Theorem plusgndxnmulrndx 12111

Description: The slot for the group (addition) operation is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
plusgndxnmulrndx	⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Proof of Theorem plusgndxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgndx 12091	. 2 ⊢ (+g‘ndx) = 2
2		2re 8814	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2lt3 8914	. . . 4 ⊢ 2 < 3
4	2, 3	ltneii 7884	. . 3 ⊢ 2 ≠ 3
5		mulrndx 12108	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
6	4, 5	neeqtrri 2338	. 2 ⊢ 2 ≠ (.r‘ndx)
7	1, 6	eqnetri 2332	1 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2309  ‘cfv 5131  2c2 8795  3c3 8796  ndxcnx 11995  +_gcplusg 12060  ._rcmulr 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-ndx 12001  df-slot 12002  df-plusg 12073  df-mulr 12074

This theorem is referenced by: (None)