Theorem hashp1i 11032

Description: Size of a natural number ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashp1i.1	|- A e. om
hashp1i.2	|- B = suc A
hashp1i.3	|- (♯ ` A ) = M
hashp1i.4	|- ( M + 1 ) = N

Assertion

Ref	Expression
hashp1i	|- (♯ ` B ) = N

Proof of Theorem hashp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashp1i.2	. . . 4 |- B = suc A
2		df-suc 4462	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
3	1, 2	eqtri 2250	. . 3 |- B = ( A u. { A } )
4	3	fveq2i 5630	. 2 |- (♯ ` B ) = (♯ ` ( A u. { A } ) )
5		hashp1i.1	. . . . 5 |- A e. om
6		nnfi 7034	. . . . 5 |- ( A e. om -> A e. Fin )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- A e. Fin
8		nnord 4704	. . . . 5 |- ( A e. om -> Ord A )
9		ordirr 4634	. . . . 5 |- ( Ord A -> -. A e. A )
10	5, 8, 9	mp2b 8	. . . 4 |- -. A e. A
11		hashunsng 11029	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A e. Fin /\ -. A e. A ) -> (♯ ` ( A u. { A } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) ) )
12	5, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ -. A e. A ) -> (♯ ` ( A u. { A } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
13	7, 10, 12	mp2an 426	. . 3 |- (♯ ` ( A u. { A } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 )
14		hashp1i.3	. . . . 5 |- (♯ ` A ) = M
15	14	oveq1i 6011	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) + 1 ) = ( M + 1 )
16		hashp1i.4	. . . 4 |- ( M + 1 ) = N
17	15, 16	eqtri 2250	. . 3 |- ( (♯ ` A ) + 1 ) = N
18	13, 17	eqtri 2250	. 2 |- (♯ ` ( A u. { A } ) ) = N
19	4, 18	eqtri 2250	1 |- (♯ ` B ) = N

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   {csn 3666   Ord word 4453   suc csuc 4456   omcom 4682   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   1c1 8000   + caddc 8002  ♯chash 10997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-ihash 10998

This theorem is referenced by:  hash1  11033  hash2  11034  hash3  11035  hash4  11036