Theorem recexprlemlol 7541

Description: The lower cut of B is lower. Lemma for recexpr 7553. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlemlol	|- ( ( A e. P. /\ q e. Q. ) -> ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) ) )

Distinct variable groups:   r, q, x, y, A   B, q, r, x, y

Proof of Theorem recexprlemlol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7313	. . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
2		ltrelnq 7280	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	sotri 4980	. . . . . . . 8 |- ( ( q <Q r /\ r <Q y ) -> q <Q y )
4	3	ex 114	. . . . . . 7 |- ( q <Q r -> ( r <Q y -> q <Q y ) )
5	4	anim1d 334	. . . . . 6 |- ( q <Q r -> ( ( r <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) -> ( q <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) ) )
6	5	eximdv 1860	. . . . 5 |- ( q <Q r -> ( E. y ( r <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. y ( q <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) ) )
7		recexpr.1	. . . . . 6 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
8	7	recexprlemell 7537	. . . . 5 |- ( r e. ( 1st ` B ) <-> E. y ( r <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) )
9	7	recexprlemell 7537	. . . . 5 |- ( q e. ( 1st ` B ) <-> E. y ( q <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) )
10	6, 8, 9	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( q <Q r -> ( r e. ( 1st ` B ) -> q e. ( 1st ` B ) ) )
11	10	imp 123	. . 3 |- ( ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) )
12	11	rexlimivw 2570	. 2 |- ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) )
13	12	a1i 9	1 |- ( ( A e. P. /\ q e. Q. ) -> ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   {cab 2143   E.wrex 2436   <.cop 3563   class class class wbr 3965   ` cfv 5169   1stc1st 6083   2ndc2nd 6084   Q.cnq 7195   *Qcrq 7199   <Q cltq 7200   P.cnp 7206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-oadd 6364  df-omul 6365  df-er 6477  df-ec 6479  df-qs 6483  df-ni 7219  df-mi 7221  df-lti 7222  df-enq 7262  df-nqqs 7263  df-ltnqqs 7268

This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  7544