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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > reapmul1 | Unicode version |
Description: Multiplication of both sides of real apartness by a real number apart from zero. Special case of apmul1 8572. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
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reapmul1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 0re 7790 |
. . . . 5
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2 | reaplt 8374 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | mpan2 422 |
. . . 4
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4 | 3 | pm5.32i 450 |
. . 3
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5 | simp1 982 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | 5 | recnd 7818 |
. . . . . . . . . 10
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7 | simp3l 1010 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | 7 | recnd 7818 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 6, 8 | mulneg2d 8198 |
. . . . . . . . 9
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10 | simp2 983 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 10 | recnd 7818 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 11, 8 | mulneg2d 8198 |
. . . . . . . . 9
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13 | 9, 12 | breq12d 3950 |
. . . . . . . 8
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14 | 7 | renegcld 8166 |
. . . . . . . . 9
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15 | simp3r 1011 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 7 | lt0neg1d 8301 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 15, 16 | mpbid 146 |
. . . . . . . . 9
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18 | reapmul1lem 8380 |
. . . . . . . . 9
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19 | 5, 10, 14, 17, 18 | syl112anc 1221 |
. . . . . . . 8
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20 | 5, 7 | remulcld 7820 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 10, 7 | remulcld 7820 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 20, 21 | ltnegd 8309 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 21, 20 | ltnegd 8309 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 22, 23 | orbi12d 783 |
. . . . . . . . 9
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25 | reaplt 8374 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 20, 21, 25 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
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27 | 20 | renegcld 8166 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 21 | renegcld 8166 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | reaplt 8374 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 27, 28, 29 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
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31 | orcom 718 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 30, 31 | syl6bb 195 |
. . . . . . . . 9
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33 | 24, 26, 32 | 3bitr4d 219 |
. . . . . . . 8
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34 | 13, 19, 33 | 3bitr4d 219 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | 3expa 1182 |
. . . . . 6
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36 | 35 | anassrs 398 |
. . . . 5
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37 | reapmul1lem 8380 |
. . . . . . 7
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38 | 37 | 3expa 1182 |
. . . . . 6
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39 | 38 | anassrs 398 |
. . . . 5
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40 | 36, 39 | jaodan 787 |
. . . 4
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41 | 40 | anasss 397 |
. . 3
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42 | 4, 41 | sylan2b 285 |
. 2
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43 | 42 | 3impa 1177 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-br 3938 df-opab 3998 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-ltxr 7829 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 |
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