Theorem nn0split 9512

Description: Express the set of nonnegative integers as the disjoint (see nn0disj 9514) union of the first N + 1 values and the rest. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0split	|- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem nn0split

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9022	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) )
3		peano2nn0 8683	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
4	3, 1	syl6eleq 2180	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		uzsplit 9473	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
7		nn0cn 8653	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
8		pncan1 7834	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10	9	oveq2d 5650	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
11	10	uneq1d 3151	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
12	2, 6, 11	3eqtrd 2124	1 |- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1289   e. wcel 1438   u. cun 2995   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330   + caddc 7332   - cmin 7632   NN0cn0 8643   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394

This theorem is referenced by: (None)