ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opprex GIF version

Theorem opprex 13245
Description: Existence of the opposite ring. If you know that 𝑅 is a ring, see opprring 13249. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
opprex.o 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
opprex (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑂 ∈ V)

Proof of Theorem opprex
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2177 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3 opprex.o . . 3 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
41, 2, 3opprvalg 13241 . 2 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘…)⟩))
5 mulrslid 12590 . . . . 5 (.r = Slot (.rβ€˜ndx) ∧ (.rβ€˜ndx) ∈ β„•)
65simpri 113 . . . 4 (.rβ€˜ndx) ∈ β„•
76a1i 9 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (.rβ€˜ndx) ∈ β„•)
85slotex 12489 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (.rβ€˜π‘…) ∈ V)
9 tposexg 6259 . . . 4 ((.rβ€˜π‘…) ∈ V β†’ tpos (.rβ€˜π‘…) ∈ V)
108, 9syl 14 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ tpos (.rβ€˜π‘…) ∈ V)
11 setsex 12494 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.rβ€˜ndx) ∈ β„• ∧ tpos (.rβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘…)⟩) ∈ V)
127, 10, 11mpd3an23 1339 . 2 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos (.rβ€˜π‘…)⟩) ∈ V)
134, 12eqeltrd 2254 1 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑂 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738  βŸ¨cop 3596  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  tpos ctpos 6245  β„•cn 8919  ndxcnx 12459   sSet csts 12460  Slot cslot 12461  Basecbs 12462  .rcmulr 12537  opprcoppr 13239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-tpos 6246  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-sets 12469  df-mulr 12550  df-oppr 13240
This theorem is referenced by:  oppr0g  13251  oppr1g  13252  opprnegg  13253
  Copyright terms: Public domain W3C validator