72, 75	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) /\ N <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
77	76	exp4d 369	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
78	77	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN -> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) -> ( N e. NN -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
79	6, 12, 18, 24, 31, 78	nn0ind 9457	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN -> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) )
80	79	3imp 1195	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   # cap 8625   / cdiv 8716   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   !cfa 10834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-fac 10835

This theorem is referenced by:  facndiv  10848  eirraplem  11959