ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnfi GIF version

Theorem nnfi 6540
Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnfi (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enrefg 6433 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴𝐴)
2 breq2 3824 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
32rspcev 2715 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
41, 3mpdan 412 . 2 (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
5 isfi 6430 . 2 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
64, 5sylibr 132 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1436  wrex 2356   class class class wbr 3820  ωcom 4378  cen 6407  Fincfn 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-en 6410  df-fin 6412
This theorem is referenced by:  dif1en  6547  0fin  6552  findcard2  6557  findcard2s  6558  diffisn  6561  en1eqsn  6606  fzfig  9765  hashennnuni  10084  hashennn  10085  hashun  10110  hashp1i  10115
  Copyright terms: Public domain W3C validator