Theorem recidnq 7543

Description: A positive fraction times its reciprocal is 1. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recidnq	|- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )

Proof of Theorem recidnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7542	. 2 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )
2		eqid 2207	. . 3 |- ( *Q ` A ) = ( *Q ` A )
3		recmulnqg 7541	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) = ( *Q ` A ) <-> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q ) )
4	2, 3	mpbii 148	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )
5	1, 4	mpdan 421	1 |- ( A e. Q. -> ( A .Q ( *Q ` A ) ) = 1Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   Q.cnq 7430   1Qc1q 7431   .Q cmq 7433   *Qcrq 7434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-iord 4432  df-on 4434  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-irdg 6481  df-1o 6527  df-oadd 6531  df-omul 6532  df-er 6645  df-ec 6647  df-qs 6651  df-ni 7454  df-mi 7456  df-mpq 7495  df-enq 7497  df-nqqs 7498  df-mqqs 7500  df-1nqqs 7501  df-rq 7502

This theorem is referenced by:  recrecnq  7544  rec1nq  7545  halfnqq  7560  prarloclemarch  7568  ltrnqg  7570  addnqprllem  7677  addnqprulem  7678  addnqprl  7679  addnqpru  7680  appdivnq  7713  mulnqprl  7718  mulnqpru  7719  1idprl  7740  1idpru  7741  recexprlem1ssl  7783  recexprlem1ssu  7784  recexprlemss1l  7785  recexprlemss1u  7786  recidpipr  8006