Theorem bposlem2 16273

Description: There are no odd primes in the range ( 2 N / 3 , N ] dividing the N-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bposlem2.1	|- ( ph -> N e. NN )
bposlem2.2	|- ( ph -> P e. Prime )
bposlem2.3	|- ( ph -> 2 < P )
bposlem2.4	|- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P )
bposlem2.5	|- ( ph -> P <_ N )

Assertion

Ref	Expression
bposlem2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )

Proof of Theorem bposlem2

Dummy variables A k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		bposlem2.2	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
3		pcbcctr 16264	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
5		elfznn 10471	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) -> k e. NN )
6		elnn1uz2 10017	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
7	5, 6	sylib 122	. . . . 5 |- ( k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) -> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
8		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 1 ) )
9		prmnn 12907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	2, 9	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
11	10	nncnd 9321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. CC )
12	11	exp1d 11121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) = P )
13	8, 12	sylan9eqr 2293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( P ^ k ) = P )
14	13	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) = ( ( 2 x. N ) / P ) )
15	14	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) )
16		2t1e2 9461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. 1 ) = 2
17	11	mullidd 8345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
18		bposlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P <_ N )
19	17, 18	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. P ) <_ N )
20		1red 8342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
21	1	nnred 9320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR )
22	10	nnred 9320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. RR )
23	10	nngt0d 9351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < P )
24		lemuldiv 9214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( 1 x. P ) <_ N <-> 1 <_ ( N / P ) ) )
25	20, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 x. P ) <_ N <-> 1 <_ ( N / P ) ) )
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( N / P ) )
27	21, 10	nndivred 9357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N / P ) e. RR )
28		1re 8326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
29		2re 9377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
30		2pos 9398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
31	29, 30	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
32		lemul2 9190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( N / P ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
33	28, 31, 32	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N / P ) e. RR -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
34	27, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
35	26, 34	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) )
36	16, 35	eqbrtrrid 4166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 <_ ( 2 x. ( N / P ) ) )
37		2cnd 9380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. CC )
38	1	nncnd 9321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
39	10	nnap0d 9353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P # 0 )
40	37, 38, 11, 39	divassapd 9159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) = ( 2 x. ( N / P ) ) )
41	36, 40	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) )
42		bposlem2.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P )
43		2nn 9471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
44		nnmulcl 9328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
45	43, 1, 44	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
46	45	nnred 9320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
47		3re 9381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. RR
48		3pos 9401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 3
49	47, 48	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
50		ltdiv23 9225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
51	49, 50	mp3an2 1366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
52	46, 22, 23, 51	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
53	42, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 )
54		df-3 9367	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
55	53, 54	breqtrdi 4171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) )
56	45	nnzd 9772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
57		znq 10034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) / P ) e. QQ )
58	56, 10, 57	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) e. QQ )
59		2z 9677	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
60		flqbi 10740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / P ) e. QQ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 <-> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) /\ ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) ) ) )
61	58, 59, 60	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 <-> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) /\ ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) ) ) )
62	41, 55, 61	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 )
64	15, 63	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 2 )
65	13	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( N / ( P ^ k ) ) = ( N / P ) )
66	65	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = ( |_ ` ( N / P ) ) )
67		remulcl 8308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N / P ) e. RR ) -> ( 2 x. ( N / P ) ) e. RR )
68	29, 27, 67	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) e. RR )
69	47	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 e. RR )
70		4re 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
71	70	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 4 e. RR )
72	40, 53	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < 3 )
73		3lt4 9482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 < 4
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 < 4 )
75	68, 69, 71, 72, 74	lttrd 8454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < 4 )
76		2t2e4 9462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 2 ) = 4
77	75, 76	breqtrrdi 4172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) )
78		ltmul2 9189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N / P ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
79	29, 31, 78	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N / P ) e. RR -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
80	27, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
81	77, 80	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N / P ) < 2 )
82		df-2 9366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
83	81, 82	breqtrdi 4171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N / P ) < ( 1 + 1 ) )
84	1	nnzd 9772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. ZZ )
85		znq 10034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( N / P ) e. QQ )
86	84, 10, 85	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N / P ) e. QQ )
87		1z 9675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
88		flqbi 10740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N / P ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / P ) /\ ( N / P ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
89	86, 87, 88	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / P ) /\ ( N / P ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
90	26, 83, 89	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 )
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 )
92	66, 91	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 1 )
93	92	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = ( 2 x. 1 ) )
94	93, 16	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = 2 )
95	64, 94	oveq12d 6103	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( 2 - 2 ) )
96		2cn 9378	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
97	96	subidi 8599	. . . . . . 7 |- ( 2 - 2 ) = 0
