ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnfi GIF version

Theorem nnfi 6871
Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnfi (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enrefg 6763 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴𝐴)
2 breq2 4007 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
32rspcev 2841 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
41, 3mpdan 421 . 2 (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
5 isfi 6760 . 2 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
64, 5sylibr 134 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2148  wrex 2456   class class class wbr 4003  ωcom 4589  cen 6737  Fincfn 6739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-en 6740  df-fin 6742
This theorem is referenced by:  dif1en  6878  0fin  6883  findcard2  6888  findcard2s  6889  diffisn  6892  pw1fin  6909  en1eqsn  6946  nninfwlpoimlemg  7172  nninfwlpoimlemginf  7173  exmidonfinlem  7191  fzfig  10429  hashennnuni  10758  hashennn  10759  hashun  10784  hashp1i  10789  unct  12442  xpsfrnel  12762  pwf1oexmid  14719
  Copyright terms: Public domain W3C validator