Theorem vtoclga 2883

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
vtoclga.2	|- ( x e. B -> ph )

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	|- ( A e. B -> ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2386	. 2 |- F/_ x A
2		nfv 1577	. 2 |- F/ x ps
3		vtoclga.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
4		vtoclga.2	. 2 |- ( x e. B -> ph )
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2882	1 |- ( A e. B -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817

This theorem is referenced by:  vtoclri  2894  ssuni  3938  ordtriexmid  4645  onsucsssucexmid  4651  tfis3  4710  fvmpt3  5758  fvmptssdm  5764  fnressn  5872  fressnfv  5873  caovord  6228  caovimo  6250  tfrlem1  6541  nnacl  6715  nnmcl  6716  nnacom  6719  nnaass  6720  nndi  6721  nnmass  6722  nnmsucr  6723  nnmcom  6724  nnsucsssuc  6727  nntri3or  6728  nnaordi  6743  nnaword  6746  nnmordi  6751  nnaordex  6763  ixpfn  6941  findcard  7147  findcard2  7148  findcard2s  7149  exmidomni  7435  indpi  7659  prarloclem3  7814  uzind4s2  9926  cnref1o  9986  frec2uzrdg  10775  expcl2lemap  10917  seq3coll  11218  climub  12033  climserle  12034  fsum3cvg  12068  summodclem2a  12071  prodfap0  12235  prodfrecap  12236  fproddccvg  12262  alginv  12748  algcvg  12749  algcvga  12752  algfx  12753  prmind2  12821  prmpwdvds  13057  lgsdir2lem4  15921