Theorem oppraddg 14237

Description: Addition operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	|- O = (oppr ` R )
oppradd.2	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
oppraddg	|- ( R e. V -> .+ = ( +g ` O ) )

Proof of Theorem oppraddg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppradd.2	. 2 |- .+ = ( +g ` R )
2		opprbas.1	. . 3 |- O = (oppr ` R )
3		plusgslid 13342	. . 3 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
4		plusgndxnmulrndx 13363	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
5	2, 3, 4	opprsllem 14235	. 2 |- ( R e. V -> ( +g ` R ) = ( +g ` O ) )
6	1, 5	eqtrid 2279	1 |- ( R e. V -> .+ = ( +g ` O ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5354   +g cplusg 13307  opp_rcoppr 14228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-tpos 6478  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-sets 13236  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-oppr 14229

This theorem is referenced by:  opprrng  14238  opprrngbg  14239  opprring  14240  opprringbg  14241  oppr0g  14242  opprnegg  14244  opprsubgg  14245  mulgass3  14246  rhmopp  14338  crngridl  14695