Theorem opprex 14150

Description: Existence of the opposite ring. If you know that 𝑅 is a ring, see opprring 14156. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprex.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprex	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ V)

Proof of Theorem opprex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		opprex.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4	1, 2, 3	opprvalg 14146	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩))
5		mulrslid 13278	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	simpri 113	. . . 4 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘ndx) ∈ ℕ)
8	5	slotex 13172	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
9		tposexg 6467	. . . 4 ⊢ ((.r‘𝑅) ∈ V → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos (.r‘𝑅) ∈ V)
11		setsex 13177	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ tpos (.r‘𝑅) ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
12	7, 10, 11	mpd3an23 1376	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑅)⟩) ∈ V)
13	4, 12	eqeltrd 2308	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ⟨cop 3676  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  tpos ctpos 6453  ℕcn 9185  ndxcnx 13142   sSet csts 13143  Slot cslot 13144  Basecbs 13145  ._rcmulr 13224  opp_rcoppr 14144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-tpos 6454  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-sets 13152  df-mulr 13237  df-oppr 14145

This theorem is referenced by:  opprrngbg  14155  oppr0g  14158  oppr1g  14159  opprnegg  14160  opprsubgg  14161  crngridl  14609