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Theorem nnsucsssuc 6511
Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4523, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4541. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnsucsssuc  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  suc 
A  C_  suc  B ) )

Proof of Theorem nnsucsssuc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3193 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  B  <->  A  C_  B
) )
2 suceq 4417 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
32sseq1d 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  A  C_  suc  B ) )
41, 3imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) ) )
54imbi2d 230 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B ) )  <->  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) ) ) )
6 sseq1 3193 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
7 suceq 4417 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  x  =  suc  (/) )
87sseq1d 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
96, 8imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <-> 
( (/)  C_  B  ->  suc  (/)  C_  suc  B ) ) )
10 sseq1 3193 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  B  <->  y  C_  B ) )
11 suceq 4417 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
1211sseq1d 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  y  C_  suc  B ) )
1310, 12imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B ) ) )
14 sseq1 3193 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  C_  B  <->  suc  y  C_  B )
)
15 suceq 4417 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
1615sseq1d 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
1714, 16imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_ 
suc  B ) ) )
18 peano3 4610 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  suc  B  =/=  (/) )
1918neneqd 2381 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  -.  suc  B  =  (/) )
20 peano2 4609 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  suc  B  e.  om )
21 0elnn 4633 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc 
B  e.  om  ->  ( suc  B  =  (/)  \/  (/)  e.  suc  B ) )
2220, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( suc  B  =  (/)  \/  (/)  e.  suc  B ) )
2322ord 725 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( -.  suc  B  =  (/)  -> 
(/)  e.  suc  B ) )
2419, 23mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  (/)  e.  suc  B )
25 nnord 4626 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
26 ordsucim 4514 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  Ord  suc  B
)
27 0ex 4145 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
28 ordelsuc 4519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  Ord  suc 
B )  ->  ( (/) 
e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
2927, 28mpan 424 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
suc  B  ->  ( (/)  e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
3025, 26, 293syl 17 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
3124, 30mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  suc  (/)  C_  suc  B )
3231a1d 22 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/)  C_  B  ->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
33 simp3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  C_  B )
34 simp1l 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  y  e.  om )
35 simp1r 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  B  e.  om )
3635, 25syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  Ord  B )
37 ordelsuc 4519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  Ord  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  C_  B ) )
3834, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  C_  B ) )
3933, 38mpbird 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  y  e.  B )
40 nnsucelsuc 6510 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  e. 
suc  B ) )
4135, 40syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  e. 
suc  B ) )
4239, 41mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  e.  suc  B )
43 peano2 4609 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
4434, 43syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  e.  om )
4536, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  Ord  suc 
B )
46 ordelsuc 4519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\ 
Ord  suc  B )  -> 
( suc  y  e.  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
4744, 45, 46syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  ( suc  y  e.  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
4842, 47mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  suc  y  C_  suc  B )
49483expia 1207 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B ) )  ->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
5049exp31 364 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  ->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_  suc  B ) ) ) )
519, 13, 17, 32, 50finds2 4615 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B ) ) )
525, 51vtoclga 2818 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  suc 
A  C_  suc  B ) ) )
5352imp 124 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) )
54 nnon 4624 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
55 onsucsssucr 4523 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  Ord  B )  ->  ( suc  A  C_  suc  B  ->  A  C_  B ) )
5654, 25, 55syl2an 289 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  suc  B  ->  A  C_  B
) )
5753, 56impbid 129 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  suc 
A  C_  suc  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   (/)c0 3437   Ord word 4377   Oncon0 4378   suc csuc 4380   omcom 4604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-tr 4117  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605
This theorem is referenced by:  nnaword  6530  ennnfonelemk  12419  ennnfonelemkh  12431
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