Theorem nnsucsssuc 6765

Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4656, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4674. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucsssuc	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> suc A C_ suc B ) )

Proof of Theorem nnsucsssuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3271	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x C_ B <-> A C_ B ) )
2		suceq 4547	. . . . . . 7 |- ( x = A -> suc x = suc A )
3	2	sseq1d 3277	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( suc x C_ suc B <-> suc A C_ suc B ) )
4	1, 3	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) ) <-> ( B e. om -> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) ) ) )
6		sseq1 3271	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ B <-> (/) C_ B ) )
7		suceq 4547	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> suc x = suc (/) )
8	7	sseq1d 3277	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( suc x C_ suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
9	6, 8	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( (/) C_ B -> suc (/) C_ suc B ) ) )
10		sseq1 3271	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ B <-> y C_ B ) )
11		suceq 4547	. . . . . . 7 |- ( x = y -> suc x = suc y )
12	11	sseq1d 3277	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( suc x C_ suc B <-> suc y C_ suc B ) )
13	10, 12	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) ) )
14		sseq1 3271	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x C_ B <-> suc y C_ B ) )
15		suceq 4547	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> suc x = suc suc y )
16	15	sseq1d 3277	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( suc x C_ suc B <-> suc suc y C_ suc B ) )
17	14, 16	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( suc y C_ B -> suc suc y C_ suc B ) ) )
18		peano3 4743	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> suc B =/= (/) )
19	18	neneqd 2441	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> -. suc B = (/) )
20		peano2 4742	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> suc B e. om )
21		0elnn 4766	. . . . . . . . . 10 |- ( suc B e. om -> ( suc B = (/) \/ (/) e. suc B ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> ( suc B = (/) \/ (/) e. suc B ) )
23	22	ord 736	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( -. suc B = (/) -> (/) e. suc B ) )
24	19, 23	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> (/) e. suc B )
25		nnord 4759	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> Ord B )
26		ordsucim 4647	. . . . . . . 8 |- ( Ord B -> Ord suc B )
27		0ex 4260	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
28		ordelsuc 4652	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. _V /\ Ord suc B ) -> ( (/) e. suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
29	27, 28	mpan 428	. . . . . . . 8 |- ( Ord suc B -> ( (/) e. suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
30	25, 26, 29	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( (/) e. suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
31	24, 30	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( B e. om -> suc (/) C_ suc B )
32	31	a1d 22	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) C_ B -> suc (/) C_ suc B ) )
33		simp3 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc y C_ B )
34		simp1l 1052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> y e. om )
35		simp1r 1053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> B e. om )
36	35, 25	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> Ord B )
37		ordelsuc 4652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ Ord B ) -> ( y e. B <-> suc y C_ B ) )
38	34, 36, 37	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> ( y e. B <-> suc y C_ B ) )
39	33, 38	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> y e. B )
40		nnsucelsuc 6764	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( y e. B <-> suc y e. suc B ) )
41	35, 40	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> ( y e. B <-> suc y e. suc B ) )
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc y e. suc B )
43		peano2 4742	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc y e. om )
44	34, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc y e. om )
45	36, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> Ord suc B )
46		ordelsuc 4652	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc y e. om /\ Ord suc B ) -> ( suc y e. suc B <-> suc suc y C_ suc B ) )
47	44, 45, 46	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> ( suc y e. suc B <-> suc suc y C_ suc B ) )
48	42, 47	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc suc y C_ suc B )
49	48	3expia 1236	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) ) -> ( suc y C_ B -> suc suc y C_ suc B ) )
50	49	exp31 364	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) -> ( suc y C_ B -> suc suc y C_ suc B ) ) ) )
51	9, 13, 17, 32, 50	finds2 4748	. . . 4 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) ) )
52	5, 51	vtoclga 2889	. . 3 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) ) )
53	52	imp 124	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) )
54		nnon 4757	. . 3 |- ( A e. om -> A e. On )
55		onsucsssucr 4656	. . 3 |- ( ( A e. On /\ Ord B ) -> ( suc A C_ suc B -> A C_ B ) )
56	54, 25, 55	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A C_ suc B -> A C_ B ) )
57	53, 56	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> suc A C_ suc B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   Ord word 4507   Oncon0 4508   suc csuc 4510   omcom 4737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4230  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738

This theorem is used by:  nnaword  6784  ennnfonelemk  13291  ennnfonelemkh  13303