ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recrecnq GIF version

Theorem recrecnq 7014
Description: Reciprocal of reciprocal of positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
recrecnq (𝐴Q → (*Q‘(*Q𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem recrecnq
StepHypRef Expression
1 recclnq 7012 . . . 4 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
2 mulcomnqg 7003 . . . 4 (((*Q𝐴) ∈ Q𝐴Q) → ((*Q𝐴) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q (*Q𝐴)))
31, 2mpancom 414 . . 3 (𝐴Q → ((*Q𝐴) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q (*Q𝐴)))
4 recidnq 7013 . . 3 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
53, 4eqtrd 2121 . 2 (𝐴Q → ((*Q𝐴) ·Q 𝐴) = 1Q)
6 recmulnqg 7011 . . 3 (((*Q𝐴) ∈ Q𝐴Q) → ((*Q‘(*Q𝐴)) = 𝐴 ↔ ((*Q𝐴) ·Q 𝐴) = 1Q))
71, 6mpancom 414 . 2 (𝐴Q → ((*Q‘(*Q𝐴)) = 𝐴 ↔ ((*Q𝐴) ·Q 𝐴) = 1Q))
85, 7mpbird 166 1 (𝐴Q → (*Q‘(*Q𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1290  wcel 1439  cfv 5028  (class class class)co 5666  Qcnq 6900  1Qc1q 6901   ·Q cmq 6903  *Qcrq 6904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-mi 6926  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972
This theorem is referenced by:  recexprlemm  7244  recexprlemloc  7251  archrecnq  7283
  Copyright terms: Public domain W3C validator