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Theorem uzsplit 9759
Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 9760) union of the first  N values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzsplit  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  M )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  N ) ) )

Proof of Theorem uzsplit
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9231 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
2 eluzelz 9231 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
3 zlelttric 8997 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  \/  k  <  N ) )
41, 2, 3syl2an 285 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  <_  k  \/  k  < 
N ) )
5 eluz 9235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  N )  <->  N  <_  k ) )
61, 2, 5syl2an 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  <->  N  <_  k ) )
7 eluzel2 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
8 elfzm11 9758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <  N ) ) )
9 df-3an 945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <  N )  <->  ( (
k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  /\  k  <  N ) )
108, 9syl6bb 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <-> 
( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k )  /\  k  <  N ) ) )
117, 1, 10syl2anr 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  /\  k  <  N ) ) )
12 eluzle 9234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  k )
132, 12jca 302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
1413adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
1514biantrurd 301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  <  N  <->  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  /\  k  <  N ) ) )
1611, 15bitr4d 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  k  <  N
) )
176, 16orbi12d 765 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  N )  \/  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  <->  ( N  <_  k  \/  k  < 
N ) ) )
184, 17mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  \/  k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
1918orcomd 701 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
2019ex 114 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  k  e.  (
ZZ>= `  N ) ) ) )
21 elfzuz 9689 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2221a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
23 uztrn 9238 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2423expcom 115 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
2522, 24jaod 689 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
2620, 25impbid 128 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  N ) ) ) )
27 elun 3181 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  N )
)  <->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  k  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
2826, 27syl6bbr 197 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  u.  ( ZZ>= `  N )
) ) )
2928eqrdv 2111 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  M )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  ( ZZ>= `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    /\ w3a 943    = wceq 1312    e. wcel 1461    u. cun 3033   class class class wbr 3893   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   1c1 7542    < clt 7718    <_ cle 7719    - cmin 7850   ZZcz 8952   ZZ>=cuz 9222   ...cfz 9677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-fz 9678
This theorem is referenced by:  nn0split  9800  nnsplit  9801
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