Theorem recexprlemlol 7656

Description: The lower cut of B is lower. Lemma for recexpr 7668. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlemlol	|- ( ( A e. P. /\ q e. Q. ) -> ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) ) )

Distinct variable groups:   r, q, x, y, A   B, q, r, x, y

Proof of Theorem recexprlemlol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7428	. . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
2		ltrelnq 7395	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	sotri 5042	. . . . . . . 8 |- ( ( q <Q r /\ r <Q y ) -> q <Q y )
4	3	ex 115	. . . . . . 7 |- ( q <Q r -> ( r <Q y -> q <Q y ) )
5	4	anim1d 336	. . . . . 6 |- ( q <Q r -> ( ( r <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) -> ( q <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) ) )
6	5	eximdv 1891	. . . . 5 |- ( q <Q r -> ( E. y ( r <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. y ( q <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) ) )
7		recexpr.1	. . . . . 6 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
8	7	recexprlemell 7652	. . . . 5 |- ( r e. ( 1st ` B ) <-> E. y ( r <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) )
9	7	recexprlemell 7652	. . . . 5 |- ( q e. ( 1st ` B ) <-> E. y ( q <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) )
10	6, 8, 9	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( q <Q r -> ( r e. ( 1st ` B ) -> q e. ( 1st ` B ) ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) )
12	11	rexlimivw 2603	. 2 |- ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) )
13	12	a1i 9	1 |- ( ( A e. P. /\ q e. Q. ) -> ( E. r e. Q. ( q <Q r /\ r e. ( 1st ` B ) ) -> q e. ( 1st ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   {cab 2175   E.wrex 2469   <.cop 3610   class class class wbr 4018   ` cfv 5235   1stc1st 6164   2ndc2nd 6165   Q.cnq 7310   *Qcrq 7314   <Q cltq 7315   P.cnp 7321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-mi 7336  df-lti 7337  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-ltnqqs 7383

This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  7659