Theorem uzsplit 10170

Description: Express an upper integer set as the disjoint (see uzdisj 10171) union of the first N values and the rest. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
uzsplit	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) )

Proof of Theorem uzsplit

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9613	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		eluzelz 9613	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
3		zlelttric 9374	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( N <_ k \/ k < N ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( N <_ k \/ k < N ) )
5		eluz 9617	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> N <_ k ) )
6	1, 2, 5	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) <-> N <_ k ) )
7		eluzel2 9609	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
8		elfzm11 10169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k < N ) ) )
9		df-3an 982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k < N ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) )
10	8, 9	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
11	7, 1, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
12		eluzle 9616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ k )
13	2, 12	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
15	14	biantrurd 305	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k < N <-> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k ) /\ k < N ) ) )
16	11, 15	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> k < N ) )
17	6, 16	orbi12d 794	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) \/ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) <-> ( N <_ k \/ k < N ) ) )
18	4, 17	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) \/ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
19	18	orcomd 730	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
20	19	ex 115	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
21		elfzuz 10099	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
23		uztrn 9621	. . . . . 6 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` N ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
24	23	expcom 116	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25	22, 24	jaod 718	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
26	20, 25	impbid 129	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
27		elun 3305	. . 3 |- ( k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) <-> ( k e. ( M ... ( N - 1 ) ) \/ k e. ( ZZ>= ` N ) ) )
28	26, 27	bitr4di 198	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> k e. ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) ) )
29	28	eqrdv 2194	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ( M ... ( N - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   1c1 7883   < clt 8064   <_ cle 8065   - cmin 8200   ZZcz 9329   ZZ>=cuz 9604   ...cfz 10086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-addcom 7982  ax-addass 7984  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-ltadd 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-inn 8994  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-fz 10087

This theorem is referenced by:  nn0split  10214  nnsplit  10215  plyaddlem1  15009  plymullem1  15010