Theorem reaplt 8746

Description: Real apartness in terms of less than. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reaplt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )

Proof of Theorem reaplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apreap 8745	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> A #ℝ B ) )
2		reapval 8734	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A #ℝ B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
3	1, 2	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 8009   < clt 8192   #_ℝ creap 8732   # cap 8739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740

This theorem is referenced by:  reapltxor  8747  1ap0  8748  reapmul1lem  8752  reapmul1  8753  reapadd1  8754  reapneg  8755  reapcotr  8756  remulext1  8757  apsqgt0  8759  apsym  8764  msqge0  8774  mulge0  8777  leltap  8783  gt0ap0  8784  ltleap  8790  ltap  8791  ap0gt0  8798  recexaplem2  8810  zapne  9532  qlttri2  9848  apbtwnz  10506  sq11ap  10941  nn0opthd  10956  recvguniq  11521  sqrt11ap  11564  ltabs  11613  sinltxirr  12287  reopnap  15235  dedekindeu  15312  dedekindicclemicc  15321  ivthinc  15332  reapef  15467  coseq0q4123  15523  cos11  15542  logrpap0b  15565  triap  16457  trirec0  16472  apdifflemf  16474  neapmkvlem  16495