ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashp1i Unicode version

Theorem hashp1i 10115
Description: Size of a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashp1i.1  |-  A  e. 
om
hashp1i.2  |-  B  =  suc  A
hashp1i.3  |-  ( `  A
)  =  M
hashp1i.4  |-  ( M  +  1 )  =  N
Assertion
Ref Expression
hashp1i  |-  ( `  B
)  =  N

Proof of Theorem hashp1i
StepHypRef Expression
1 hashp1i.2 . . . 4  |-  B  =  suc  A
2 df-suc 4172 . . . 4  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
31, 2eqtri 2105 . . 3  |-  B  =  ( A  u.  { A } )
43fveq2i 5271 . 2  |-  ( `  B
)  =  ( `  ( A  u.  { A } ) )
5 hashp1i.1 . . . . 5  |-  A  e. 
om
6 nnfi 6540 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
75, 6ax-mp 7 . . . 4  |-  A  e. 
Fin
8 nnord 4399 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
9 ordirr 4331 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
105, 8, 9mp2b 8 . . . 4  |-  -.  A  e.  A
11 hashunsng 10112 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  e.  Fin  /\ 
-.  A  e.  A
)  ->  ( `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) ) )
125, 11ax-mp 7 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 ) )
137, 10, 12mp2an 417 . . 3  |-  ( `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( `  A
)  +  1 )
14 hashp1i.3 . . . . 5  |-  ( `  A
)  =  M
1514oveq1i 5623 . . . 4  |-  ( ( `  A )  +  1 )  =  ( M  +  1 )
16 hashp1i.4 . . . 4  |-  ( M  +  1 )  =  N
1715, 16eqtri 2105 . . 3  |-  ( ( `  A )  +  1 )  =  N
1813, 17eqtri 2105 . 2  |-  ( `  ( A  u.  { A } ) )  =  N
194, 18eqtri 2105 1  |-  ( `  B
)  =  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436    u. cun 2986   {csn 3431   Ord word 4163   suc csuc 4166   omcom 4378   ` cfv 4981  (class class class)co 5613   Fincfn 6409   1c1 7295    + caddc 7297  ♯chash 10080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-addcom 7389  ax-addass 7391  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-irdg 6089  df-frec 6110  df-1o 6135  df-oadd 6139  df-er 6244  df-en 6410  df-dom 6411  df-fin 6412  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-fz 9357  df-ihash 10081
This theorem is referenced by:  hash1  10116  hash2  10117  hash3  10118  hash4  10119
  Copyright terms: Public domain W3C validator