ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclem4 Unicode version

Theorem prarloclem4 7497
Description: A slight rearrangement of prarloclem3 7496. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem4  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L )  /\  P  e.  Q. )  ->  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  (
( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  x ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. j  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. j ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( j  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    j, L, x, y    P, j, x, y    U, j, x, y

Proof of Theorem prarloclem4
StepHypRef Expression
1 prarloclem3 7496 . . . . 5  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L )  /\  (
x  e.  om  /\  P  e.  Q. )  /\  E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  x ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )  ->  E. j  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. j ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( j  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) )
213expia 1205 . . . 4  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L )  /\  (
x  e.  om  /\  P  e.  Q. )
)  ->  ( E. y  e.  om  (
( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  x ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. j  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. j ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( j  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
32ancom2s 566 . . 3  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L )  /\  ( P  e.  Q.  /\  x  e.  om ) )  -> 
( E. y  e. 
om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  x ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. j  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. j ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( j  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
43anassrs 400 . 2  |-  ( ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L )  /\  P  e.  Q. )  /\  x  e.  om )  ->  ( E. y  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  x ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. j  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. j ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( j  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
54rexlimdva 2594 1  |-  ( ( ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L )  /\  P  e.  Q. )  ->  ( E. x  e.  om  E. y  e.  om  (
( A +Q0  ( [ <. y ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P ) )  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  x ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
)  ->  E. j  e.  om  ( ( A +Q0  ( [ <. j ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  P )
)  e.  L  /\  ( A  +Q  ( [ <. ( j  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  e.  U
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   E.wrex 2456   <.cop 3596   omcom 4590  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   2oc2o 6411    +o coa 6414   [cec 6533    ~Q ceq 7278   Q.cnq 7279    +Q cplq 7281    .Q cmq 7282   ~Q0 ceq0 7285   +Q0 cplq0 7288   ·Q0 cmq0 7289   P.cnp 7290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465
This theorem is referenced by:  prarloclem  7500
  Copyright terms: Public domain W3C validator