Theorem mulcomnqg 7005

Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) = ( B .Q A ) )

Proof of Theorem mulcomnqg

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6970	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		mulpipqqs 6995	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
3		mulpipqqs 6995	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( z .N x ) , ( w .N y ) >. ] ~Q )
4		mulcompig 6953	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) = ( z .N x ) )
5	4	ad2ant2r 494	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( x .N z ) = ( z .N x ) )
6		mulcompig 6953	. . 3 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( w .N y ) )
7	6	ad2ant2l 493	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) = ( w .N y ) )
8	1, 2, 3, 5, 7	ecovicom 6416	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) = ( B .Q A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439  (class class class)co 5668   N.cnpi 6894   .N cmi 6896   ~Q ceq 6901   Q.cnq 6902   .Q cmq 6905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-oadd 6201  df-omul 6202  df-er 6308  df-ec 6310  df-qs 6314  df-ni 6926  df-mi 6928  df-mpq 6967  df-enq 6969  df-nqqs 6970  df-mqqs 6972

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7013  recrecnq  7016  rec1nq  7017  lt2mulnq  7027  halfnqq  7032  prarloclemarch  7040  prarloclemarch2  7041  ltrnqg  7042  prarloclemlt  7115  addnqprllem  7149  addnqprulem  7150  addnqprl  7151  addnqpru  7152  appdivnq  7185  prmuloclemcalc  7187  mulnqprl  7190  mulnqpru  7191  mullocprlem  7192  mulclpr  7194  mulcomprg  7202  distrlem4prl  7206  distrlem4pru  7207  1idprl  7212  1idpru  7213  recexprlem1ssl  7255  recexprlem1ssu  7256  recexprlemss1l  7257  recexprlemss1u  7258