Theorem nnaord 6595

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaord	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))

Proof of Theorem nnaord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordi 6594	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
2	1	3adant1 1018	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))
3		oveq2 5952	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵))
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵)))
5		nnaordi 6594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
6	5	3adant2 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)))
7	4, 6	orim12d 788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴))))
8	7	con3d 632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (¬ ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴)) → ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
9		df-3an 983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐶 ∈ ω))
10		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
11		anandi 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) ↔ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
12	9, 10, 11	3bitri 206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)))
13		nnacl 6566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐴) ∈ ω)
14		nnacl 6566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω)
15	13, 14	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω))
16	12, 15	sylbi 121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω))
17		nntri2 6580	. . . 4 ⊢ (((𝐶 +o 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 +o 𝐵) ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴))))
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 +o 𝐴) = (𝐶 +o 𝐵) ∨ (𝐶 +o 𝐵) ∈ (𝐶 +o 𝐴))))
19		nntri2 6580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
20	19	3adant3 1020	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
21	8, 18, 20	3imtr4d 203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
22	2, 21	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐶 +o 𝐴) ∈ (𝐶 +o 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ωcom 4638  (class class class)co 5944   +_o coa 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-oadd 6506

This theorem is referenced by:  nnaordr  6596  nnaordex  6614  ltapig  7451  1lt2pi  7453