ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recrecnq GIF version

Theorem recrecnq 7214
Description: Reciprocal of reciprocal of positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
recrecnq (𝐴Q → (*Q‘(*Q𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem recrecnq
StepHypRef Expression
1 recclnq 7212 . . . 4 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
2 mulcomnqg 7203 . . . 4 (((*Q𝐴) ∈ Q𝐴Q) → ((*Q𝐴) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q (*Q𝐴)))
31, 2mpancom 418 . . 3 (𝐴Q → ((*Q𝐴) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q (*Q𝐴)))
4 recidnq 7213 . . 3 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
53, 4eqtrd 2172 . 2 (𝐴Q → ((*Q𝐴) ·Q 𝐴) = 1Q)
6 recmulnqg 7211 . . 3 (((*Q𝐴) ∈ Q𝐴Q) → ((*Q‘(*Q𝐴)) = 𝐴 ↔ ((*Q𝐴) ·Q 𝐴) = 1Q))
71, 6mpancom 418 . 2 (𝐴Q → ((*Q‘(*Q𝐴)) = 𝐴 ↔ ((*Q𝐴) ·Q 𝐴) = 1Q))
85, 7mpbird 166 1 (𝐴Q → (*Q‘(*Q𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  cfv 5123  (class class class)co 5774  Qcnq 7100  1Qc1q 7101   ·Q cmq 7103  *Qcrq 7104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-mi 7126  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172
This theorem is referenced by:  recexprlemm  7444  recexprlemloc  7451  archrecnq  7483
  Copyright terms: Public domain W3C validator