Theorem reaplt 8924

Description: Real apartness in terms of less than. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reaplt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )

Proof of Theorem reaplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apreap 8923	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> A #ℝ B ) )
2		reapval 8912	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A #ℝ B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
3	1, 2	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   #_ℝ creap 8910   # cap 8917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918

This theorem is used by:  reapltxor  8925  1ap0  8926  reapmul1lem  8930  reapmul1  8931  reapadd1  8932  reapneg  8933  reapcotr  8934  remulext1  8935  apsqgt0  8937  apsym  8942  msqge0  8952  mulge0  8955  leltap  8961  gt0ap0  8962  ltleap  8968  ltap  8969  ap0gt0  8976  recexaplem2  8988  zapne  9730  qlttri2  10057  apbtwnz  10726  flaplt  10739  sq11ap  11166  nn0opthd  11182  recvguniq  11783  sqrt11ap  11826  ltabs  11876  sinltxirr  12553  reopnap  15772  dedekindeu  15849  dedekindicclemicc  15858  ivthinc  15869  reapef  16004  coseq0q4123  16061  cos11  16081  logrpap0b  16106  triap  17284  trirec0  17300  apdifflemf  17302  neapmkvlem  17324