Theorem recexprlemupu 7630

Description: The upper cut of B is upper. Lemma for recexpr 7640. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlemupu	|- ( ( A e. P. /\ r e. Q. ) -> ( E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` B ) ) )

Distinct variable groups:   r, q, x, y, A   B, q, r, x, y

Proof of Theorem recexprlemupu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7400	. . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
2		ltrelnq 7367	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	sotri 5026	. . . . . . . 8 |- ( ( y <Q q /\ q <Q r ) -> y <Q r )
4	3	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( q <Q r -> ( y <Q q -> y <Q r ) )
5	4	anim1d 336	. . . . . 6 |- ( q <Q r -> ( ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) -> ( y <Q r /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
6	5	eximdv 1880	. . . . 5 |- ( q <Q r -> ( E. y ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y <Q r /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
7		recexpr.1	. . . . . 6 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
8	7	recexprlemelu 7625	. . . . 5 |- ( q e. ( 2nd ` B ) <-> E. y ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) )
9	7	recexprlemelu 7625	. . . . 5 |- ( r e. ( 2nd ` B ) <-> E. y ( y <Q r /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) )
10	6, 8, 9	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( q <Q r -> ( q e. ( 2nd ` B ) -> r e. ( 2nd ` B ) ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` B ) )
12	11	rexlimivw 2590	. 2 |- ( E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` B ) )
13	12	a1i 9	1 |- ( ( A e. P. /\ r e. Q. ) -> ( E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   <.cop 3597   class class class wbr 4005   ` cfv 5218   1stc1st 6142   2ndc2nd 6143   Q.cnq 7282   *Qcrq 7286   <Q cltq 7287   P.cnp 7293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-mi 7308  df-lti 7309  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-ltnqqs 7355

This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  7631