ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashp1i Unicode version

Theorem hashp1i 10761
Description: Size of a natural number ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashp1i.1  |-  A  e. 
om
hashp1i.2  |-  B  =  suc  A
hashp1i.3  |-  ( `  A
)  =  M
hashp1i.4  |-  ( M  +  1 )  =  N
Assertion
Ref Expression
hashp1i  |-  ( `  B
)  =  N

Proof of Theorem hashp1i
StepHypRef Expression
1 hashp1i.2 . . . 4  |-  B  =  suc  A
2 df-suc 4367 . . . 4  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
31, 2eqtri 2198 . . 3  |-  B  =  ( A  u.  { A } )
43fveq2i 5513 . 2  |-  ( `  B
)  =  ( `  ( A  u.  { A } ) )
5 hashp1i.1 . . . . 5  |-  A  e. 
om
6 nnfi 6865 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  A  e. 
Fin
8 nnord 4607 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
9 ordirr 4537 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
105, 8, 9mp2b 8 . . . 4  |-  -.  A  e.  A
11 hashunsng 10758 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  e.  Fin  /\ 
-.  A  e.  A
)  ->  ( `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) ) )
125, 11ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) )
137, 10, 12mp2an 426 . . 3  |-  ( `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 )
14 hashp1i.3 . . . . 5  |-  ( `  A
)  =  M
1514oveq1i 5878 . . . 4  |-  ( ( `  A )  +  1 )  =  ( M  +  1 )
16 hashp1i.4 . . . 4  |-  ( M  +  1 )  =  N
1715, 16eqtri 2198 . . 3  |-  ( ( `  A )  +  1 )  =  N
1813, 17eqtri 2198 . 2  |-  ( `  ( A  u.  { A } ) )  =  N
194, 18eqtri 2198 1  |-  ( `  B
)  =  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148    u. cun 3127   {csn 3591   Ord word 4358   suc csuc 4361   omcom 4585   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   Fincfn 6733   1c1 7790    + caddc 7792  ♯chash 10726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-er 6528  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-ihash 10727
This theorem is referenced by:  hash1  10762  hash2  10763  hash3  10764  hash4  10765
  Copyright terms: Public domain W3C validator