Theorem recexprlemupu 7436

Description: The upper cut of B is upper. Lemma for recexpr 7446. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlemupu	|- ( ( A e. P. /\ r e. Q. ) -> ( E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` B ) ) )

Distinct variable groups:   r, q, x, y, A   B, q, r, x, y

Proof of Theorem recexprlemupu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsonq 7206	. . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
2		ltrelnq 7173	. . . . . . . . 9 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	1, 2	sotri 4934	. . . . . . . 8 |- ( ( y <Q q /\ q <Q r ) -> y <Q r )
4	3	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( q <Q r -> ( y <Q q -> y <Q r ) )
5	4	anim1d 334	. . . . . 6 |- ( q <Q r -> ( ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) -> ( y <Q r /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
6	5	eximdv 1852	. . . . 5 |- ( q <Q r -> ( E. y ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y <Q r /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
7		recexpr.1	. . . . . 6 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
8	7	recexprlemelu 7431	. . . . 5 |- ( q e. ( 2nd ` B ) <-> E. y ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) )
9	7	recexprlemelu 7431	. . . . 5 |- ( r e. ( 2nd ` B ) <-> E. y ( y <Q r /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) )
10	6, 8, 9	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( q <Q r -> ( q e. ( 2nd ` B ) -> r e. ( 2nd ` B ) ) )
11	10	imp 123	. . 3 |- ( ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` B ) )
12	11	rexlimivw 2545	. 2 |- ( E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` B ) )
13	12	a1i 9	1 |- ( ( A e. P. /\ r e. Q. ) -> ( E. q e. Q. ( q <Q r /\ q e. ( 2nd ` B ) ) -> r e. ( 2nd ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   E.wrex 2417   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037   Q.cnq 7088   *Qcrq 7092   <Q cltq 7093   P.cnp 7099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-mi 7114  df-lti 7115  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-ltnqqs 7161

This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  7437