Theorem qusbas 13360

Description: Base set of a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusbas.u	|- ( ph -> U = ( R /.s .~ ) )
qusbas.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
qusbas.e	|- ( ph -> .~ e. W )
qusbas.r	|- ( ph -> R e. Z )

Assertion

Ref	Expression
qusbas	|- ( ph -> ( V /. .~ ) = ( Base ` U ) )

Proof of Theorem qusbas

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusbas.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( R /.s .~ ) )
2		qusbas.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( x e. V |-> [ x ] .~ ) = ( x e. V |-> [ x ] .~ )
4		qusbas.e	. . 3 |- ( ph -> .~ e. W )
5		qusbas.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Z )
6	1, 2, 3, 4, 5	qusval 13356	. 2 |- ( ph -> U = ( ( x e. V |-> [ x ] .~ ) "s R ) )
7	1, 2, 3, 4, 5	quslem 13357	. 2 |- ( ph -> ( x e. V |-> [ x ] .~ ) : V -onto-> ( V /. .~ ) )
8	6, 2, 7, 5	imasbas 13340	1 |- ( ph -> ( V /. .~ ) = ( Base ` U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   [cec 6678   /.cqs 6679   Basecbs 13032   /._s cqus 13333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-ec 6682  df-qs 6686  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-iimas 13335  df-qus 13336

This theorem is referenced by:  quselbasg  13767  quseccl0g  13768  quscrng  14497  znbas  14608