Theorem hashp1i 10902

Description: Size of a natural number ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashp1i.1	|- A e. om
hashp1i.2	|- B = suc A
hashp1i.3	|- (♯ ` A ) = M
hashp1i.4	|- ( M + 1 ) = N

Assertion

Ref	Expression
hashp1i	|- (♯ ` B ) = N

Proof of Theorem hashp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashp1i.2	. . . 4 |- B = suc A
2		df-suc 4406	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
3	1, 2	eqtri 2217	. . 3 |- B = ( A u. { A } )
4	3	fveq2i 5561	. 2 |- (♯ ` B ) = (♯ ` ( A u. { A } ) )
5		hashp1i.1	. . . . 5 |- A e. om
6		nnfi 6933	. . . . 5 |- ( A e. om -> A e. Fin )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- A e. Fin
8		nnord 4648	. . . . 5 |- ( A e. om -> Ord A )
9		ordirr 4578	. . . . 5 |- ( Ord A -> -. A e. A )
10	5, 8, 9	mp2b 8	. . . 4 |- -. A e. A
11		hashunsng 10899	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A e. Fin /\ -. A e. A ) -> (♯ ` ( A u. { A } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) ) )
12	5, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ -. A e. A ) -> (♯ ` ( A u. { A } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
13	7, 10, 12	mp2an 426	. . 3 |- (♯ ` ( A u. { A } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 )
14		hashp1i.3	. . . . 5 |- (♯ ` A ) = M
15	14	oveq1i 5932	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) + 1 ) = ( M + 1 )
16		hashp1i.4	. . . 4 |- ( M + 1 ) = N
17	15, 16	eqtri 2217	. . 3 |- ( (♯ ` A ) + 1 ) = N
18	13, 17	eqtri 2217	. 2 |- (♯ ` ( A u. { A } ) ) = N
19	4, 18	eqtri 2217	1 |- (♯ ` B ) = N

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   {csn 3622   Ord word 4397   suc csuc 4400   omcom 4626   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   1c1 7880   + caddc 7882  ♯chash 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-ihash 10868

This theorem is referenced by:  hash1  10903  hash2  10904  hash3  10905  hash4  10906