Theorem bpos 16320

Description: Bertrand's postulate: there is a prime between N and 2 N for every positive integer N. This proof follows Erdős's method, for the most part, but with some refinements due to Shigenori Tochiori to save us some calculations of large primes. See http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate for an overview of the proof strategy. This is Metamath 100 proof #98. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpos	|- ( N e. NN -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )

Distinct variable group:   N, p

Proof of Theorem bpos

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos1 16310	. 2 |- ( ( N e. NN /\ N <_ ; 6 4 ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
2		eqid 2238	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) ) ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) ) ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) ) ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) ) ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) )
4		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) /\ -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> N e. NN )
5		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) /\ -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ; 6 4 < N )
6		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) /\ -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
7	2, 3, 4, 5, 6	bposlem9 16319	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) /\ -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
8	7, 6	pm2.65da 671	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) -> -. -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
9		nnz 9674	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
10	9	peano2zd 9782	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. ZZ )
11		2z 9683	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
13	12, 9	zmulcld 9785	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
14		elfzelz 10445	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) -> p e. ZZ )
15		prmdcz 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ZZ -> DECID p e. Prime )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) -> DECID p e. Prime )
17	16	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) ) -> DECID p e. Prime )
18	10, 13, 17	exfzdc 10676	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> DECID E. p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) p e. Prime )
19		ancom 266	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) ) <-> ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) /\ p e. Prime ) )
20	19	rexbii2 2561	. . . . . . . 8 |- ( E. p e. Prime p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> E. p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) p e. Prime )
21	20	dcbii 852	. . . . . . 7 |- (DECID E. p e. Prime p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> DECID E. p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) p e. Prime )
22	18, 21	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> DECID E. p e. Prime p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) )
23		elfz2 10435	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ /\ p e. ZZ ) /\ ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
24		prmz 12914	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
25		ibar 301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) <-> ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ /\ p e. ZZ ) /\ ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) ) )
26	10, 13, 24, 25	syl2an3an 1339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) <-> ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ /\ p e. ZZ ) /\ ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) ) )
27	23, 26	bitr4id 199	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
28		prmnn 12913	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
29		nnltp1le 9716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ p e. NN ) -> ( N < p <-> ( N + 1 ) <_ p ) )
30	28, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( N < p <-> ( N + 1 ) <_ p ) )
31	30	anbi1d 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) <-> ( ( N + 1 ) <_ p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
32	27, 31	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
33	32	rexbidva 2547	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( E. p e. Prime p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
34	33	dcbid 850	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> (DECID E. p e. Prime p e. ( ( N + 1 ) ... ( 2 x. N ) ) <-> DECID E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
35	22, 34	mpbid 147	. . . . 5 |- ( N e. NN -> DECID E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
36		notnotrdc 855	. . . . 5 |- (DECID E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> ( -. -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
37	35, 36	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( -. -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
38	37	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) -> ( -. -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
39	8, 38	mpd 13	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ; 6 4 < N ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
40		6nn0 9595	. . . . 5 |- 6 e. NN0
41		4nn0 9593	. . . . 5 |- 4 e. NN0
42	40, 41	deccl 9802	. . . 4 |- ; 6 4 e. NN0
43	42	nn0zi 9677	. . 3 |- ; 6 4 e. ZZ
44		zlelttric 9700	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ; 6 4 e. ZZ ) -> ( N <_ ; 6 4 \/ ; 6 4 < N ) )
45	9, 43, 44	sylancl 417	. 2 |- ( N e. NN -> ( N <_ ; 6 4 \/ ; 6 4 < N ) )
46	1, 39, 45	mpjaodan 810	1 |- ( N e. NN -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   4c4 9366   6c6 9368   9c9 9371   ZZcz 9655  ;cdc 9788   RR+crp 10071   ...cfz 10428   sqrcsqrt 11784   Primecprime 12910   logclog 16085

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-pre-suploc 8306  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-xnn0 9642  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-ioo 10311  df-ico 10313  df-icc 10314  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-bc 11208  df-ihash 11237  df-shft 11602  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-e 12441  df-dvds 12580  df-gcd 12756  df-prm 12911  df-numer 12988  df-denom 12989  df-pc 13093  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-ntr 15322  df-cn 15414  df-cnp 15415  df-tx 15479  df-cncf 15797  df-limced 15882  df-dvap 15883  df-relog 16087  df-rpcxp 16088  df-logb 16180  df-cht 16236  df-ppi 16237

This theorem is used by: (None)