Theorem opprex 13629

Description: Existence of the opposite ring. If you know that 𝑅 is a ring, see opprring 13635. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprex.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprex	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ V)

Proof of Theorem opprex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		opprex.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4	1, 2, 3	opprvalg 13625	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
5		mulrslid 12809	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘ndx) ∈ ℕ)
8	5	slotex 12705	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
9		tposexg 6316	. . . 4 ⊢ ((.r‘𝑅) ∈ V → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
11		setsex 12710	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ tpos (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
12	7, 10, 11	mpd3an23 1350	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
13	4, 12	eqeltrd 2273	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ⟨cop 3625  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  tpos ctpos 6302  ℕcn 8990  ndxcnx 12675   sSet csts 12676  Slot cslot 12677  Basecbs 12678  ._rcmulr 12756  opp_rcoppr 13623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-tpos 6303  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-sets 12685  df-mulr 12769  df-oppr 13624

This theorem is referenced by:  opprrngbg  13634  oppr0g  13637  oppr1g  13638  opprnegg  13639  opprsubgg  13640  crngridl  14086