Theorem opprex 14051

Description: Existence of the opposite ring. If you know that 𝑅 is a ring, see opprring 14057. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprex.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprex	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ V)

Proof of Theorem opprex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		opprex.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4	1, 2, 3	opprvalg 14047	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
5		mulrslid 13180	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘ndx) ∈ ℕ)
8	5	slotex 13074	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
9		tposexg 6410	. . . 4 ⊢ ((.r‘𝑅) ∈ V → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
11		setsex 13079	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ tpos (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
12	7, 10, 11	mpd3an23 1373	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
13	4, 12	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  tpos ctpos 6396  ℕcn 9121  ndxcnx 13044   sSet csts 13045  Slot cslot 13046  Basecbs 13047  ._rcmulr 13126  opp_rcoppr 14045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-tpos 6397  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-sets 13054  df-mulr 13139  df-oppr 14046

This theorem is referenced by:  opprrngbg  14056  oppr0g  14059  oppr1g  14060  opprnegg  14061  opprsubgg  14062  crngridl  14509