Theorem hashp1i 10712

Description: Size of a natural number ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashp1i.1	|- A e. om
hashp1i.2	|- B = suc A
hashp1i.3	|- (♯ ` A ) = M
hashp1i.4	|- ( M + 1 ) = N

Assertion

Ref	Expression
hashp1i	|- (♯ ` B ) = N

Proof of Theorem hashp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashp1i.2	. . . 4 |- B = suc A
2		df-suc 4343	. . . 4 |- suc A = ( A u. { A } )
3	1, 2	eqtri 2185	. . 3 |- B = ( A u. { A } )
4	3	fveq2i 5483	. 2 |- (♯ ` B ) = (♯ ` ( A u. { A } ) )
5		hashp1i.1	. . . . 5 |- A e. om
6		nnfi 6829	. . . . 5 |- ( A e. om -> A e. Fin )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 |- A e. Fin
8		nnord 4583	. . . . 5 |- ( A e. om -> Ord A )
9		ordirr 4513	. . . . 5 |- ( Ord A -> -. A e. A )
10	5, 8, 9	mp2b 8	. . . 4 |- -. A e. A
11		hashunsng 10709	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A e. Fin /\ -. A e. A ) -> (♯ ` ( A u. { A } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) ) )
12	5, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ -. A e. A ) -> (♯ ` ( A u. { A } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 ) )
13	7, 10, 12	mp2an 423	. . 3 |- (♯ ` ( A u. { A } ) ) = ( (♯ ` A ) + 1 )
14		hashp1i.3	. . . . 5 |- (♯ ` A ) = M
15	14	oveq1i 5846	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) + 1 ) = ( M + 1 )
16		hashp1i.4	. . . 4 |- ( M + 1 ) = N
17	15, 16	eqtri 2185	. . 3 |- ( (♯ ` A ) + 1 ) = N
18	13, 17	eqtri 2185	. 2 |- (♯ ` ( A u. { A } ) ) = N
19	4, 18	eqtri 2185	1 |- (♯ ` B ) = N

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   u. cun 3109   {csn 3570   Ord word 4334   suc csuc 4337   omcom 4561   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   Fincfn 6697   1c1 7745   + caddc 7747  ♯chash 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-frec 6350  df-1o 6375  df-oadd 6379  df-er 6492  df-en 6698  df-dom 6699  df-fin 6700  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-fz 9936  df-ihash 10678

This theorem is referenced by:  hash1  10713  hash2  10714  hash3  10715  hash4  10716