Theorem ovmpod 6002

Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpod.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅))
ovmpod.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpod.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
ovmpod.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
ovmpod.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ovmpod	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅))
2		ovmpod.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑅 = 𝑆)
3		eqidd 2178	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐷)
4		ovmpod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
5		ovmpod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
6		ovmpod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ovmpodx 6001	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5875   ∈ cmpo 5877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880

This theorem is referenced by:  ovmpoga  6004  iseqovex  10456  seqvalcd  10459  resqrexlemp1rp  11015  resqrexlemfp1  11018  lcmval  12063  ennnfonelemg  12404  imasival  12727  qusval  12744  plusfvalg  12782  grpsubval  12919  mulgval  12986  dvrvald  13303  scafvalg  13397  rmodislmodlem  13440  rmodislmod  13441  cnfval  13697  cnpfval  13698  blvalps  13891  blval  13892