Theorem ovmpod 6189

Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpod.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅))
ovmpod.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpod.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
ovmpod.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
ovmpod.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ovmpod	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅))
2		ovmpod.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑅 = 𝑆)
3		eqidd 2235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐷)
4		ovmpod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
5		ovmpod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
6		ovmpod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ovmpodx 6188	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058   ∈ cmpo 6060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063

This theorem is referenced by:  ovmpoga  6191  fvmpopr2d  6198  elovmpod  6260  suppval  6450  iseqovex  10844  seqvalcd  10847  swrdval  11365  pfxval  11391  resqrexlemp1rp  11716  resqrexlemfp1  11719  lcmval  12785  ennnfonelemg  13238  prdsval  13570  prdsplusgval  13580  prdsmulrval  13582  imasival  13603  qusval  13620  plusfvalg  13660  igsumvalx  13686  grpsubval  13843  mulgval  13923  dvrvald  14364  isrim0  14391  rhmval  14403  scafvalg  14567  rmodislmodlem  14610  rmodislmod  14611  psrval  14926  cnfval  15171  cnpfval  15172  blvalps  15365  blval  15366