ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recrecnq Unicode version

Theorem recrecnq 7166
Description: Reciprocal of reciprocal of positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
recrecnq  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( *Q `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem recrecnq
StepHypRef Expression
1 recclnq 7164 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  A )  e. 
Q. )
2 mulcomnqg 7155 . . . 4  |-  ( ( ( *Q `  A
)  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  .Q  A
)  =  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) )
31, 2mpancom 416 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  A )  =  ( A  .Q  ( *Q `  A ) ) )
4 recidnq 7165 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( *Q `  A ) )  =  1Q )
53, 4eqtrd 2148 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( *Q `  A
)  .Q  A )  =  1Q )
6 recmulnqg 7163 . . 3  |-  ( ( ( *Q `  A
)  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( *Q `  A ) )  =  A  <->  ( ( *Q `  A )  .Q  A )  =  1Q ) )
71, 6mpancom 416 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( *Q `  A ) )  =  A  <->  ( ( *Q `  A )  .Q  A )  =  1Q ) )
85, 7mpbird 166 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( *Q `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   Q.cnq 7052   1Qc1q 7053    .Q cmq 7055   *Qcrq 7056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-mi 7078  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124
This theorem is referenced by:  recexprlemm  7396  recexprlemloc  7403  archrecnq  7435
  Copyright terms: Public domain W3C validator