Theorem pfxccatin12lem4 11443

Description: Lemma 4 for pfxccatin12 11450. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 23-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem4	⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9614	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
2		nn0z 9614	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	4	3adant3 1044	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6		elfzonelfzo 10597	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
7	6	imp 124	. . . 4 ⊢ (((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)))
8	5, 7	sylan 283	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)))
9		nn0cn 9523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
10		nn0cn 9523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
11		zcn 9599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
12		npncan3 8527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
13	9, 10, 11, 12	syl3an 1316	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
14	13	oveq2d 6074	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) = ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)))
15	14	eleq2d 2304	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) ↔ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
16	15	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) ↔ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
17	8, 16	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
18	17	ex 115	1 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143   + caddc 8146   − cmin 8460  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ..^cfzo 10498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11450