Theorem qusbas 12747

Description: Base set of a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusbas.u	|- ( ph -> U = ( R /.s .~ ) )
qusbas.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
qusbas.e	|- ( ph -> .~ e. W )
qusbas.r	|- ( ph -> R e. Z )

Assertion

Ref	Expression
qusbas	|- ( ph -> ( V /. .~ ) = ( Base ` U ) )

Proof of Theorem qusbas

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusbas.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( R /.s .~ ) )
2		qusbas.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		eqid 2177	. . 3 |- ( x e. V |-> [ x ] .~ ) = ( x e. V |-> [ x ] .~ )
4		qusbas.e	. . 3 |- ( ph -> .~ e. W )
5		qusbas.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Z )
6	1, 2, 3, 4, 5	qusval 12744	. 2 |- ( ph -> U = ( ( x e. V |-> [ x ] .~ ) "s R ) )
7	1, 2, 3, 4, 5	quslem 12745	. 2 |- ( ph -> ( x e. V |-> [ x ] .~ ) : V -onto-> ( V /. .~ ) )
8	6, 2, 7, 5	imasbas 12728	1 |- ( ph -> ( V /. .~ ) = ( Base ` U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   |-> cmpt 4065   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   [cec 6533   /.cqs 6534   Basecbs 12462   /._s cqus 12721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-tp 3601  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-ec 6537  df-qs 6541  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-iimas 12723  df-qus 12724

This theorem is referenced by: (None)