Theorem facdiv 10676

Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facdiv	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )

Proof of Theorem facdiv

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3994	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( N <_ j <-> N <_ 0 ) )
2		fveq2 5499	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
3	2	oveq1d 5872	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` 0 ) / N ) )
4	3	eleq1d 2240	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) )
5	1, 4	imbi12d 233	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( j = 0 -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) ) ) )
7		breq2 3994	. . . . 5 |- ( j = k -> ( N <_ j <-> N <_ k ) )
8		fveq2 5499	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
9	8	oveq1d 5872	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` k ) / N ) )
10	9	eleq1d 2240	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) )
11	7, 10	imbi12d 233	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( j = k -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) ) )
13		breq2 3994	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( N <_ j <-> N <_ ( k + 1 ) ) )
14		fveq2 5499	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
15	14	oveq1d 5872	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) )
16	15	eleq1d 2240	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
17	13, 16	imbi12d 233	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
18	17	imbi2d 229	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
19		breq2 3994	. . . . 5 |- ( j = M -> ( N <_ j <-> N <_ M ) )
20		fveq2 5499	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ! ` j ) = ( ! ` M ) )
21	20	oveq1d 5872	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` M ) / N ) )
22	21	eleq1d 2240	. . . . 5 |- ( j = M -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) )
23	19, 22	imbi12d 233	. . . 4 |- ( j = M -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) )
24	23	imbi2d 229	. . 3 |- ( j = M -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) ) )
25		nngt0 8907	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
26		0z 9227	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
27		nnz 9235	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
28		zltnle 9262	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> -. N <_ 0 ) )
29	26, 27, 28	sylancr 412	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 < N <-> -. N <_ 0 ) )
30	25, 29	mpbid 146	. . . 4 |- ( N e. NN -> -. N <_ 0 )
31	30	pm2.21d 615	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) )
32		peano2nn0 9179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
33	32	nn0zd 9336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. ZZ )
34		zleloe 9263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( N <_ ( k + 1 ) <-> ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) ) )
35	27, 33, 34	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( k + 1 ) <-> ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) ) )
36		nnnn0 9146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
37		nn0leltp1 9279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k <-> N < ( k + 1 ) ) )
38	36, 37	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k <-> N < ( k + 1 ) ) )
39		nn0p1nn 9178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
40		nnmulcl 8903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
41	39, 40	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
42	41	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
43	42	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
44		faccl 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
45	44	nncnd 8896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. CC )
46	45	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
47	32	nn0cnd 9194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. CC )
48	47	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. CC )
49		nncn 8890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N e. CC )
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> N e. CC )
51		nnap0 8911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N # 0 )
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> N # 0 )
53	46, 48, 50, 52	div23apd 8749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) )
54	53	eleq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
55	43, 54	sylibrd 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
56	55	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ k -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
58	38, 57	sylbird 169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N < ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
59	46, 50, 52	divcanap4d 8717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) = ( ! ` k ) )
60	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
61	59, 60	eqeltrd 2248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) e. NN )
62		oveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` k ) x. N ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
63	62	oveq1d 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) )
64	63	eleq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
65	61, 64	syl5ibcom 154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
66	65	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N = ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
67	58, 66	jaod 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
68	35, 67	sylbid 149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
69	68	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( k e. NN0 -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
70	69	com34 83	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( k e. NN0 -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
71	70	com12 30	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
72	71	imp4d 350	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) /\ N <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
73		facp1 10668	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
74	73	oveq1d 5872	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) )
75	74	eleq1d 2240	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
76	72, 75	sylibrd 168	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) /\ N <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
77	76	exp4d 367	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
78	77	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN -> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) -> ( N e. NN -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
79	6, 12, 18, 24, 31, 78	nn0ind 9330	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN -> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) )
80	79	3imp 1189	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 704   /\ w3a 974   = wceq 1349   e. wcel 2142   class class class wbr 3990   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   CCcc 7776   0cc0 7778   1c1 7779   + caddc 7781   x. cmul 7783   < clt 7958   <_ cle 7959   # cap 8504   / cdiv 8593   NNcn 8882   NN0cn0 9139   ZZcz 9216   !cfa 10663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-frec 6374  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-seqfrec 10406  df-fac 10664

This theorem is referenced by:  facndiv  10677  eirraplem  11743