Theorem uzsplit 10214

Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 10215) union of the first N values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzsplit	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) )

Proof of Theorem uzsplit

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9657	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		eluzelz 9657	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
3		zlelttric 9417	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k \/ k < N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N <_ k \/ k < N ) )
5		eluz 9661	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> N <_ k ) )
6	1, 2, 5	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> N <_ k ) )
7		eluzel2 9653	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8		elfzm11 10213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k < N ) ) )
9		df-3an 983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k < N ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) )
10	8, 9	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
11	7, 1, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
12		eluzle 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
13	2, 12	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
15	14	biantrurd 305	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k < N <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
16	11, 15	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> k < N ) )
17	6, 16	orbi12d 795	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) \/ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) <-> ( N <_ k \/ k < N ) ) )
18	4, 17	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) \/ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
19	18	orcomd 731	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
21		elfzuz 10143	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
23		uztrn 9665	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
24	23	expcom 116	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25	22, 24	jaod 719	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
26	20, 25	impbid 129	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
27		elun 3314	. . 3 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
28	26, 27	bitr4di 198	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
29	28	eqrdv 2203	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   u. cun 3164   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   1c1 7926   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by:  nn0split  10258  nnsplit  10259  plyaddlem1  15219  plymullem1  15220