Theorem oppraddg 13953

Description: Addition operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	|- O = (oppr ` R )
oppradd.2	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
oppraddg	|- ( R e. V -> .+ = ( +g ` O ) )

Proof of Theorem oppraddg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppradd.2	. 2 |- .+ = ( +g ` R )
2		opprbas.1	. . 3 |- O = (oppr ` R )
3		plusgslid 13059	. . 3 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
4		plusgndxnmulrndx 13080	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
5	2, 3, 4	opprsllem 13951	. 2 |- ( R e. V -> ( +g ` R ) = ( +g ` O ) )
6	1, 5	eqtrid 2252	1 |- ( R e. V -> .+ = ( +g ` O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290   +g cplusg 13024  opp_rcoppr 13944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-tpos 6354  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-oppr 13945

This theorem is referenced by:  opprrng  13954  opprrngbg  13955  opprring  13956  opprringbg  13957  oppr0g  13958  opprnegg  13960  opprsubgg  13961  mulgass3  13962  rhmopp  14053  crngridl  14407