Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > prarloclem5 | Unicode version |
Description: A substitution of zero for and minus two for . Lemma for prarloc 7279. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
prarloclem5 | +Q0 ~Q0 ·Q0 |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prarloclemn 7275 | . . . 4 | |
2 | 1 | 3adant2 985 | . . 3 |
3 | 2 | 3ad2ant2 988 | . 2 |
4 | elprnql 7257 | . . . . . . 7 | |
5 | 4 | 3ad2ant1 987 | . . . . . 6 |
6 | simp22 1000 | . . . . . 6 | |
7 | nqnq0 7217 | . . . . . . . . 9 Q0 | |
8 | 7 | sseli 3063 | . . . . . . . 8 Q0 |
9 | nq0a0 7233 | . . . . . . . 8 Q0 +Q0 0Q0 | |
10 | 8, 9 | syl 14 | . . . . . . 7 +Q0 0Q0 |
11 | df-0nq0 7202 | . . . . . . . . . 10 0Q0 ~Q0 | |
12 | 11 | oveq1i 5752 | . . . . . . . . 9 0Q0 ·Q0 ~Q0 ·Q0 |
13 | 7 | sseli 3063 | . . . . . . . . . 10 Q0 |
14 | nq0m0r 7232 | . . . . . . . . . 10 Q0 0Q0 ·Q0 0Q0 | |
15 | 13, 14 | syl 14 | . . . . . . . . 9 0Q0 ·Q0 0Q0 |
16 | 12, 15 | syl5reqr 2165 | . . . . . . . 8 0Q0 ~Q0 ·Q0 |
17 | 16 | oveq2d 5758 | . . . . . . 7 +Q0 0Q0 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
18 | 10, 17 | sylan9req 2171 | . . . . . 6 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
19 | 5, 6, 18 | syl2anc 408 | . . . . 5 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
20 | simp1r 991 | . . . . 5 | |
21 | 19, 20 | eqeltrrd 2195 | . . . 4 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
22 | 2onn 6385 | . . . . . . . . . . . . . . 15 | |
23 | nna0r 6342 | . . . . . . . . . . . . . . 15 | |
24 | 22, 23 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . . . 14 |
25 | 24 | oveq1i 5752 | . . . . . . . . . . . . 13 |
26 | 25 | eqeq1i 2125 | . . . . . . . . . . . 12 |
27 | 26 | biimpri 132 | . . . . . . . . . . 11 |
28 | 27 | opeq1d 3681 | . . . . . . . . . 10 |
29 | 28 | eceq1d 6433 | . . . . . . . . 9 |
30 | 29 | oveq1d 5757 | . . . . . . . 8 |
31 | 30 | oveq2d 5758 | . . . . . . 7 |
32 | 31 | eleq1d 2186 | . . . . . 6 |
33 | 32 | biimprcd 159 | . . . . 5 |
34 | 33 | 3ad2ant3 989 | . . . 4 |
35 | peano1 4478 | . . . . 5 | |
36 | opeq1 3675 | . . . . . . . . . . 11 | |
37 | 36 | eceq1d 6433 | . . . . . . . . . 10 ~Q0 ~Q0 |
38 | 37 | oveq1d 5757 | . . . . . . . . 9 ~Q0 ·Q0 ~Q0 ·Q0 |
39 | 38 | oveq2d 5758 | . . . . . . . 8 +Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
40 | 39 | eleq1d 2186 | . . . . . . 7 +Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
41 | oveq1 5749 | . . . . . . . . . . . . 13 | |
42 | 41 | oveq1d 5757 | . . . . . . . . . . . 12 |
43 | 42 | opeq1d 3681 | . . . . . . . . . . 11 |
44 | 43 | eceq1d 6433 | . . . . . . . . . 10 |
45 | 44 | oveq1d 5757 | . . . . . . . . 9 |
46 | 45 | oveq2d 5758 | . . . . . . . 8 |
47 | 46 | eleq1d 2186 | . . . . . . 7 |
48 | 40, 47 | anbi12d 464 | . . . . . 6 +Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
49 | 48 | rspcev 2763 | . . . . 5 +Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
50 | 35, 49 | mpan 420 | . . . 4 +Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
51 | 21, 34, 50 | syl6an 1395 | . . 3 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
52 | 51 | reximdv 2510 | . 2 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
53 | 3, 52 | mpd 13 | 1 +Q0 ~Q0 ·Q0 |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: wi 4 wa 103 w3a 947 wceq 1316 wcel 1465 wrex 2394 c0 3333 cop 3500 class class class wbr 3899 com 4474 (class class class)co 5742 c1o 6274 c2o 6275 coa 6278 cec 6395 cnpi 7048 clti 7051 ceq 7055 cnq 7056 cplq 7058 cmq 7059 ~Q0 ceq0 7062 Q0cnq0 7063 0Q0c0q0 7064 +Q0 cplq0 7065 ·Q0 cmq0 7066 cnp 7067 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 588 ax-in2 589 ax-io 683 ax-5 1408 ax-7 1409 ax-gen 1410 ax-ie1 1454 ax-ie2 1455 ax-8 1467 ax-10 1468 ax-11 1469 ax-i12 1470 ax-bndl 1471 ax-4 1472 ax-13 1476 ax-14 1477 ax-17 1491 ax-i9 1495 ax-ial 1499 ax-i5r 1500 ax-ext 2099 ax-coll 4013 ax-sep 4016 ax-nul 4024 ax-pow 4068 ax-pr 4101 ax-un 4325 ax-setind 4422 ax-iinf 4472 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 805 df-3or 948 df-3an 949 df-tru 1319 df-fal 1322 df-nf 1422 df-sb 1721 df-eu 1980 df-mo 1981 df-clab 2104 df-cleq 2110 df-clel 2113 df-nfc 2247 df-ne 2286 df-ral 2398 df-rex 2399 df-reu 2400 df-rab 2402 df-v 2662 df-sbc 2883 df-csb 2976 df-dif 3043 df-un 3045 df-in 3047 df-ss 3054 df-nul 3334 df-pw 3482 df-sn 3503 df-pr 3504 df-op 3506 df-uni 3707 df-int 3742 df-iun 3785 df-br 3900 df-opab 3960 df-mpt 3961 df-tr 3997 df-eprel 4181 df-id 4185 df-iord 4258 df-on 4260 df-suc 4263 df-iom 4475 df-xp 4515 df-rel 4516 df-cnv 4517 df-co 4518 df-dm 4519 df-rn 4520 df-res 4521 df-ima 4522 df-iota 5058 df-fun 5095 df-fn 5096 df-f 5097 df-f1 5098 df-fo 5099 df-f1o 5100 df-fv 5101 df-ov 5745 df-oprab 5746 df-mpo 5747 df-1st 6006 df-2nd 6007 df-recs 6170 df-irdg 6235 df-1o 6281 df-2o 6282 df-oadd 6285 df-omul 6286 df-er 6397 df-ec 6399 df-qs 6403 df-ni 7080 df-mi 7082 df-lti 7083 df-enq 7123 df-nqqs 7124 df-enq0 7200 df-nq0 7201 df-0nq0 7202 df-plq0 7203 df-mq0 7204 df-inp 7242 |
This theorem is referenced by: prarloclem 7277 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |