Theorem nn0split 10211

Description: Express the set of nonnegative integers as the disjoint (see nn0disj 10213) union of the first N + 1 values and the rest. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0split	|- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem nn0split

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9636	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) )
3		peano2nn0 9289	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
4	3, 1	eleqtrdi 2289	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		uzsplit 10167	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
7		nn0cn 9259	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
8		pncan1 8403	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10	9	oveq2d 5938	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
11	10	uneq1d 3316	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
12	2, 6, 11	3eqtrd 2233	1 |- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   - cmin 8197   NN0cn0 9249   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  plycoeid3  14993