ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pfxccatin12lem4 Unicode version
Theorem pfxccatin12lem4 11418
Description: Lemma 4 for pfxccatin12 11425. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 23-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
pfxccatin12lem4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
Proof of Theorem pfxccatin12lem4
StepHypRef Expression
1 nn0z 9597 . . . . . 6 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
2 nn0z 9597 . . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
3 zsubcl 9618 . . . . . 6 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
41, 2, 3syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( L - M ) e. ZZ )
543adant3 1044 . . . 4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
6 elfzonelfzo 10575 . . . . 5 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
76imp 124 . . . 4 |- ( ( ( L - M ) e. ZZ /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
85, 7sylan 283 . . 3 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
9 nn0cn 9506 . . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
10 nn0cn 9506 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
11 zcn 9582 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
12 npncan3 8511 . . . . . . 7 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
139, 10, 11, 12syl3an 1316 . . . . . 6 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
1413oveq2d 6066 . . . . 5 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) = ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) )
1514eleq2d 2302 . . . 4 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) <-> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
1615adantr 276 . . 3 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) <-> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
178, 16mpbird 167 . 2 |- ( ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
1817ex 115 1 |- ( ( L e. NN0 /\ M e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   + caddc 8130   - cmin 8444   NN0cn0 9496   ZZcz 9577  ..^cfzo 10476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477
This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11425
  Copyright terms: Public domain W3C validator