Theorem pfxccatin12lem2a 11307

Description: Lemma for pfxccatin12lem2 11311. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2a	|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10249	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) )
2		zsubcl 9519	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
3	2	3adant1 1041	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 121	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( L - M ) e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7		elfzonelfzo 10474	. . 3 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
9		elfzoelz 10381	. . . 4 |- ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> K e. ZZ )
10		elfzelz 10259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( L ... X ) -> N e. ZZ )
11		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> L e. ZZ )
12		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
13	11, 12	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
14		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
16	14, 15	anim12ci 339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
17	13, 16	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) )
18	17	exp32 365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. ZZ -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
19	10, 18	syl5 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
20	19	3adant1 1041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
22	1, 21	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
23	22	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) )
24	23	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) )
25		elfzomelpfzo 10475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ N ) ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ N ) ) )
27		elfz2 10249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
28		simpl3 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> N e. ZZ )
29		simpl2 1027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> X e. ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> N <_ X )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> N <_ X )
32	28, 29, 31	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
33	27, 32	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
36		eluz2 9760	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
37	35, 36	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> X e. ( ZZ>= ` N ) )
38		fzoss2 10408	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( ZZ>= ` N ) -> ( L..^ N ) C_ ( L..^ X ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( L..^ N ) C_ ( L..^ X ) )
40	39	sseld 3226	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( ( K + M ) e. ( L..^ N ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
41	26, 40	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
42	41	ex 115	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) ) )
43	42	com23 78	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) ) )
44	9, 43	mpcom 36	. . 3 |- ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
45	44	com12 30	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
46	8, 45	syld 45	1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   + caddc 8034   <_ cle 8214   - cmin 8349   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242  ..^cfzo 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  11311