Theorem uzsplit 10048

Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 10049) union of the first N values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzsplit	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) )

Proof of Theorem uzsplit

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9496	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		eluzelz 9496	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
3		zlelttric 9257	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k \/ k < N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N <_ k \/ k < N ) )
5		eluz 9500	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> N <_ k ) )
6	1, 2, 5	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> N <_ k ) )
7		eluzel2 9492	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8		elfzm11 10047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k < N ) ) )
9		df-3an 975	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k < N ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) )
10	8, 9	bitrdi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
11	7, 1, 10	syl2anr 288	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
12		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
13	2, 12	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
14	13	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
15	14	biantrurd 303	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k < N <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
16	11, 15	bitr4d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> k < N ) )
17	6, 16	orbi12d 788	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) \/ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) <-> ( N <_ k \/ k < N ) ) )
18	4, 17	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) \/ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
19	18	orcomd 724	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
20	19	ex 114	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
21		elfzuz 9977	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
23		uztrn 9503	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
24	23	expcom 115	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25	22, 24	jaod 712	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
26	20, 25	impbid 128	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
27		elun 3268	. . 3 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
28	26, 27	bitr4di 197	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
29	28	eqrdv 2168	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   u. cun 3119   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1c1 7775   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  nn0split  10092  nnsplit  10093