Theorem vtoclga 2889

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
vtoclga.2	|- ( x e. B -> ph )

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	|- ( A e. B -> ps )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 |- F/_ x A
2		nfv 1581	. 2 |- F/ x ps
3		vtoclga.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
4		vtoclga.2	. 2 |- ( x e. B -> ph )
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2888	1 |- ( A e. B -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823

This theorem is referenced by:  vtoclri  2900  ssuni  3955  ordtriexmid  4666  onsucsssucexmid  4672  tfis3  4731  fvmpt3  5781  fvmptssdm  5787  fnressn  5895  fressnfv  5896  caovord  6254  caovimo  6276  tfrlem1  6572  nnacl  6746  nnmcl  6747  nnacom  6750  nnaass  6751  nndi  6752  nnmass  6753  nnmsucr  6754  nnmcom  6755  nnsucsssuc  6758  nntri3or  6759  nnaordi  6774  nnaword  6777  nnmordi  6782  nnaordex  6794  ixpfn  6979  findcard  7185  findcard2  7186  findcard2s  7187  exmidomni  7475  indpi  7702  prarloclem3  7857  uzind4s2  9973  cnref1o  10033  frec2uzrdg  10827  expcl2lemap  10969  seq3coll  11275  climub  12091  climserle  12092  fsum3cvg  12126  summodclem2a  12129  prodfap0  12293  prodfrecap  12294  fproddccvg  12320  alginv  12806  algcvg  12807  algcvga  12810  algfx  12811  prmind2  12879  prmpwdvds  13115  lgsdir2lem4  16067