Theorem nnsucsssuc 6381

Description: Membership is inherited by successors. The reverse direction holds for all ordinals, as seen at onsucsssucr 4420, but the forward direction, for all ordinals, implies excluded middle as seen as onsucsssucexmid 4437. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucsssuc	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> suc A C_ suc B ) )

Proof of Theorem nnsucsssuc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3115	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x C_ B <-> A C_ B ) )
2		suceq 4319	. . . . . . 7 |- ( x = A -> suc x = suc A )
3	2	sseq1d 3121	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( suc x C_ suc B <-> suc A C_ suc B ) )
4	1, 3	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) ) )
5	4	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( B e. om -> ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) ) <-> ( B e. om -> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) ) ) )
6		sseq1 3115	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ B <-> (/) C_ B ) )
7		suceq 4319	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> suc x = suc (/) )
8	7	sseq1d 3121	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( suc x C_ suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
9	6, 8	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( (/) C_ B -> suc (/) C_ suc B ) ) )
10		sseq1 3115	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ B <-> y C_ B ) )
11		suceq 4319	. . . . . . 7 |- ( x = y -> suc x = suc y )
12	11	sseq1d 3121	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( suc x C_ suc B <-> suc y C_ suc B ) )
13	10, 12	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) ) )
14		sseq1 3115	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( x C_ B <-> suc y C_ B ) )
15		suceq 4319	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> suc x = suc suc y )
16	15	sseq1d 3121	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( suc x C_ suc B <-> suc suc y C_ suc B ) )
17	14, 16	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) <-> ( suc y C_ B -> suc suc y C_ suc B ) ) )
18		peano3 4505	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> suc B =/= (/) )
19	18	neneqd 2327	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> -. suc B = (/) )
20		peano2 4504	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> suc B e. om )
21		0elnn 4527	. . . . . . . . . 10 |- ( suc B e. om -> ( suc B = (/) \/ (/) e. suc B ) )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. om -> ( suc B = (/) \/ (/) e. suc B ) )
23	22	ord 713	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( -. suc B = (/) -> (/) e. suc B ) )
24	19, 23	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> (/) e. suc B )
25		nnord 4520	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> Ord B )
26		ordsucim 4411	. . . . . . . 8 |- ( Ord B -> Ord suc B )
27		0ex 4050	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
28		ordelsuc 4416	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. _V /\ Ord suc B ) -> ( (/) e. suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
29	27, 28	mpan 420	. . . . . . . 8 |- ( Ord suc B -> ( (/) e. suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
30	25, 26, 29	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( (/) e. suc B <-> suc (/) C_ suc B ) )
31	24, 30	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( B e. om -> suc (/) C_ suc B )
32	31	a1d 22	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( (/) C_ B -> suc (/) C_ suc B ) )
33		simp3 983	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc y C_ B )
34		simp1l 1005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> y e. om )
35		simp1r 1006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> B e. om )
36	35, 25	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> Ord B )
37		ordelsuc 4416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ Ord B ) -> ( y e. B <-> suc y C_ B ) )
38	34, 36, 37	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> ( y e. B <-> suc y C_ B ) )
39	33, 38	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> y e. B )
40		nnsucelsuc 6380	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. om -> ( y e. B <-> suc y e. suc B ) )
41	35, 40	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> ( y e. B <-> suc y e. suc B ) )
42	39, 41	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc y e. suc B )
43		peano2 4504	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc y e. om )
44	34, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc y e. om )
45	36, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> Ord suc B )
46		ordelsuc 4416	. . . . . . . . 9 |- ( ( suc y e. om /\ Ord suc B ) -> ( suc y e. suc B <-> suc suc y C_ suc B ) )
47	44, 45, 46	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> ( suc y e. suc B <-> suc suc y C_ suc B ) )
48	42, 47	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) /\ suc y C_ B ) -> suc suc y C_ suc B )
49	48	3expia 1183	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. om /\ B e. om ) /\ ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) ) -> ( suc y C_ B -> suc suc y C_ suc B ) )
50	49	exp31 361	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( B e. om -> ( ( y C_ B -> suc y C_ suc B ) -> ( suc y C_ B -> suc suc y C_ suc B ) ) ) )
51	9, 13, 17, 32, 50	finds2 4510	. . . 4 |- ( x e. om -> ( B e. om -> ( x C_ B -> suc x C_ suc B ) ) )
52	5, 51	vtoclga 2747	. . 3 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) ) )
53	52	imp 123	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> suc A C_ suc B ) )
54		nnon 4518	. . 3 |- ( A e. om -> A e. On )
55		onsucsssucr 4420	. . 3 |- ( ( A e. On /\ Ord B ) -> ( suc A C_ suc B -> A C_ B ) )
56	54, 25, 55	syl2an 287	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A C_ suc B -> A C_ B ) )
57	53, 56	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> suc A C_ suc B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   C_ wss 3066   (/)c0 3358   Ord word 4279   Oncon0 4280   suc csuc 4282   omcom 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500

This theorem is referenced by:  nnaword  6400  ennnfonelemk  11902  ennnfonelemkh  11914