Theorem facdiv 10960

Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facdiv	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )

Proof of Theorem facdiv

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4087	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( N <_ j <-> N <_ 0 ) )
2		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
3	2	oveq1d 6016	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` 0 ) / N ) )
4	3	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) )
5	1, 4	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = 0 -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) ) ) )
7		breq2 4087	. . . . 5 |- ( j = k -> ( N <_ j <-> N <_ k ) )
8		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
9	8	oveq1d 6016	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` k ) / N ) )
10	9	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) )
11	7, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = k -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) ) )
13		breq2 4087	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( N <_ j <-> N <_ ( k + 1 ) ) )
14		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
15	14	oveq1d 6016	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) )
16	15	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
17	13, 16	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
19		breq2 4087	. . . . 5 |- ( j = M -> ( N <_ j <-> N <_ M ) )
20		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ! ` j ) = ( ! ` M ) )
21	20	oveq1d 6016	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` M ) / N ) )
22	21	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( j = M -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) )
23	19, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = M -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = M -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) ) )
25		nngt0 9135	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
26		0z 9457	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
27		nnz 9465	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
28		zltnle 9492	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> -. N <_ 0 ) )
29	26, 27, 28	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 < N <-> -. N <_ 0 ) )
30	25, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN -> -. N <_ 0 )
31	30	pm2.21d 622	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) )
32		peano2nn0 9409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
33	32	nn0zd 9567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. ZZ )
34		zleloe 9493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( N <_ ( k + 1 ) <-> ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) ) )
35	27, 33, 34	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( k + 1 ) <-> ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) ) )
36		nnnn0 9376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
37		nn0leltp1 9510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k <-> N < ( k + 1 ) ) )
38	36, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k <-> N < ( k + 1 ) ) )
39		nn0p1nn 9408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
40		nnmulcl 9131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
41	39, 40	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
42	41	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
44		faccl 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
45	44	nncnd 9124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. CC )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
47	32	nn0cnd 9424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. CC )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. CC )
49		nncn 9118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N e. CC )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> N e. CC )
51		nnap0 9139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N # 0 )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> N # 0 )
53	46, 48, 50, 52	div23apd 8975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) )
54	53	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
55	43, 54	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
56	55	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ k -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
58	38, 57	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N < ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
59	46, 50, 52	divcanap4d 8943	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) = ( ! ` k ) )
60	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
61	59, 60	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) e. NN )
62		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` k ) x. N ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
63	62	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) )
64	63	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
65	61, 64	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
66	65	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N = ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
67	58, 66	jaod 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
68	35, 67	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
69	68	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( k e. NN0 -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
70	69	com34 83	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( k e. NN0 -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
71	70	com12 30	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
72	71	imp4d 352	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) /\ N <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
73		facp1 10952	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
74	73	oveq1d 6016	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) )
75	74	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
76	72, 75	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) /\ N <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
77	76	exp4d 369	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
78	77	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN -> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) -> ( N e. NN -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
79	6, 12, 18, 24, 31, 78	nn0ind 9561	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN -> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) )
80	79	3imp 1217	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   <_ cle 8182   # cap 8728   / cdiv 8819   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   !cfa 10947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670  df-fac 10948

This theorem is referenced by:  facndiv  10961  eirraplem  12288