Theorem nn0split 10166

Description: Express the set of nonnegative integers as the disjoint (see nn0disj 10168) union of the first N + 1 values and the rest. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0split	|- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem nn0split

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9592	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) )
3		peano2nn0 9246	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
4	3, 1	eleqtrdi 2282	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		uzsplit 10122	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
7		nn0cn 9216	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
8		pncan1 8364	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10	9	oveq2d 5912	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
11	10	uneq1d 3303	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
12	2, 6, 11	3eqtrd 2226	1 |- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   u. cun 3142   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   0cc0 7841   1c1 7842   + caddc 7844   - cmin 8158   NN0cn0 9206   ZZ>=cuz 9558   ...cfz 10038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-fz 10039

This theorem is referenced by: (None)