Theorem pfxccatin12lem2a 11419

Description: Lemma for pfxccatin12lem2 11423. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2a	|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10349	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) )
2		zsubcl 9618	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
3	2	3adant1 1042	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 121	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( L - M ) e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7		elfzonelfzo 10575	. . 3 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
9		elfzoelz 10481	. . . 4 |- ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> K e. ZZ )
10		elfzelz 10359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( L ... X ) -> N e. ZZ )
11		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> L e. ZZ )
12		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
13	11, 12	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
14		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
16	14, 15	anim12ci 339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
17	13, 16	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) )
18	17	exp32 365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. ZZ -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
19	10, 18	syl5 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
20	19	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
22	1, 21	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) ) )
23	22	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) ) )
24	23	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) )
25		elfzomelpfzo 10576	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ N ) ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ N ) ) )
27		elfz2 10349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
28		simpl3 1029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> N e. ZZ )
29		simpl2 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> X e. ZZ )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> N <_ X )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> N <_ X )
32	28, 29, 31	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
33	27, 32	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
36		eluz2 9859	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N <_ X ) )
37	35, 36	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> X e. ( ZZ>= ` N ) )
38		fzoss2 10508	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( ZZ>= ` N ) -> ( L..^ N ) C_ ( L..^ X ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( L..^ N ) C_ ( L..^ X ) )
40	39	sseld 3237	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( ( K + M ) e. ( L..^ N ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
41	26, 40	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
42	41	ex 115	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) ) )
43	42	com23 78	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) ) )
44	9, 43	mpcom 36	. . 3 |- ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
45	44	com12 30	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )
46	8, 45	syld 45	1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   0cc0 8127   + caddc 8130   <_ cle 8309   - cmin 8444   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853   ...cfz 10342  ..^cfzo 10476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  11423