Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashun Unicode version

Theorem hashun 10444
 Description: The size of the union of disjoint finite sets is the sum of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashun

Proof of Theorem hashun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6609 . . . 4
21biimpi 119 . . 3
4 isfi 6609 . . . . . 6
54biimpi 119 . . . . 5
653ad2ant2 986 . . . 4
8 simplrl 507 . . . . . 6
9 simprl 503 . . . . . 6
10 eqid 2115 . . . . . . 7 frec frec
1110omgadd 10441 . . . . . 6 frec frec frec
128, 9, 11syl2anc 406 . . . . 5 frec frec frec
13 nnacl 6330 . . . . . . 7
148, 9, 13syl2anc 406 . . . . . 6
15 enrefg 6612 . . . . . . 7
1614, 15syl 14 . . . . . 6
17 hashennn 10419 . . . . . 6 frec
1814, 16, 17syl2anc 406 . . . . 5 frec
19 vex 2660 . . . . . . . 8
2019enref 6613 . . . . . . 7
21 hashennn 10419 . . . . . . 7 frec
228, 20, 21sylancl 407 . . . . . 6 frec
23 vex 2660 . . . . . . . 8
2423enref 6613 . . . . . . 7
25 hashennn 10419 . . . . . . 7 frec
269, 24, 25sylancl 407 . . . . . 6 frec
2722, 26oveq12d 5746 . . . . 5 frec frec
2812, 18, 273eqtr4d 2157 . . . 4
29 simpll1 1003 . . . . . 6
30 simpll2 1004 . . . . . 6
31 simpll3 1005 . . . . . 6
32 simplrr 508 . . . . . 6
33 simprr 504 . . . . . 6
3429, 30, 31, 8, 9, 32, 33hashunlem 10443 . . . . 5
35 unfidisj 6763 . . . . . . 7
3635ad2antrr 477 . . . . . 6
37 nnfi 6719 . . . . . . . 8
3813, 37syl 14 . . . . . . 7
398, 9, 38syl2anc 406 . . . . . 6
40 hashen 10423 . . . . . 6
4136, 39, 40syl2anc 406 . . . . 5
4234, 41mpbird 166 . . . 4
43 nnfi 6719 . . . . . . . 8
448, 43syl 14 . . . . . . 7
45 hashen 10423 . . . . . . 7
4629, 44, 45syl2anc 406 . . . . . 6
4732, 46mpbird 166 . . . . 5
48 nnfi 6719 . . . . . . . 8
499, 48syl 14 . . . . . . 7
50 hashen 10423 . . . . . . 7
5130, 49, 50syl2anc 406 . . . . . 6
5233, 51mpbird 166 . . . . 5
5347, 52oveq12d 5746 . . . 4
5428, 42, 533eqtr4d 2157 . . 3
557, 54rexlimddv 2528 . 2
563, 55rexlimddv 2528 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 945   wceq 1314   wcel 1463  wrex 2391   cun 3035   cin 3036  c0 3329   class class class wbr 3895   cmpt 3949  com 4464  cfv 5081  (class class class)co 5728  freccfrec 6241   coa 6264   cen 6586  cfn 6588  cc0 7547  c1 7548   caddc 7550  cz 8958  ♯chash 10414 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-frec 6242  df-1o 6267  df-oadd 6271  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-ihash 10415 This theorem is referenced by:  hashunsng  10446  fihashssdif  10457  hashxp  10465  fsumconst  11115  phiprmpw  11743
 Copyright terms: Public domain W3C validator