Theorem reaplt 8126

Description: Real apartness in terms of less than. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reaplt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )

Proof of Theorem reaplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apreap 8125	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> A #ℝ B ) )
2		reapval 8114	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A #ℝ B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
3	1, 2	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 665   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   RRcr 7410   < clt 7583   #_ℝ creap 8112   # cap 8119

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-ltxr 7588  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120

This theorem is referenced by:  reapltxor  8127  1ap0  8128  reapmul1lem  8132  reapmul1  8133  reapadd1  8134  reapneg  8135  reapcotr  8136  remulext1  8137  apsqgt0  8139  apsym  8144  msqge0  8154  mulge0  8157  leltap  8162  gt0ap0  8163  ltleap  8168  ltap  8169  ap0gt0  8176  recexaplem2  8182  zapne  8882  qlttri2  9187  apbtwnz  9742  sq11ap  10181  nn0opthd  10191  recvguniq  10489  sqrt11ap  10532  ltabs  10581