Theorem recexprlemlol 7999

Description: The lower cut of B is lower. Lemma for recexpr 8011. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlemlol	|- ( ( A e. P. /\ q e. Q. ) -> ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) ) )

Distinct variable groups:   r, q, x, y, A   B, q, r, x, y

Proof of Theorem recexprlemlol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7771	. . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
2		ltrelnq 7738	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	sotri 5186	. . . . . . . 8 |- ( ( q <Q r /\ r <Q y ) -> q <Q y )
4	3	ex 115	. . . . . . 7 |- ( q <Q r -> ( r <Q y -> q <Q y ) )
5	4	anim1d 336	. . . . . 6 |- ( q <Q r -> ( ( r <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) -> ( q <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) ) )
6	5	eximdv 1933	. . . . 5 |- ( q <Q r -> ( E. y ( r <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. y ( q <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) ) )
7		recexpr.1	. . . . . 6 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
8	7	recexprlemell 7995	. . . . 5 |- ( r e. ( 1st ` B ) <-> E. y ( r <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) )
9	7	recexprlemell 7995	. . . . 5 |- ( q e. ( 1st ` B ) <-> E. y ( q <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) )
10	6, 8, 9	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( q <Q r -> ( r e. ( 1st ` B ) -> q e. ( 1st ` B ) ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) )
12	11	rexlimivw 2664	. 2 |- ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) )
13	12	a1i 9	1 |- ( ( A e. P. /\ q e. Q. ) -> ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   <.cop 3712   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   1stc1st 6376   2ndc2nd 6377   Q.cnq 7653   *Qcrq 7657   <Q cltq 7658   P.cnp 7664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-mi 7679  df-lti 7680  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-ltnqqs 7726

This theorem is used by:  recexprlemrnd  8002