Theorem nnsucsssuc 6488

Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4506, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4524. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucsssuc	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> suc A C_ suc B ) )

Proof of Theorem nnsucsssuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3178	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x C_ B <-> A C_ B ) )
2		suceq 4400	. . . . . . 7 |- ( x = A -> suc x = suc A )
3	2	sseq1d 3184	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( suc x C_ suc B <-> suc A C_ suc B ) )
4	1, 3	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) ) <-> ( B e. om -> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) ) ) )
6		sseq1 3178	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ B <-> (/) C_ B ) )
7		suceq 4400	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> suc x = suc (/) )
8	7	sseq1d 3184	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( suc x C_ suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
9	6, 8	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( (/) C_ B -> suc (/) C_ suc B ) ) )
10		sseq1 3178	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ B <-> y C_ B ) )
11		suceq 4400	. . . . . . 7 |- ( x = y -> suc x = suc y )
12	11	sseq1d 3184	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( suc x C_ suc B <-> suc y C_ suc B ) )
13	10, 12	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) ) )
14		sseq1 3178	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x C_ B <-> suc y C_ B ) )
15		suceq 4400	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> suc x = suc suc y )
16	15	sseq1d 3184	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( suc x C_ suc B <-> suc suc y C_ suc B ) )
17	14, 16	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( suc y C_ B -> suc suc y C_ suc B ) ) )
18		peano3 4593	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> suc B =/= (/) )
19	18	neneqd 2368	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> -. suc B = (/) )
20		peano2 4592	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> suc B e. om )
21		0elnn 4616	. . . . . . . . . 10 |- ( suc B e. om -> ( suc B = (/) \/ (/) e. suc B ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> ( suc B = (/) \/ (/) e. suc B ) )
23	22	ord 724	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( -. suc B = (/) -> (/) e. suc B ) )
24	19, 23	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> (/) e. suc B )
25		nnord 4609	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> Ord B )
26		ordsucim 4497	. . . . . . . 8 |- ( Ord B -> Ord suc B )
27		0ex 4128	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
28		ordelsuc 4502	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. _V /\ Ord suc B ) -> ( (/) e. suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
29	27, 28	mpan 424	. . . . . . . 8 |- ( Ord suc B -> ( (/) e. suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
30	25, 26, 29	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( (/) e. suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
31	24, 30	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( B e. om -> suc (/) C_ suc B )
32	31	a1d 22	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) C_ B -> suc (/) C_ suc B ) )
33		simp3 999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc y C_ B )
34		simp1l 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> y e. om )
35		simp1r 1022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> B e. om )
36	35, 25	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> Ord B )
37		ordelsuc 4502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ Ord B ) -> ( y e. B <-> suc y C_ B ) )
38	34, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> ( y e. B <-> suc y C_ B ) )
39	33, 38	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> y e. B )
40		nnsucelsuc 6487	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( y e. B <-> suc y e. suc B ) )
41	35, 40	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> ( y e. B <-> suc y e. suc B ) )
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc y e. suc B )
43		peano2 4592	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc y e. om )
44	34, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc y e. om )
45	36, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> Ord suc B )
46		ordelsuc 4502	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc y e. om /\ Ord suc B ) -> ( suc y e. suc B <-> suc suc y C_ suc B ) )
47	44, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> ( suc y e. suc B <-> suc suc y C_ suc B ) )
48	42, 47	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc suc y C_ suc B )
49	48	3expia 1205	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) ) -> ( suc y C_ B -> suc suc y C_ suc B ) )
50	49	exp31 364	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) -> ( suc y C_ B -> suc suc y C_ suc B ) ) ) )
51	9, 13, 17, 32, 50	finds2 4598	. . . 4 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) ) )
52	5, 51	vtoclga 2803	. . 3 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) ) )
53	52	imp 124	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) )
54		nnon 4607	. . 3 |- ( A e. om -> A e. On )
55		onsucsssucr 4506	. . 3 |- ( ( A e. On /\ Ord B ) -> ( suc A C_ suc B -> A C_ B ) )
56	54, 25, 55	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A C_ suc B -> A C_ B ) )
57	53, 56	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> suc A C_ suc B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   (/)c0 3422   Ord word 4360   Oncon0 4361   suc csuc 4363   omcom 4587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-iinf 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3809  df-int 3844  df-tr 4100  df-iord 4364  df-on 4366  df-suc 4369  df-iom 4588

This theorem is referenced by:  nnaword  6507  ennnfonelemk  12391  ennnfonelemkh  12403