ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0split Unicode version

Theorem nn0split 9853
Description: Express the set of nonnegative integers as the disjoint (see nn0disj 9855) union of the first  N  +  1 values and the rest. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0split  |-  ( N  e.  NN0  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )

Proof of Theorem nn0split
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9309 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21a1i 9 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
)
3 peano2nn0 8968 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
43, 1syl6eleq 2208 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
5 uzsplit 9812 . . 3  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
64, 5syl 14 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
7 nn0cn 8938 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
8 pncan1 8103 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
97, 8syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
109oveq2d 5756 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
1110uneq1d 3197 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( 0 ... N
)  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ) )
122, 6, 113eqtrd 2152 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463    u. cun 3037   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    - cmin 7897   NN0cn0 8928   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator