Theorem nn0split 10470

Description: Express the set of nonnegative integers as the disjoint (see nn0disj 10472) union of the first N + 1 values and the rest. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0split	|- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem nn0split

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9889	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ZZ>= ` 0 ) )
3		peano2nn0 9536	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
4	3, 1	eleqtrdi 2325	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		uzsplit 10426	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
7		nn0cn 9506	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
8		pncan1 8650	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10	9	oveq2d 6066	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
11	10	uneq1d 3372	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
12	2, 6, 11	3eqtrd 2269	1 |- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   u. cun 3209   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   - cmin 8444   NN0cn0 9496   ZZ>=cuz 9853   ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  plycoeid3  15622