98	95, 97	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
99	45	nnrpd 10106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
101		eluzge2nn0 9980	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN0 )
102		nnexpcl 11004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. NN )
103	10, 101, 102	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
104	103	nnrpd 10106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. RR+ )
105	100, 104	rpdivcld 10126	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR+ )
106	105	rpge0d 10112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) )
107	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
108		remulcl 8308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. RR /\ P e. RR ) -> ( 3 x. P ) e. RR )
109	47, 22, 108	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 3 x. P ) e. RR )
110	109	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) e. RR )
111	103	nnred 9320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. RR )
112		ltdivmul 9209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ P e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
113	49, 112	mp3an3 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
114	46, 22, 113	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
115	42, 114	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) )
117	22, 22	remulcld 8357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P x. P ) e. RR )
118	117	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P x. P ) e. RR )
119		bposlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2 < P )
120		nnltp1le 9710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. NN /\ P e. NN ) -> ( 2 < P <-> ( 2 + 1 ) <_ P ) )
121	43, 10, 120	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 < P <-> ( 2 + 1 ) <_ P ) )
122	119, 121	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 + 1 ) <_ P )
123	54, 122	eqbrtrid 4165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 3 <_ P )
124		lemul1 8924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. RR /\ P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
125	47, 124	mp3an1 1365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
126	22, 22, 23, 125	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
127	123, 126	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) )
128	127	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) )
129	11	sqvald 11123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
130	129	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
131	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> P e. RR )
132	10	nnge1d 9350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 <_ P )
133	132	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 <_ P )
134		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
135	131, 133, 134	leexp2ad 11155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) <_ ( P ^ k ) )
136	130, 135	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P x. P ) <_ ( P ^ k ) )
137	110, 118, 111, 128, 136	letrd 8452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) <_ ( P ^ k ) )
138	107, 110, 111, 116, 137	ltletrd 8753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( P ^ k ) )
139	103	nncnd 9321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. CC )
140	139	mulridd 8344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( P ^ k ) x. 1 ) = ( P ^ k ) )
141	138, 140	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( ( P ^ k ) x. 1 ) )
142		1red 8342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. RR )
143	107, 142, 104	ltdivmuld 10160	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < 1 <-> ( 2 x. N ) < ( ( P ^ k ) x. 1 ) ) )
144	141, 143	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < 1 )
145		1e0p1 9828	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 0 + 1 )
146	144, 145	breqtrdi 4171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) )
147		znq 10034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
148	56, 103, 147	syl2an2r 603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. QQ )
149		0z 9660	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
150		flqbi 10740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. QQ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) /\ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
151	148, 149, 150	sylancl 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) /\ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
152	106, 146, 151	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 )
153	1	nnrpd 10106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR+ )
154	153	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. RR+ )
155	154, 104	rpdivcld 10126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. RR+ )
156	155	rpge0d 10112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) )
157	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. RR )
158	21, 153	ltaddrpd 10142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N < ( N + N ) )
159	38	2timesd 9553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
160	158, 159	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N < ( 2 x. N ) )
161	160	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( 2 x. N ) )
162	157, 107, 111, 161, 138	lttrd 8454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( P ^ k ) )
163	162, 140	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( ( P ^ k ) x. 1 ) )
164	157, 142, 104	ltdivmuld 10160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( N / ( P ^ k ) ) < 1 <-> N < ( ( P ^ k ) x. 1 ) ) )
165	163, 164	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) < 1 )
166	165, 145	breqtrdi 4171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) )
167		znq 10034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ ( P ^ k ) e. NN ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
168	84, 103, 167	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ )
169		flqbi 10740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N / ( P ^ k ) ) e. QQ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) /\ ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
170	168, 149, 169	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) /\ ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
171	156, 166, 170	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 )
172	171	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
173		2t0e0 9469	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 0 ) = 0
174	172, 173	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = 0 )
175	152, 174	oveq12d 6103	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
176		0m0e0 9419	. . . . . . 7 |- ( 0 - 0 ) = 0
177	175, 176	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
178	98, 177	jaodan 809	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
179	7, 178	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
180	179	sumeq2dv 12153	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 )
181		1zzd 9676	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
182	181, 56	fzfigd 10883	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin )
183		isumz 12175	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( 1 ... ( 2 x. N ) ) C_ ( ZZ>= ` A ) /\ A. x e. ( ZZ>= ` A )DECID x e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ) \/ ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
184	183	olcs 748	. . . 4 |- ( ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
185	182, 184	syl 14	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
186	180, 185	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
187	4, 186	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   RRcr 8179   0cc0 8180   1c1 8181   + caddc 8183   x. cmul 8185   < clt 8361   <_ cle 8362   - cmin 8499   / cdiv 9005   NNcn 9307   2c2 9358   3c3 9359   4c4 9360   NN0cn0 9568   ZZcz 9649   ZZ>=cuz 9931   QQcq 10029   RR+crp 10065   ...cfz 10422   |_cfl 10714   ^cexp 10990   _C cbc 11201   sum_csu 12138   Primecprime 12904   pCnt cpc 13086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-fac 11180  df-bc 11202  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139  df-dvds 12574  df-gcd 12750  df-prm 12905  df-pc 13087

This theorem is used by:  bposlem3  16274