Theorem bpos 16249

Description: Bertrand's postulate: there is a prime between N and 2 N for every positive integer N. This proof follows Erdős's method, for the most part, but with some refinements due to Shigenori Tochiori to save us some calculations of large primes. See http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate for an overview of the proof strategy. This is Metamath 100 proof #98. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpos	|- ( N e. NN -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )

Distinct variable group:   N, p

Proof of Theorem bpos

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos1 16239	. 2 |- ( ( N e. NN /\ N <_ ; 6 4 ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
2		eqid 2238	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) ) ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) ) ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) ) ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) ) ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) )
4		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) /\ -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> N e. NN )
5		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) /\ -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ; 6 4 < N )
6		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) /\ -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
7	2, 3, 4, 5, 6	bposlem9 16248	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) /\ -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
8	7, 6	pm2.65da 671	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) -> -. -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
9		nnz 9668	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
10	9	peano2zd 9776	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. ZZ )
11		2z 9677	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
13	12, 9	zmulcld 9779	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
14		elfzelz 10439	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) -> p e. ZZ )
15		prmdcz 12928	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ZZ -> DECID p e. Prime )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) -> DECID p e. Prime )
17	16	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) ) -> DECID p e. Prime )
18	10, 13, 17	exfzdc 10670	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> DECID E. p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) p e. Prime )
19		ancom 266	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) ) <-> ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) /\ p e. Prime ) )
20	19	rexbii2 2561	. . . . . . . 8 |- ( E. p e. Prime p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> E. p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) p e. Prime )
21	20	dcbii 852	. . . . . . 7 |- (DECID E. p e. Prime p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> DECID E. p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) p e. Prime )
22	18, 21	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> DECID E. p e. Prime p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) )
23		elfz2 10429	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ /\ p e. ZZ ) /\ ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
24		prmz 12908	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
25		ibar 301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) <-> ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ /\ p e. ZZ ) /\ ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) ) )
26	10, 13, 24, 25	syl2an3an 1339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) <-> ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ /\ p e. ZZ ) /\ ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) ) )
27	23, 26	bitr4id 199	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
28		prmnn 12907	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
29		nnltp1le 9710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ p e. NN ) -> ( N < p <-> ( N + 1 ) <_ p ) )
30	28, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( N < p <-> ( N + 1 ) <_ p ) )
31	30	anbi1d 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) <-> ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
32	27, 31	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
33	32	rexbidva 2547	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( E. p e. Prime p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
34	33	dcbid 850	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> (DECID E. p e. Prime p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> DECID E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
35	22, 34	mpbid 147	. . . . 5 |- ( N e. NN -> DECID E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
36		notnotrdc 855	. . . . 5 |- (DECID E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> ( -. -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
37	35, 36	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( -. -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
38	37	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) -> ( -. -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
39	8, 38	mpd 13	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
40		6nn0 9589	. . . . 5 |- 6 e. NN0
41		4nn0 9587	. . . . 5 |- 4 e. NN0
42	40, 41	deccl 9796	. . . 4 |- ; 6 4 e. NN0
43	42	nn0zi 9671	. . 3 |- ; 6 4 e. ZZ
44		zlelttric 9694	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ; 6 4 e. ZZ ) -> ( N <_ ; 6 4 \/ ; 6 4 < N ) )
45	9, 43, 44	sylancl 417	. 2 |- ( N e. NN -> ( N <_ ; 6 4 \/ ; 6 4 < N ) )
46	1, 39, 45	mpjaodan 810	1 |- ( N e. NN -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8181   + caddc 8183   x. cmul 8185   < clt 8361   <_ cle 8362   / cdiv 9005   NNcn 9307   2c2 9358   4c4 9360   6c6 9362   9c9 9365   ZZcz 9649  ;cdc 9782   RR+crp 10065   ...cfz 10422   sqrcsqrt 11778   Primecprime 12904   logclog 16017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300  ax-pre-suploc 8301  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-xnn0 9636  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-ioo 10305  df-ico 10307  df-icc 10308  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-fac 11180  df-bc 11202  df-ihash 11231  df-shft 11596  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139  df-ef 12434  df-e 12435  df-dvds 12574  df-gcd 12750  df-prm 12905  df-numer 12982  df-denom 12983  df-pc 13087  df-rest 13647  df-topgen 13666  df-psmet 14932  df-xmet 14933  df-met 14934  df-bl 14935  df-mopn 14936  df-top 15158  df-topon 15171  df-bases 15203  df-ntr 15256  df-cn 15348  df-cnp 15349  df-tx 15413  df-cncf 15731  df-limced 15816  df-dvap 15817  df-relog 16019  df-rpcxp 16020  df-logb 16109  df-cht 16165  df-ppi 16166

This theorem is used by: (None)