Theorem recrecnq 7407

Description: Reciprocal of reciprocal of positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recrecnq	|- ( A e. Q. -> ( *Q ` ( *Q ` A ) ) = A )

Proof of Theorem recrecnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7405	. . . 4 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )
2		mulcomnqg 7396	. . . 4 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) .Q A ) = ( A .Q ( *Q ` A ) ) )
3	1, 2	mpancom 422	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q A ) = ( A .Q ( *Q ` A ) ) )
4		recidnq 7406	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )
5	3, 4	eqtrd 2220	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` A ) .Q A ) = 1Q )
6		recmulnqg 7404	. . 3 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( *Q ` A ) ) = A <-> ( ( *Q ` A ) .Q A ) = 1Q ) )
7	1, 6	mpancom 422	. 2 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` ( *Q ` A ) ) = A <-> ( ( *Q ` A ) .Q A ) = 1Q ) )
8	5, 7	mpbird 167	1 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` ( *Q ` A ) ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Q.cnq 7293   1Qc1q 7294   .Q cmq 7296   *Qcrq 7297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-mi 7319  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365

This theorem is referenced by:  recexprlemm  7637  recexprlemloc  7644  archrecnq  7676