ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0split Unicode version

Theorem nn0split 10109
Description: Express the set of nonnegative integers as the disjoint (see nn0disj 10111) union of the first  N  +  1 values and the rest. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0split  |-  ( N  e.  NN0  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )

Proof of Theorem nn0split
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9538 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21a1i 9 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
)
3 peano2nn0 9192 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
43, 1eleqtrdi 2270 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
5 uzsplit 10065 . . 3  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
7 nn0cn 9162 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
8 pncan1 8311 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
97, 8syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
109oveq2d 5884 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
1110uneq1d 3288 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 0 ... N
)  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
122, 6, 113eqtrd 2214 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148    u. cun 3127   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   CCcc 7787   0cc0 7789   1c1 7790    + caddc 7792    - cmin 8105   NN0cn0 9152   ZZ>=cuz 9504   ...cfz 9982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator