Theorem recrecnq 7412

Description: Reciprocal of reciprocal of positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recrecnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem recrecnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7410	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)
2		mulcomnqg 7401	. . . 4 ⊢ (((*Q‘𝐴) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((*Q‘𝐴) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)))
3	1, 2	mpancom 422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((*Q‘𝐴) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)))
4		recidnq 7411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) = 1Q)
5	3, 4	eqtrd 2222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((*Q‘𝐴) ·Q 𝐴) = 1Q)
6		recmulnqg 7409	. . 3 ⊢ (((*Q‘𝐴) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((*Q‘𝐴) ·Q 𝐴) = 1Q))
7	1, 6	mpancom 422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴 ↔ ((*Q‘𝐴) ·Q 𝐴) = 1Q))
8	5, 7	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘(*Q‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  Qcnq 7298  1_Qc1q 7299   ·_Q cmq 7301  *_Qcrq 7302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7322  df-mi 7324  df-mpq 7363  df-enq 7365  df-nqqs 7366  df-mqqs 7368  df-1nqqs 7369  df-rq 7370

This theorem is referenced by:  recexprlemm  7642  recexprlemloc  7649  archrecnq  7681