ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pfxccatin12lem4 Unicode version
Theorem pfxccatin12lem4 11217
Description: Lemma 4 for pfxccatin12 11224. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 23-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
pfxccatin12lem4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
Proof of Theorem pfxccatin12lem4
StepHypRef Expression
1 nn0z 9427 . . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
2 nn0z 9427 . . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
3 zsubcl 9448 . . . . . 6 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
41, 2, 3syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( L - M ) e. ZZ )
543adant3 1020 . . . 4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
6 elfzonelfzo 10396 . . . . 5 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
76imp 124 . . . 4 |- ( ( ( L - M ) e. ZZ /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
85, 7sylan 283 . . 3 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
9 nn0cn 9340 . . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
10 nn0cn 9340 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
11 zcn 9412 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
12 npncan3 8345 . . . . . . 7 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
139, 10, 11, 12syl3an 1292 . . . . . 6 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
1413oveq2d 5983 . . . . 5 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) = ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
1514eleq2d 2277 . . . 4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) <-> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
1615adantr 276 . . 3 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) <-> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
178, 16mpbird 167 . 2 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
1817ex 115 1 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   + caddc 7963   - cmin 8278   NN0cn0 9330   ZZcz 9407  ..^cfzo 10299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300
This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11224
  Copyright terms: Public domain W3C validator