Theorem ovmpod 6123

Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpod.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅))
ovmpod.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpod.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
ovmpod.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
ovmpod.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ovmpod	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅))
2		ovmpod.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑅 = 𝑆)
3		eqidd 2230	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐷)
4		ovmpod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
5		ovmpod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
6		ovmpod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ovmpodx 6122	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 5994   ∈ cmpo 5996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4626

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999

This theorem is referenced by:  ovmpoga  6125  fvmpopr2d  6132  elovmpod  6194  iseqovex  10667  seqvalcd  10670  swrdval  11166  pfxval  11192  resqrexlemp1rp  11503  resqrexlemfp1  11506  lcmval  12571  ennnfonelemg  12960  prdsval  13292  prdsplusgval  13302  prdsmulrval  13304  imasival  13325  qusval  13342  plusfvalg  13382  igsumvalx  13408  grpsubval  13565  mulgval  13645  dvrvald  14083  isrim0  14110  rhmval  14122  scafvalg  14256  rmodislmodlem  14299  rmodislmod  14300  psrval  14615  cnfval  14853  cnpfval  14854  blvalps  15047  blval  15048