Theorem facdiv 10720

Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facdiv	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )

Proof of Theorem facdiv

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4009	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( N <_ j <-> N <_ 0 ) )
2		fveq2 5517	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
3	2	oveq1d 5892	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` 0 ) / N ) )
4	3	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) )
5	1, 4	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = 0 -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) ) ) )
7		breq2 4009	. . . . 5 |- ( j = k -> ( N <_ j <-> N <_ k ) )
8		fveq2 5517	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
9	8	oveq1d 5892	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` k ) / N ) )
10	9	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) )
11	7, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = k -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) ) )
13		breq2 4009	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( N <_ j <-> N <_ ( k + 1 ) ) )
14		fveq2 5517	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
15	14	oveq1d 5892	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) )
16	15	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
17	13, 16	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
19		breq2 4009	. . . . 5 |- ( j = M -> ( N <_ j <-> N <_ M ) )
20		fveq2 5517	. . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ! ` j ) = ( ! ` M ) )
21	20	oveq1d 5892	. . . . . 6 |- ( j = M -> ( ( ! ` j ) / N ) = ( ( ! ` M ) / N ) )
22	21	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( j = M -> ( ( ( ! ` j ) / N ) e. NN <-> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) )
23	19, 22	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = M -> ( ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) <-> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . 3 |- ( j = M -> ( ( N e. NN -> ( N <_ j -> ( ( ! ` j ) / N ) e. NN ) ) <-> ( N e. NN -> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) ) )
25		nngt0 8946	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
26		0z 9266	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
27		nnz 9274	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
28		zltnle 9301	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> -. N <_ 0 ) )
29	26, 27, 28	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0 < N <-> -. N <_ 0 ) )
30	25, 29	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. NN -> -. N <_ 0 )
31	30	pm2.21d 619	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N <_ 0 -> ( ( ! ` 0 ) / N ) e. NN ) )
32		peano2nn0 9218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
33	32	nn0zd 9375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. ZZ )
34		zleloe 9302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( N <_ ( k + 1 ) <-> ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) ) )
35	27, 33, 34	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( k + 1 ) <-> ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) ) )
36		nnnn0 9185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
37		nn0leltp1 9318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k <-> N < ( k + 1 ) ) )
38	36, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k <-> N < ( k + 1 ) ) )
39		nn0p1nn 9217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
40		nnmulcl 8942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
41	39, 40	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN )
42	41	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
44		faccl 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
45	44	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. CC )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. CC )
47	32	nn0cnd 9233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. CC )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. CC )
49		nncn 8929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N e. CC )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> N e. CC )
51		nnap0 8950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N # 0 )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> N # 0 )
53	46, 48, 50, 52	div23apd 8787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) )
54	53	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) / N ) x. ( k + 1 ) ) e. NN ) )
55	43, 54	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) / N ) e. NN -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
56	55	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ k -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ k -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
58	38, 57	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N < ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
59	46, 50, 52	divcanap4d 8755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) = ( ! ` k ) )
60	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
61	59, 60	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) e. NN )
62		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` k ) x. N ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
63	62	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) )
64	63	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( ! ` k ) x. N ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
65	61, 64	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N = ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
66	65	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N = ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
67	58, 66	jaod 717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( N < ( k + 1 ) \/ N = ( k + 1 ) ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
68	35, 67	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) )
69	68	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( k e. NN0 -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
70	69	com34 83	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( k e. NN0 -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
71	70	com12 30	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
72	71	imp4d 352	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) /\ N <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
73		facp1 10712	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
74	73	oveq1d 5892	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) = ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) )
75	74	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN <-> ( ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
76	72, 75	sylibrd 169	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) /\ N <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) )
77	76	exp4d 369	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( N e. NN -> ( ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
78	77	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN0 -> ( ( N e. NN -> ( N <_ k -> ( ( ! ` k ) / N ) e. NN ) ) -> ( N e. NN -> ( N <_ ( k + 1 ) -> ( ( ! ` ( k + 1 ) ) / N ) e. NN ) ) ) )
79	6, 12, 18, 24, 31, 78	nn0ind 9369	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( N e. NN -> ( N <_ M -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN ) ) )
80	79	3imp 1193	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M ) -> ( ( ! ` M ) / N ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   < clt 7994   <_ cle 7995   # cap 8540   / cdiv 8631   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   !cfa 10707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-fac 10708

This theorem is referenced by:  facndiv  10721  eirraplem  11786