Theorem uzsplit 10158

Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 10159) union of the first N values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzsplit	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) )

Proof of Theorem uzsplit

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9601	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		eluzelz 9601	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
3		zlelttric 9362	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k \/ k < N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N <_ k \/ k < N ) )
5		eluz 9605	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> N <_ k ) )
6	1, 2, 5	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> N <_ k ) )
7		eluzel2 9597	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8		elfzm11 10157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k < N ) ) )
9		df-3an 982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k < N ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) )
10	8, 9	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
11	7, 1, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
12		eluzle 9604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
13	2, 12	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
15	14	biantrurd 305	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k < N <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
16	11, 15	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> k < N ) )
17	6, 16	orbi12d 794	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) \/ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) <-> ( N <_ k \/ k < N ) ) )
18	4, 17	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) \/ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
19	18	orcomd 730	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
21		elfzuz 10087	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
23		uztrn 9609	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
24	23	expcom 116	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25	22, 24	jaod 718	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
26	20, 25	impbid 129	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
27		elun 3300	. . 3 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
28	26, 27	bitr4di 198	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
29	28	eqrdv 2191	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1c1 7873   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  nn0split  10202  nnsplit  10203  plyaddlem1  14893  plymullem1  14894