ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pfxccatin12lem4 Unicode version
Theorem pfxccatin12lem4 11356
Description: Lemma 4 for pfxccatin12 11363. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 23-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
pfxccatin12lem4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
Proof of Theorem pfxccatin12lem4
StepHypRef Expression
1 nn0z 9543 . . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
2 nn0z 9543 . . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
3 zsubcl 9564 . . . . . 6 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
41, 2, 3syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( L - M ) e. ZZ )
543adant3 1044 . . . 4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
6 elfzonelfzo 10521 . . . . 5 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
76imp 124 . . . 4 |- ( ( ( L - M ) e. ZZ /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
85, 7sylan 283 . . 3 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
9 nn0cn 9454 . . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
10 nn0cn 9454 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
11 zcn 9528 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
12 npncan3 8459 . . . . . . 7 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
139, 10, 11, 12syl3an 1316 . . . . . 6 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
1413oveq2d 6044 . . . . 5 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) = ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
1514eleq2d 2301 . . . 4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) <-> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
1615adantr 276 . . 3 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) <-> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
178, 16mpbird 167 . 2 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
1817ex 115 1 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8073   0cc0 8075   + caddc 8078   - cmin 8392   NN0cn0 9444   ZZcz 9523  ..^cfzo 10422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423
This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11363
  Copyright terms: Public domain W3C validator