Theorem nnsplit 10229

Description: Express the set of positive integers as the disjoint union of the first N values and the rest. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsplit	|- ( N e. NN -> NN = ( ( 1 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem nnsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9654	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN -> NN = ( ZZ>= ` 1 ) )
3		peano2nn 9019	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
4	3, 1	eleqtrdi 2289	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		uzsplit 10184	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
7		nncn 9015	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
8		1cnd 8059	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
9	7, 8	pncand 8355	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
10	9	oveq2d 5941	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
11	10	uneq1d 3317	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( 1 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 1 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
12	2, 6, 11	3eqtrd 2233	1 |- ( N e. NN -> NN = ( ( 1 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   1c1 7897   + caddc 7899   - cmin 8214   NNcn 9007   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  summodclem3  11562