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Theorem nnsucsssuc 6269
Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4341, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4358. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnsucsssuc  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  suc 
A  C_  suc  B ) )

Proof of Theorem nnsucsssuc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3050 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  B  <->  A  C_  B
) )
2 suceq 4240 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  suc  x  =  suc  A )
32sseq1d 3056 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  A  C_  suc  B ) )
41, 3imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) ) )
54imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B ) )  <->  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) ) ) )
6 sseq1 3050 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
7 suceq 4240 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  suc  x  =  suc  (/) )
87sseq1d 3056 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
96, 8imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <-> 
( (/)  C_  B  ->  suc  (/)  C_  suc  B ) ) )
10 sseq1 3050 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  B  <->  y  C_  B ) )
11 suceq 4240 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  suc  x  =  suc  y )
1211sseq1d 3056 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  y  C_  suc  B ) )
1310, 12imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B ) ) )
14 sseq1 3050 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  C_  B  <->  suc  y  C_  B )
)
15 suceq 4240 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  ->  suc  x  =  suc  suc  y )
1615sseq1d 3056 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  x  C_  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
1714, 16imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B )  <->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_ 
suc  B ) ) )
18 peano3 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  suc  B  =/=  (/) )
1918neneqd 2277 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  -.  suc  B  =  (/) )
20 peano2 4425 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  suc  B  e.  om )
21 0elnn 4447 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc 
B  e.  om  ->  ( suc  B  =  (/)  \/  (/)  e.  suc  B ) )
2220, 21syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( suc  B  =  (/)  \/  (/)  e.  suc  B ) )
2322ord 679 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( -.  suc  B  =  (/)  -> 
(/)  e.  suc  B ) )
2419, 23mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  (/)  e.  suc  B )
25 nnord 4441 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
26 ordsucim 4332 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  Ord  suc  B
)
27 0ex 3974 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
28 ordelsuc 4337 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  Ord  suc 
B )  ->  ( (/) 
e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
2927, 28mpan 416 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
suc  B  ->  ( (/)  e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
3025, 26, 293syl 17 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
e.  suc  B  <->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
3124, 30mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  suc  (/)  C_  suc  B )
3231a1d 22 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/)  C_  B  ->  suc  (/)  C_  suc  B ) )
33 simp3 946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  C_  B )
34 simp1l 968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  y  e.  om )
35 simp1r 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  B  e.  om )
3635, 25syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  Ord  B )
37 ordelsuc 4337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  Ord  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  C_  B ) )
3834, 36, 37syl2anc 404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  C_  B ) )
3933, 38mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  y  e.  B )
40 nnsucelsuc 6268 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  e. 
suc  B ) )
4135, 40syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  (
y  e.  B  <->  suc  y  e. 
suc  B ) )
4239, 41mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  e.  suc  B )
43 peano2 4425 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
4434, 43syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  y  e.  om )
4536, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  Ord  suc 
B )
46 ordelsuc 4337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\ 
Ord  suc  B )  -> 
( suc  y  e.  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
4744, 45, 46syl2anc 404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  ( suc  y  e.  suc  B  <->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
4842, 47mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  /\  suc  y  C_  B )  ->  suc  suc  y  C_  suc  B )
49483expia 1146 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B ) )  ->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_  suc  B ) )
5049exp31 357 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( y  C_  B  ->  suc  y  C_  suc  B )  ->  ( suc  y  C_  B  ->  suc  suc  y  C_  suc  B ) ) ) )
519, 13, 17, 32, 50finds2 4431 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( x  C_  B  ->  suc  x  C_  suc  B ) ) )
525, 51vtoclga 2688 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  suc 
A  C_  suc  B ) ) )
5352imp 123 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  suc  A  C_  suc  B ) )
54 nnon 4439 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
55 onsucsssucr 4341 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  Ord  B )  ->  ( suc  A  C_  suc  B  ->  A  C_  B ) )
5654, 25, 55syl2an 284 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  suc  B  ->  A  C_  B
) )
5753, 56impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  suc 
A  C_  suc  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 665    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439   _Vcvv 2622    C_ wss 3002   (/)c0 3289   Ord word 4200   Oncon0 4201   suc csuc 4203   omcom 4420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-iinf 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2624  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-uni 3662  df-int 3697  df-tr 3945  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421
This theorem is referenced by:  nnaword  6286
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