Theorem uzsplit 10499

Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 10500) union of the first N values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzsplit	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) )

Proof of Theorem uzsplit

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9931	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		eluzelz 9931	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
3		zlelttric 9689	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k \/ k < N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N <_ k \/ k < N ) )
5		eluz 9935	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> N <_ k ) )
6	1, 2, 5	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> N <_ k ) )
7		eluzel2 9926	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8		elfzm11 10498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k < N ) ) )
9		df-3an 1011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k < N ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) )
10	8, 9	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
11	7, 1, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
12		eluzle 9934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
13	2, 12	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
15	14	biantrurd 305	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k < N <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
16	11, 15	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> k < N ) )
17	6, 16	orbi12d 805	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) \/ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) <-> ( N <_ k \/ k < N ) ) )
18	4, 17	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) \/ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
19	18	orcomd 741	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
21		elfzuz 10424	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
23		uztrn 9939	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
24	23	expcom 116	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25	22, 24	jaod 729	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
26	20, 25	impbid 129	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
27		elun 3370	. . 3 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
28	26, 27	bitr4di 198	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
29	28	eqrdv 2236	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8180   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  nn0split  10543  nnsplit  10544  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849